高校工程数学变步长的梯形法则教学课件

§4.3变步长求积公式复化求积方法对提高精度是行之有效的，但是使用复化求积公式之前必须给出适宜的步长，步长取得太大精度难以保证，步长太小那么会导致计算量的增加，而事先给出一个恰当的步又往往是困难的。实际计算时通常采用变步长的求积方案，即在步长逐次折半〔或称步长二分〕的过程中，反复利用复化的求积公式进行计算，直到二分前后的两次积分近似值相当符合为止。变步长求积公式一、变步长的梯形法那么探讨梯形法那么的变步长法那么计算规律：设将求积区间(a,b)分成n等分，那么一共有n+1个分点，按梯形公式(5)计算积分Tn〔对f调用n+1次〕。如果将各求积区间再二分一次，那么分点增至2n+1个，假设仍直接用梯形公式计算二分后的积分值T2n，将需要对f调用2n+1次。一、变步长的梯形法那么一、变步长的梯形法那么注意到T2n的全局部点当中，有一半n+1个是二分前的原有分点，重复计算这些“老分点”上的函数值显然是个浪费。变步长的梯形法那么为了防止浪费，将二分前后的两个积分值联系起来加以考察。注意到每个子区间(xk-1,xk)，经过二分再增加一个新分点xk-1/2后，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为因此有整理得：变步长的梯形法那么再利用(5)式，得：这个式子的前一项Tn是二分前的积分值，在求T2n时可作为值使用，而它的后一项只涉及二分时新增加的分点xk-1/2，所要调用f的次数为n。可见递推公式(9)由于防止了老结点的重复计算，而使计算量节约了一半。变步长梯形法那么的计算流程变步长梯形法那么的程序框图变步长梯形法那么的算法框图：其中T1和T2分别代表二分前后的积分值。各框的含义是：[框1]准备初值。[框2]按递推公式(9)求二分后的积分值。从第一个分点x=a+h/2出发，取h为步长逐步向右跨，即可依次确定公式(9)中的各个分点。图中将所得到的分点暂存于单元x中。[框3]控制精度。[框4]修改步长。变步长梯形法那么举例[例4-3-1]用变步长的梯形法那么计算积分值[解]先对整个区间(0,1)使用梯形公式。计算函数在端点的值f(0)=1,f(1)=0.8414710那么T1=[f(0)+f(1)]/2=0.9207355将区间二等分，求中点的函数值f(1/2)=0.9588511[例4-3-1]按递推公式(9)，得T2=T1/2+f(1/2)/2=0.9397933进一步二分求积区间，并计算新的分点上的函数f(1/4)=0.9896158f(3/4)=0.9088517再利用(9)式，得这样不断二分下去，计算结果列于表下表中。[例4-3-1]积分I*的实际值是0.9460831用变步长梯形法那么二分10次得到了这个结果。复化梯形公式和变步长法的比较复化梯形法变步长法计算T1时，b-a=1-0=1b-a=1-0=1T1=[f(0)+f(1)]/2=0.9207355计算T2时，h=(b-a)/2=1/2h=b-a=1新增节点f

(1/2)=0.9588511

T2=h/2×[f(1)+f(0)+2f(1/2)]

T2=T1/2+f(1/2)/2=0.9397933

=T1/2+f(1/2)/2=0.9397933复化梯形公式和变步长法的比较复化梯形法变步长法计算T4时，h=(b-a)/2/2=1/4h=(b-a)/2=1/2新增节点f(1/2)=0.9588511

f(1/4)=0.9896158

f(1/4)=0.9896158f(3/4)=0.9088517

f(3/4)=0.9088517T4=h/2×[f(1)+f(0)+2f(1/2)+2f(1/4)+2f(3/4)]T4=T2/2+h/2×[f(1/4)+f(3/4)]复化梯形公式和变步长法的比较复化梯形法变步长法计算T8时，h=(b-a)/2/2/2=1/8h=(b-a)/2/2=1/4新增节点f(1/2)=0.9588511

f(1/8)

f(1/4)=0.9896158f(3/4)=0.9088517

f(3/8)

f(1/8)

f(3/8)f(5/4)f(7/8)

f(5/8)

f(7/8)T8=h/2×[f(1)+f(0)+2f(1/2)+2f(1/4)+2f(1/8)+2f(3/8)+2f(5/8)+2f(7/8)]T8=h/2×[f(1)+f(0)+2f(1/2)+2f(1/4)

T8=T4/2+h/2×[f(1/8)+2f(3/4)]+f(3/8)+f(5/8)+