高中数学北师大版选修2-2测评第二章3计算导数

第二章DIERZHANG变化率与导数§3计算导数课后篇巩固提升A组1.函数y=lgx在x=1处的瞬时变化率为()A.0 B.1C.ln10 D.1解析∵y'=1xln10,∴函数在x=1处的瞬时变化率为答案D2.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为3xy+1=0,则()A.f'(x0)<0 B.f'(x0)>0C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在解析由导数的几何意义可知曲线在点(x0,f(x0))处的导数等于曲线在该点处的切线斜率,所以f'(x0)=3.故选B.答案B3.已知f(x)=x2,g(x)=x3,且f'(x)<g'(x),则()A.x<0 B.x>2C.0<x<23 D.x<0或x>解析∵f(x)=x2,g(x)=x3,且f'(x)<g'(x),∴2x<3x2.∴3x22x>0.∴x(3x2)>0.∴x<0或x>23答案D4.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y8=0垂直,则l的方程为()A.4xy3=0 B.x+4y5=0C.4xy+3=0 D.x+4y+3=0解析∵切线l与直线x+4y8=0垂直,∴切线l的斜率为4.又y'=4x3,由切线的斜率为4,得4x3=4,即x=1,切点坐标为(1,1).∴切线方程为y1=4(x1),即4xy3=0.答案A5.已知偶函数f(x)在R上可导,且f'(1)=1,f(x+2)=f(x2),则曲线y=f(x)在x=5处切线的斜率为()A.2 B.2 C.1 D.1解析由f(x+2)=f(x2),得f(x+4)=f(x),可知函数f(x)的周期为4,又函数f(x)为偶函数,所以f(5)=f(5)=f(1),所以曲线y=f(x)在x=5处切线的斜率k=f'(5)=f'(1)=1.答案D6.已知f(x)=sinx,g(x)=cosx,h(x)=lnx,则f'π4+g'π4h'12=解析∵f'(x)=(sinx)'=cosx,g'(x)=(cosx)'=sinx,h'(x)=(lnx)'=1x∴f'π4+g'π4h'12=答案27.已知幂函数y=f(x)的导函数的图像过点1,12,则f(2)=解析设f(x)=xα,则f'(x)=αxα1,f'(1)=α=12∴f(x)=x12.∴f(2)=答案28.在曲线y=4x2上求一点P,使曲线在该点处的切线的倾斜角为135解设点P坐标为(x0,y0),∵y'=8x3,∴f'(x0)=8x0-3=tan135°∴x0=2,代入y0=4x02,得y0∴点P的坐标为(2,1).9.(1)求曲线y=ex在x=2处的切线方程;(2)过原点作曲线y=ex的切线,求切线方程.解(1)∵y=ex,∴y'=ex.当x=2时,y'=e2,故所求切线方程为ye2=e2(x2),即y=e2xe2.(2)设切点坐标为(x0,ex0),在该点处的切线的斜率为k=ex0,故切线方程为yex0=ex0(xx0),当切线过原点时,有0ex0=ex0(0x0),解得10.设曲线f(x)=x上有点P(x1,y1),与曲线切于点P的切线为m,若直线n过点P且与m垂直,则称n为曲线在点P处的法线.设n交x轴于点Q,又作PR⊥x轴于点R,求RQ的长.解∵f(x)=x=x12,∴f'(x∴f'(x1)=12又∵直线n与m垂直,∴直线n的斜率为2x1∴直线n的方程为yy1=2x1(xx1令y=0,得y1=2x1(xQx1∴xQ=12+x1又知xR=x1,∴|RQ|=|xQxR|=12B组1.在下列四个命题中,真命题的个数为()①若函数f(x)=x,则f'(0)=0;②加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数;③函数y=x5的导数的值恒大于或等于零.A.0 B.1C.2 D.3解析f(x)=x在x=0处不可导;加速度是动点速度函数v(t)对时间t的导数;y'=(x5)'=5x4≥0,所以正确的命题为③.答案B2.若指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)满足f'(1)=ln27,则f'(1)=()A.2 B.ln3C.ln33 D.解析∵f'(x)=axlna,则f'(1)=alna=ln27,解得a=3.∴f'(x)=3xln3.∴f'(1)=ln33答案C3.正弦曲线y=sinx上有一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是.

解析∵y'=(sinx)'=cosx,且cosx∈[1,1],∴k∈[1,1].设直线l的倾斜角为α,则由k=tanα知1≤tanα≤1,且α∈[0,π).∴α∈0,答案04.设抛物线y=x2与直线y=x+a(a是常数)有两个不同的交点,记抛物线在两交点处的切线分别为l1,l2,求a值变化时,l1与l2交点的轨迹.解将y=x+a代入y=x2整理得x2xa=0,①为使直线与抛物线有两个不同的交点,必须Δ=(1)2+4a>0,即a>14设两交点为(α,α2),(β,β2),且α<β.由y=x2得y'=2x,则切线l1