抛物线中的面积问题

抛物线中的面积问题提出问题: 1.中考试题

如图1，抛物线y

=

ax2

+

bx

+4与x轴的两个交点分别为A〔－4，0〕、B〔2，0〕，与y轴交于点C，顶点为D．E〔1，2〕为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．〔1〕求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；〔2〕假设点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．2.参考答案〔1〕解析式为，D点坐标为〔－1，〕．〔2〕探求得直线EF的解析式为y

=x

+．设K〔t，〕，xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．那么

KN

=

yK－yN

=－〔t

+〕=．∴S△EFK

=

S△KFN

+

S△KNE

=KN〔t

+3〕+KN〔1－t〕=2KN

=

－t2－3t

+5=－〔t

+〕2

+．即当t

=－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K〔－，〕．面积问题是近几年中考的热点之一，常结合一次函数、二次函数、四边形、相似形等知识而命题，具有一定的综合性.在历届中考试题的解答中，一般都通过分割，建立面积函数，用函数知识解决问题．这些分割方法通常比拟麻烦，有时还回避不了分类讨论．经研究发现，这些问题通常可以分为两类，都可以用简单的平移法来解决．解法来源：1.书本习题：如图2，直线L1∥L2,△ABC和△DBC面积相等吗？你还能画出一些与△ABC面积相等的三角形吗？2.习题解答：显然，△ABC和△DBC面积相等，原因是这两个三角形同底等高．直线l1上任意一点P与B、C两点构成的△PBC与△ABC面积总相等．3.习题启示：可以通过平行线，把三角形等积变形为其他更有利于解决问题的三角形．解法探究：一、动点在直线上，利用平行线，通过等积变形建立函数模型．例1.〔2009•济南〕：抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的对称轴为x=﹣1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A〔﹣3，0〕，C〔0，﹣2〕〔1〕求这条抛物线的函数表达式；〔2〕在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标；〔3〕假设点D是线段OC上的一个动点〔不与点O、点C重合〕．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？假设存在，请求出最大值；假设不存在，请说明理由．解：〔1〕抛物线的解析式为〔2〕连接AD，∵

∴，∴即，∴

∴

∴==\∴当=1时，评：此题的动点D在直线上运动，没有采用分割的方法也没有分类讨论，而是利用题目先天的∥条件，把等积变形为一边在坐标轴上的，便于表示的面积，建立函数模型解决问题．解题策略：上面例题是动点在直线上运动，利用天然的平行条件，通过等积变形，把三角形转化为有一边在坐标轴上的三角形，从而比拟简洁地建立函数模型，应用函数知识解决问题．不必分割，不必分类．二、动点在抛物线上动，构建平行线，通过等积变形建立方程模型．例2．〔2010恩施〕如图5，二次函数的图象与x轴交于A、B〔3，0〕两点，与y轴交于C〔0，-3〕点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．〔1〕求这个二次函数的表达式．〔2〕当点P运动到什么位置时，四边形

ABPC的面积最大并求出最大面积.解：〔1〕函数表达式为．〔2〕因S△ABC=6，∴当△BPC的面积最大时，四边形

ABPC的面积最大．作PQ∥BC交y轴于点Q，那么S△BPC=S△BQC

，△BQC高OB为定值，所以当PQ平移到使得CQ取得最大值时，△BQC的面积最大，此时直线PQ和抛物线恰好一个公共点．设直线PQ：，得方程，当△=时，，

m=，∴S△BQC=．评：本例是动点在抛物线上运动，没有天然的平行条件，采用构造平行线的方法，等积变形为有一边在坐标轴上的图形，建立方程模型解决问题．再来看看课前四川绵阳的那道中考题该怎样完整地解决？解：图7，探求得F点坐标为〔-3,0〕，直线EF为y

=x

+．过K点作EF的平行线，交y轴于M点，设直线KM的解析式为y

=x

+b，△EFK的边EF为定值，又CE=EB，平移直线KM可知，当KM与抛物线有且只有一个公共点时，△EFK的高取得最大值，从而面积最大．由方程得△=0，得，

，

K点坐标〔，〕，S△EFK

=S△EFM=评：动点K在抛物线上运动，构建平行线后，虽然不能转化为有一边在坐标轴上的三角形，但是依然可以通过平移直线的方法建立方程模型解决问题．K点和M点虽然都是动点，但却有本质的区别，M点只能在y轴上上下移动，但一定在E、F之间，所以不必分类，但K点却是上下左右都移动，完全可能不在E、F之间，那就必须分类讨论．以上解法简单地说就是利用平行线或构造平行线，实际是平移思想的具体运用．用平移的观点看待问题，会使问题显得简单、易理解，许多问题可以通过平移直线来解决。稳固练习：1．〔2010宜宾〕如图6，将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．(1)

求该抛物线的解析式；(2)

假设点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；(3)

在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与〔2〕中△APE的最大面积相等?请说明理由．解：(1)y=–x2+x+6„„„„4分(2)〔，0〕(3)〔，〕，〔，〕简析：此题的第〔2〕是动点P在直线上运动类型，利用天然的PE∥AB条件，把S△APE转化为一边在x轴上的S△BPE，建立函数模型解决问题．第〔3〕题是动点在抛物线上运动类型，直接求出直线HG的解析式，更显此法的优越性．2．〔2013•枣庄〕如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为〔3，0〕，与y轴交于C〔0，﹣3〕点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．〔1〕求这个二次函数的表达式．〔2〕连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？假设存在，请求出此时点P的坐标；假设不存在，请说明理由．〔3〕当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．解：〔1〕将B、C两点的坐标代入，得ACBOPACBOPyxP′E第25题图1所以二次函数的解析式为.…………………3分〔2〕如图1，假设抛物线上存在点P，使四边形为菱形，连接交CO于点E．∵四边形为菱形，ABO·Pyx第25题图2(备用)CABO·Pyx第25题图2(备用)CNM∴OE=EC=，即P点的纵坐标为.……5分由=，得〔不合题意，舍去〕所以存在这样的点，此时P点的坐标为〔，〕.…………7分〔3〕如图2，连接PO，作PM⊥x于M，PN⊥y于N．设P点坐标为〔x，〕，由=0，得点A坐标为〔－1，0〕.∴AO=1，OC=3，O