第01讲数列的概念（4个知识点方法练创新练成果练）（原卷版）

第01讲数列的概念（4个知识点+方法练+创新练+成果练）【目录】【新知讲解】知识点1.对数列概念的理解知识点2.数列的通项公式及其应用知识点3.数列的递推公式及简单应用知识点4.数列的前n项和公式及简单应用【方法练】【创新练】【成果练】【知识导图】【新知讲解】知识点1.对数列概念的理解数列及其有关概念1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．2.数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．思考数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？答案不是．顺序不一样．数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列函数与数列的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．数列的单调性递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列例一、单选题1．（2023上·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知数列则是这个数列的（）A．第20项 B．第21项C．第22项 D．第23项例二、多选题2．（2023下·高二课时练习）（多选题）下列说法不正确的是（

）A．数列可以表示为B．数列与数列是相同的数列C．数列的第项为1＋D．数列可记为3．（2023上·全国·高二假期作业）（多选）有下面四个结论，不正确的是（

）A．数列可以看作一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数B．数列的项数一定是无限的C．数列的通项公式的形式是唯一的D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式例三、填空题4．（2023上·高二课前预习）数列的定义（1）按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每个数叫作这个数列的项.（2）项数有限的数列叫作，项数无限的数列叫作.（3）数列的一般形式可以写成：，简记为，其中称为数列的第1项或首项，称为第2项，，称为第项.例四、解答题5．（2023·全国·高二随堂练习）在1984年到2016年的9届夏季奥运会上，我国获得的金牌数依次排成数列：15，5，16，16，28，32，51，38，26．试画出该数列的图象．知识点2.数列的通项公式及其应用通项公式1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．思考既然数列是一类特殊的函数，那么表示数列除了用通项公式外，还可以用哪些方法？答案还可以用列表法、图象法．方法感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．例一、单选题1．（2023上·河南·高二校联考阶段练习）数列1，，，…的通项公式可能是（

）A． B． C． D．2．（2023上·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（

）A．28 B．29 C．30 D．31例二、多选题3．（2023上·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知在数列中，，则数列的最小项是（

）A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项4．（2024上·河南周口·高三统考阶段练习）设数列，满足，，则下列函数使得，有相等的项的是（

）A． B． C． D．例三、填空题5．（2023上·天津·高二天津市咸水沽第一中学校考阶段练习）已知数列中，（且）．若对任意的，都有成立，的取值范围是．知识点3.数列的递推公式及简单应用数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．思考仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？答案不能．知道了首项和递推公式，才能确定这个数列．方法感悟：由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．(2)迭代法、累加法或累乘法：递推公式对应的有以下几类：①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决．常见误区：累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式；由Sn求an时忽略验证n=1时的情况.例一、单选题1．（2023·广西·模拟预测）若数列满足，则（

）A．28 B．32 C．36 D．402．（2023上·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）若是不等于的实数，我们把称为的差倒数，如的差倒数是.现已知，的差倒数是，的差倒数是，以此类推，则（

）A． B． C． D．3．（2023上·安徽合肥·高三合肥一六八中学校考阶段练习）任取一个正数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若，则的取值可能为（

）A． B．C． D．知识点4.数列的前n项和公式及简单应用数列的前n项和Sn与an的关系1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.2．an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))方法感悟由Sn求通项公式an的步骤(1)当n＝1时，a1＝S1.(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；否则数列{an}的通项公式要分段表示为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))例一、单选题1．（2023上·江苏盐城·高三校联考阶段练习）已知是数列的前项和，则“是递增数列”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024上·江苏·高二期末）设数列的前项和为，，，，则数列的前项和为（

）A． B． C． D．3．（2023上·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）设数列的前n项和为，并且，则等于（

）A．32 B．16 C．992 D．例二、多选题4．（2023上·河南鹤壁·高二鹤壁高中校考阶段练习）已知数列满足，，则（

）A． B．C． D．例三、填空题5．（2024上·吉林长春·高二长春市第六中学校考期末）设数列的前项和是，则．【方法练】一、单选题1．（2023·高二课时练习）已知数列的通项公式为，则这个数列第5项是（

