必修5第三章不等式教材分析(姚晖)

必修5第三章不等式教材分析不等量关系和等量关系都是反映客观世界中的量与量之间最根本的数学关系．本章强调把不等式作为刻画和描述现实世界中事物不等关系的一种工具，作为描述、刻画优化问题的一种数学模型．它与方程一样，都是解决数学问题的重要工具．在数学研究和解决实际问题中起着同样重要的作用．不等式在中学数学中有着广泛的应用，它与数、式、方程、函数、导数等知识有着密切的关系．例如讨论方程或方程组解的情况；研究函数的定义域、值域、单调性、最值；解决线性规划问题；讨论曲线的分布范围等都需要用到不等式的相关知识．因此，不等式在中学数学中有着重要的地位，也是进一步学习数学的根底之一．一、内容与结构〔一〕内容：〔1〕不等关系和不等式；〔2〕不等式的性质；〔3〕均值不等式；〔4〕一元二次不等式及其解法；〔5〕不等式的应用；〔6〕二元一次不等式〔组〕与简单线性规划问题．〔二〕结构两个实数的大小比拟两个实数的大小比拟不等式的实际应用一元二次不等式的解法法法不等式的实际应用一元二次不等式的解法法法不等关系不等关系均值不等式及其应用不等式的根本性质均值不等式及其应用不等式的根本性质简单的线性规划二元一次不等式〔组〕表示的平面区域简单的线性规划二元一次不等式〔组〕表示的平面区域〔三〕选修4-5《不等式选讲》中的内容〔非高考局部〕不等式的根本性质；不等式证明的根本方法；根本不等式；绝对值不等式及其解法；绝对值的三角不等式；柯西不等式；排序不等式；平均值不等式；贝努利不等式；数学归纳法等．从上述内容中不难看到，在课标中不等式的学习不是一次到位的，而是一个螺旋上升的过程．在后续的学习中，还要通过“不等式选讲”、“导数及其应用”和“推理与证明”等内容，不断推进不等式的学习．实际上，课标在必修5模块中强调了不等式作为刻画不等关系的数学模型，突出它的现实背景和实际应用，而对不等式的推理和证明要求不高．这种变化要求我们在教学上要做相应的调整，一定要把好教学的尺度．需要说明的是，尽管本章没有专门研究不等式的证明方法，但对于比拟、分析、综合的方法，在教学中要有一定程度的渗透．例如，在学习不等式的性质证明时，就可以渗透比拟的方法；在性质使用时，可以体会分析综合的方法；在根底不等式的使用中，带着学生再次认识分析综合的方法，最终提升对这种常用的解决问题方法的认识．在现实世界和日常生活中，不等关系大量存在。如果从运动变化的观点考察事物的数量关系，那么“相等”是运动过程的一瞬间，而“不等”才是一般的、普遍的。所以，“课标”把不等式定位在刻画现实世界和日常生活中数量之间差异的一种工具，把不等式看成是表示不等关系、处理优化问题的一种数学模型。这样的定位，在数、式及其变换的传统观点下，融入了用函数观点看不等式的思想，突出了不等式的工具作用．二、课程目标〔1〕了解不等关系和不等式〔组〕的实际背景；会用作差的方法比拟两个实数的大小．〔2〕掌握不等式的重要性质；初步掌握运用性质证明简单不等式的方法．〔3〕掌握均值不等式；会用均值不等式求函数的最大值、最小值．〔4〕掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式，与相应的二次函数、一元二次方程之间的关系；会应用不等式解相关问题和某些实际问题；能够设计一元二次不等式求解的程序框图．〔5〕了解二元一次不等式〔组〕的几何意义，会作出由它们所表示的平面区域；了解线性规划中的相关概念，会解简单的线性规划问题，提高应用数学的意识和解决实际问题的能力．三、重点与难点1.重点：①一元二次不等式的解法；②均值不等式的应用；③简单的线性规划问题2.难点：不等式的性质及其证明四、对本章教学的认识1．通过高考试题理解课标要求〔高考试题见附录〕北京08理〔13〕函数,对于上的任意有如下条件:①②③,其中能使恒成立的条件序号是2．作用、地位及编写特点〔１〕本章无论是从知识的层面上，还是从数学思维训练和渗透数学思想方法的角度进行考察，都具有明显地承上启下的作用．〔２〕突出了开展学生应用数学的意识，符合新课标理念．

