吉林省长春市长春外校2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题

长春外国语学校20202021学年第一学期期中考试高二年级数学试卷(理)出题人：赵天审题人：王云峰本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y2＝4x的焦点坐标是()A．(0,2)B．(0,1)C．(2,0) D．(1,0)2.直线与圆的位置关系()A．相切B．相交，但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离3.设椭圆长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，则过焦点且垂直于长轴的弦长是()A．B．C． D．4.将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝05.若x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x＋y≤3，,x≥0，))则2x＋y的最大值为()A．0B．3C．4D．56．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b＞0)的离心率为eq\f(\r(5),2)，则C的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(1,4)xB．y＝±eq\f(1,3)x C．y＝±eq\f(1,2)x D．y＝±x7.已知椭圆eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1的弦被点平分，那么这条弦所在的直线方程为()A．B．C．D．8.圆与圆的公切线，有（）A．1条B．2条C．3条D．4条9.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))B．[－2,2]C．[－1,1] D．[－4,4]10.已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，若，则的面积为()A．B．C． D．11.过抛物线焦点F的直线，与抛物线交于A、B两点，设，，则()A.4B．4C.4D．412.已知F1，F2是双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，则E的离心率为()A.eq\r(2)B.eq\f(3,2)C.eq\r(3)D．2第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq\r(5))在圆C上，且圆心到直线的距离为eq\f(4\r(5),5)，则圆C的标准方程为________________;14．已知双曲线过点(4，eq\r(3))，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为_______________;15．已知直线l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则m＝________;16.已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线的距离为d2，求d1＋d2的最小值为___________．三、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤。17．（10分）已知抛物线y2＝2px经过点M(4，－4eq\r(2))，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且双曲线的离心率为2，求抛物线与双曲线的方程.18.（12分)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为eq\f(\r(2),2)，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.（1）求椭圆的方程；（2）求△CDF2的面积．19.(12分)已知圆上上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，当在圆上运动时，线段中点为．（1）求点的轨迹方程；（2）若直线l的方程为y＝x－1，与点的轨迹交于，两点，求弦的长.20．（12分）已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点.（1）若直线的倾斜角为，求线段的长；（2）若，求的长.21.（12分）已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．（1）求x＋y的最大值和最小值；（2）求eq\f(y,x)的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值．22.（12分）已知椭圆C1的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点．（1）求双曲线C2的方程；（2）若直线l：y＝kx＋eq\r(2)与双曲线C2有两个不同的交点A和B，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))>2(其中O为原点)，求k的取值范围．长春外国语学校20202021学年第一学期期中考试高二年级数学试卷(理)参考答案一、选择题123456789101112DBDCCCABCBAA二、填空题13.14.15.16.三、解答题17、（1）(2)18.(1)(2)△CDF2的面积19.（1）M的轨迹方程为（2）.[来20.解：（1）;（2）.21.(1)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即eq\f(|2＋－3－t|,\r(2))＝1，解得t＝eq\r(2)－1或t＝－eq\r(2)－1.∴x＋y的最大值为eq\r(2)－1，最小值为－eq\r(2)－1.(2)eq\f(y,x)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，eq\f(y,x)的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即eq\f(|2k＋3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－2＋eq\f(2\r(3),3)或k＝－2－eq\f(2\r(3),3).∴eq\f(y,x)的最大值为－2＋eq\f(2\r(3),3)，最小值为－2－eq\f(2\r(3),3).(3)求它的最值可视为求点(x，y)到定点(0,0)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(0,0)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(0,0)的距离为，∴的最大值为＋1，最小值为－1.22.(1)设双曲线C2的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.故C2的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1.(2)将y＝kx＋eq\r(2)代入eq\f(x2,3)－y2＝1，得(1－3k2)x2－6eq\r(2)kx－9＝0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3k2≠0，,Δ＝－6\r(2)k2＋361－3k2＝361－k2>0，))∴k2≠eq\f(1,3)且k2<1.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(6\r(2)k,1－3k2)，x1x2＝eq\f(－9,1－3k2).∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋eq\r(2))(kx2＋eq\r(2))＝(k2＋1)x1x2＋eq\r(2)k(x1＋x2)＋2＝eq