）A．9 B．17 C．33 D．652．（2023上·广东·高三广州市第一中学统考阶段练习）17到19世纪间，数学家们研究了用连分式求解代数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼近实数求近似值．例如，把方程改写成①，将再代入等式右边得到，继续利用①式将再代入等式右边得到……反复进行，取时，由此得到数列，，，，，记作，则当足够大时，逼近实数．数列的前2024项中，满足的的个数为（参考数据：）A．1007 B．1009 C．2014 D．2018二、多选题3．（2023上·湖南·高二校联考阶段练习）甲同学通过数列3，5，9，17，33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是（

）A． B．C．该数列为递增数列 D．4．（2022下·广东肇庆·高二统考期末）已知数列满足，，记，则（

）A． B．C． D．三、填空题5．数列1，－2，2，－3，3，－3，4，－4，4，－4，5，－5，5，－5，5…的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，n的有n个，则该数列第30项是．6．（2023上·安徽亳州·高二校考阶段练习）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为.四、解答题7．（2023下·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）设条直线最多把平面分成部分，其求法如下：易知一条直线最多把平面分成部分，两条直线最多把平面分成部分，3条直线分平面，要使所得部分尽量多，则第三条直线必与前两条直线都相交，产生2个交点，这2个交点都在第3条直线上，并把第三条直线分成3段，这3段的每一段都在部分的某部分中，它把所在部分一分为二，故增加了3部分，即，依次类推得，累加化简得．根据上面的想法，设个平面最多把空间分成部分，且(1)求出(2)写出与之间的递推关系式(3)求出数列的通项公式8．（2023上·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知数列的前n项和为，且，，数列满足，.(1)求，的通项公式；(2)求数列的前n项和.【创新练】一、单选题1．（2021·高二课时练习）下列四个数中，哪个是数列中的一项（

）A．55 B．56C．57 D．582．（2020·湖北武汉·统考一模）已知数列{an}的前n项之和Sn＝n2+1，则a1+a3＝（

）A．6 B．7 C．8 D．9二、多选题3．（2022上·湖南郴州·高二湖南省资兴市立中学校考期末）下列有关数列的说法正确的是（

）A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项C．在数列中第8个数是D．数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为4．（2022·广东·统考模拟预测）已知数列满足，为其前n项和，则（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，且，则．6．（2022·高二课时练习）已知数列的递推公式为，则数列的第4项为．四、解答题7．（2023下·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，且，求的值.8．（2022·高二课时练习）已知数列的通项公式为，，，则该数列是否有最大项？若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．【成果练】一、单选题1．（2021·高二课时练习）设数列的前n项和为，且，为常数列，则（

）A． B．C． D．2．已知数列1，,,,…，则数列的第k项是（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2024上·湖北·高二期末）已知数列的前n项和为，且，，则（

）A． B．C．数列是递减数列 D．数列的最小值为4．（2023上·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》，在书中收录了一个有关兔子繁殖的问题.他从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，…，即从数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和．已知数列为斐波那契数列，其前n项和为，并且满足，，，则关于斐波那契数列，以下结论正确的是（

）A．B．C．D．三、填空题5．（2023下·高二课时练习）已知数列满足，，则．6．（2020上·浙江温州·高二校联考期中）已知正项数列中，，若对于一切的都有成立，则的取值范围是.7．（2023上·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考期末）已知数列满足：，设数列的前项和为，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为.8．（2023下·上海杨浦·高一上海市控江中学校考开学考试）已知（为正整数），且数列共有100项，则此数列中最大项为第项.四、解答题9．（2024上·河南·高二伊川县第一高中校联考阶段练习）已知数列的前项和为，当时，，数列中，.(1)求的通项公式；(2)记的前项和为，求满足的的最大取值.10．（2023下·高二课时练习）写出下列数列的一个通项公式．(1)(2)(3)0，，，