由于“课标”对本章内容的定位是用不等式表示和研究客观事物的不等关系，因此，教材特别强调构建实际问题情景，加强建立实际问题的不等式模型的过程，从而使学生在本章学习中能随时经历建立不等式模型的过程．这样的做法，既表达了“课标”精神，淡化求解和证明不等式的技巧，加强不等式的实际背景和应用；同时又表达了教材的指导思想，即加强“问题性”和“思想性”，在从实际背景抽象出数学模型的过程中，使学生体会知识的形成过程．〔３〕循序渐进，注重从具体到抽象、从简单到复杂的呈现内容的方式

降低本章知识的起点，以初中所学的一元一次不等式为根底，将数轴作为不等关系的直观表达。知识的呈现方式也注重螺旋式上升和归纳的方式。这样做的目的，防止了过去教学中单纯注重对学生进行代数变换根本技能训练和逻辑推理能力的培养的弊病，给学生创造独立思考、自主概括知识的时机．

〔４〕重视知识之间的联系，强调数学思想方法的渗透

与以往不等式内容的安排比拟，本章内容在代数变换上的要求有所减弱，也不在一些细节问题上过多展开〔如根本不等式等号成立的条件等〕，但在知识的联系和思想性方面，有较多的加强．例如，在给出不等式根本性质之前，引导学生通过类比思维得出不等式根本性质；在

一元二次不等式解集的讨论中，强调函数思想、数形结合思想的应用，而不是简单地告诉学生一个解题程序．在这个过程中，帮助学生认识到“不等”与“相等”之间有着不可分割的内在联系；用程序框图表示求解过程自然地融入了算法思想等．五、课时分配〔本章教学时间约16课时〕3.1不等关系与不等式不等关系与不等式1课时不等式的性质2课时3.2均值不等式2课时3.3一元二次不等式及其解法3课时3.4不等式的实际应用2课时3.5二元一次不等式〔组〕与简单的线性规划问题二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域2课时简单线性规划2课时小结与复习2课时六、教学建议1、关于不等关系与不等式的学习

本节主要解决两个问题：一是通过现实生活和数学中的大量实例，引导学生了解不等式〔组〕的实际背景，感受不等关系的普遍性和学习不等式知识的重要性，初步体会用不等式刻画各种不等关系的方法，和实数运算的符号法那么在学习不等式中的作用；二是学习不等式的性质，并通过一个例题使学生体会不等式根本性质的用法．本节内容是本章的学习根底．(1)不等式的认识中应该把重点放在对不等式概念的认识上；要突出对不等号的正确理解与使用．(2)不等式性质的学习要注意区分不等式性质单向与双向性〔双向性质是解不等式的根底，而证明不等式既可用单向性质也可用双向性质〕；必须注意不等式性质成立的条件．(3)不等式性质的学习要重视对它们功能的认识，可以适当增加性质的简单证明，注意渗透证明方法，引导学生依据实数运算的符号法那么和实数大小的比拟，说清每一步推理的理由．(4)视学生状况，可适当增加关于性质应用的拓展性题目，例如在性质使用上要与函数性质结合的综合问题．附：单向性：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕双向性：〔1〕〔2〕〔3〕例1对实数，判断以下命题的真假.〔1〕假设，那么〔2〕假设，那么〔3〕假设，那么〔4〕假设，那么例2：是三个正数中最大的数，且，求证：.例3：，求：的范围.2、关于均值不等式的教学(1)均值不等式的学习应放在对正、定、等这三步曲的由来、体会和使用上，特别的，在求最值问题中对三个根本步骤的理解与应用是重点，要注意“等”的重要性和必要性；(2)学习均值不等式时，要注意区别“当”与“仅当”的含义；例求函数的最小值(２.5)(3)由于教材呈现均值不等式的形式比拟突然，建议关注对它的不同解释：几何解释〔半径不小于半弦〕，“数列”解释〔两个正数的等差中项不小于它们的等比中项〕；建议引入时可以参见A版：赵爽的弦图〔B版72页习题3-2A题1〕；(4)注意数形的结合，在根本不等式的推导过程中，强调了数形结合地认识和理解不等式，突出了用根本不等式解决简单的最大〔小〕值问题，从而表达优化思想．例习题3-1B中题1(4)，可利用的图象解释．(5)要重视对分析和综合数学方法使用的体会，依据学生情况，可适当增加一些变换和相关训练，以及与“对勾函数”的联系，但要适可而止；程度较好的学生可以以探究的形式扩展到三个或三个以上的情况．例1假设正数、满足，那么的取值范围是_______例2在中，，，那么的周长的最小值是____________例３，那么的最小值是_____〔〕附：3、关于一元二次不等式的教学本节内容的特点：一是强调了知识、方法之间的联系，例如，函数、不等式和方程，方程的根与函数的零点，两个量同号或异号的应用，数与形，算法〔即用程序框图表示求解一元二次不等式的过程〕等；二是程序性强，这就要求在总结解法时，既要条理清晰，操作简便，又要关注对“特例”的处理，这是选择例3、4的主要用意．另外，本节内容常常会演绎出“区间根问题”、“二次函数在区间上的最值问题”以及“二次不等式在区间上恒成立的问题”，由于这些问题会涉及到含参数的问题，因此要注意把握尺度，做到循序渐进．(1)体会两种不同的求解方法，解法的优劣不应成为关注的重点，应着重关注解法是怎样引出的〔例如〕，为今后进一步拓展打下根底，例如用函数的观点为主线的；引导学生探究教材76页“探索与研究”中提出的问题；(2)一元二次不等式的求解最终应抓住三个二次的联系，在函数、不等式与方程的联系上做文章，在转化上下功夫；-23210xy例是定义在上的奇函数，当时，图象如图，那么不等式的解集为〔-23210xyA.B.C.D.(3)可以适当补充含字母系数的不等式的求解问题，重在把握讨论的依据，体会分类讨论思想的使用；例1假设不等式恒成立，求实数的取值范围〔－２，２]例2对于不等式，试求对区间[0，2]上的任意都成立的实数的取值范围.(4)建议适当补充一些可以转化为二次不等式的不等式求解问题，如简单的分式不等式，简单的高次不等式，重点体会等价转化的思想．4、关于不等式的实际应用的教学本节内容是将实际问题转化为求解一元二次不等式，它与3.2节中将实际问题转化为函数最值问题，然后用均值不等式求解，和3.5节中将实际问题转化为利用二元一次不等式所表示区域求最优解，共同构成了本章的不等式的应用．(1)体会函数、不等式、方程之间的联系；例如81页例1可考虑用函数在上是增函数；(2)归纳出运用不等式解决实际问题的步骤，例2、例3要着眼于模型的建立上，在求解过程中要注意自变量的取值范围．5、关于线性规划的教学对于二元一次不等式〔组〕与简单的线性规划问题的教学，要循序渐进，要注意数学思想方法的渗透．在讨论二元一次不等式图形表示的过程中，要注意从点与坐标的对应、直线与方程的对应，过渡到平面区域与不等式〔组〕的对应，使学生体会数形结合思想的本质和应用；在简单线性规划问题教学中，对目标函数进行量化分析的过程，要强调数形结合思想、化归思想〔将问题转化为考察斜率一定时，在满足约束条件下，直线在y轴上截距的最大或最小值〕、运动变化思想的渗透和理解，突出了用不等式解决优化问题的过程和方法，即线性规划是优化的具体模型之一，引导学生体会其根本思想是教学的重点，借助几何直观是解决一些简单的线性规划问题的重要手段．(1)重视对二元一次不等式(组)的认识，了解它的解集的几何意义是以不等式解为坐标的所有点构成的集合，由于缺乏直线根底，故在节教学中的作图局部切忌图快，要让学生在实践中加强对平面区域的认识，并能自主发现“在直角坐标平面内，二元一次不等式所表示区域在相应的二元一次方程所表示直线的哪一侧”的判断方法；(2)要正确使用运动变化的观点解决线性规划相关的问题；(3)线性规划问题的解题过程具有较强的程序性和操作性，要注意对过程的及时总结和练习，在熟练掌握之前，建议不要盲目增加其他变化．(4)节的重点是优化思想及其在简单线性规划中的应用；难点是把实际问题转化成线性规划问题，关键是根据实际问题中的条件，找出约束条件和目标函数，其中数形结合思想是解决问题的根本思想方法．例1．点在不等式组表示的平面区域上运动，那么的取值范围是〔〕A．B．C．D．解析：对于形如型的目标函数变形为，问题就化归为求纵截距范围或极值．例2．设实数x，y满足那么的最大值为__________．答案：解析：对于形如型的目标函数变形为，问题就化归为求可行域内的点与点连线斜率的倍的范围、最值等．例3．实数x，y同时满足条件求的最大值、最小值．答案：最大值、最小值．解析：对于形如型的目标函数均可化归为求可行域内的点与点间距离的最值问题．例4．实数x，y满足条件求的最大值。答案：解析：对于形如型的目标函数，可为形式，将问题化归为求可行域内的点到直线距离的倍的最值．以上这4道题包含了目标函数的4种类型，分别给出了4种类型的解决方法，参考使用．附录：[海南、宁夏]07〔文〕1．设集合，那么〔A〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．08〔文7理6〕，那么使得都成立的取值范围是〔B〕A.〔0，〕B.〔0，〕 C.〔0，〕 D.〔0，〕[广东]07〔文〕1．集合，那么〔C〕A． B． C． D．07〔文〕13．数列的前项和，那么其通项 ；假设它的第项满足，那么 ．〔2n-10；8〕07〔文〕21．是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围．21解:假设，，显然在上没有零点，所以令得当时，恰有一个零点在上；当即时，也恰有一个零点在上；当在上有两个零点时，那么或解得或因此的取值范围是或；08〔文〕10.设，假设，那么以下不等式中正确的选项是〔D〕A、B、C、D、08〔文〕12．假设变量x、y满足，那么的最大值是_______70[山东]07〔文〕14．函数的图象恒过定点，假设点在直线上，那么的最小值为．4 07〔文〕15．当时，不等式恒成立，那么的取值范围是．07〔文〕19．本公司方案2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？19．解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得 目标函数为．01002000100200300100200300400500yxlM 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 如图： 作直线， 即． 平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值． 联立解得． 点的坐标为． 〔元〕答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．08〔文〕7.不等式的解集是〔D〕A． B． C． D．[海南、宁夏]07〔理〕22．Ｃ〔本小题总分值10分〕选修；不等式选讲设函数．〔=1\*ROMANI〕解不等式；〔=2\*ROMANII〕求函数的最小值．22．Ｃ解：〔Ⅰ〕令，那么．．．．．．．．．．．．．．．3分作出函数的图象，它与直线的交点为和．所以的解集为．〔Ⅱ〕由函数的图像可知，当时，取得最小值．[广东]07〔理〕1．函数的定义域，的定义域为，那么=〔C〕A． B． C． D．07〔理〕14．〔不等式选讲选做题〕，假设关于的方程有实根，那么的取值范围是．[山东]07〔理〕2．集合，，那么〔B〕A． B． C． D．07〔理〕14．设是不等式组表示的平面区域，那么中的点到直线距离