结构力学Ⅱ课件：矩阵位移法概述

结构力学II

STRUCTUREMECHANICSII矩阵位移法研究对象求解杆件结构在静荷载作用下的位移和内力。方法特点以结构力学经典理论为基础，以矩阵作为数学工具，面向计算机的方法。本章主要内容§9.1

概述§9.2

单元刚度方程和单元刚度矩阵§9.3

坐标变换§9.4结构刚度方程和结构总刚度矩阵§9.5荷载向量的计算§9.6

支座约束条件的引进§9.7

刚度方程的求解及内力计算4§9.1概述矩阵位移法特点：矩阵位移法以结点位移为未知量，以矩阵为数学工具，易于编写通用的计算机程序，对于大型复杂结构的计算，该法具有很大的优越性，大大减少手算的工作量，是面向计算机的计算方法。适用于静定结构及超静定结构，是有限元法的雏形，也称为杆件有限元法；矩阵位移法基本概念123结构离散化坐标系单元杆端力单元杆端位移46概念一、结构离散化

结构离散化结构计算的第一步。把结构假想地划分成若干小单元，

单元与单元之间用结点联结。

用离散化的单元集合体来代替原结构。原结构：分析对象：1234①②③①②③④⑤1234图1图2图3分析的对象离散化的单元集合体。结点位移是未知量。荷载按位移等效原则移置到结点上去。7§9.1概述矩阵位移法的要点：单元分析：离散化后的每个小单元内部展开，在单元范围内分析杆端内力与位移之间的关系（即单元刚度方程），位移未知时，单元分析是为了建立单元刚度矩阵；整体分析：结构整体层面展开，考虑整个结构的几何条件和平衡条件，建立整个结构的刚度方程，求解基本未知量，即结构的结点位移。8概念二、坐标系

整体坐标系整个结构唯一的坐标系。用于整体分析，描述结构整体的变形和受力。

yxθ符号没有统一规定，根据位置判定

12345

θ

θ

θ

θ9注意：

xyθ矩阵位移法中力和位移分量的正负号都要参照坐标系。整体坐标系没有统一的规定等价于

12345

θ

θ

θ

θ注意：

xyθ矩阵位移法中力和位移的正负号都要参照坐标系。整体坐标系没有统一的规定xyθxyθxyθ常用的整体坐标系还有11概念三、单元杆端力

空间梁单元的杆端力向量？平面链杆单元的杆端力向量？12由杆端力的主矢量和主矩沿单元坐标分解得到的分量按顺序排成一列。其元素相当传统意义上的内力，即分别

为单元两端截面的轴力、剪力、弯矩，只是正负号规定不同5KN9KN9KN5KN30KN.m15KN.m

θ单元坐标描述的杆端力向量

95593015FN图KN）FS图（KN）M图（KN.m）13由杆端力的主矢量和主矩沿整体坐标分解得到的分量按顺序排成一列。分别为单元始端、终端杆端力沿整体坐标x、y轴分量及力矩。整体坐标系描述的杆端力向量

平面梁单元整体坐标描述的杆端力向量：14概念四、单元杆端位移

空间梁单元的杆端位移向量？平面链杆单元的杆端位移向量？15单元杆端位移向量与杆端力向量一一对应杆端位移沿单元坐标分解得到的分量按顺序排成一列。沿整体坐标系分解得到的分量按顺序排成一列。

整体坐标系表示的杆端位移

单元坐标系表示的杆端位移16例1：已知某单元在单元坐标下的杆端力：单元坐标系如图，单元内部无荷载作用，作出单元的内力图。1.241.52.61.241.53.4jiyxΘ--1.241.52.63.4FN图（KN）FS图（KN）M图（KN.m）单元受力图*已知单元坐标下的杆端力向量，才能画出单元的内力图。注意：无论是在单元坐标系下描述，还是在结构整体坐标系下描述，单元的杆端力和杆端位移向量没有统一的符号规定。如何区分各符号是表示哪个坐标系下描述的量？请你一定用文字注明坐标系！183.044.381.240.43M(KN.m)FS(KN)FN(KN)例2：已知单元内力图，列出单元的杆端力向量xyθ1.240.434.381.240.433.04整体坐标描述：受力图yxθ单元坐标描述：ijij192020701234(1)(2)(3)xy作业1：已知单元和结点的离散如图，给定荷载作用下各结点整体坐标下的位移：要求：1.写出单元坐标及整体坐标表示的单元杆端位移向量，整体坐标表示的单元杆端力向量，2.画出整个结构的内力图。单元坐标下：各单元的杆端力向量如下：20思考题请你思考后归纳总结：位移法和矩阵位移法有哪些的异同点？21位移法要点位移法的基本未知量：独立的结点位移（不包括支座结点的位移和铰点的转角位移。位移法典型方程：结点位移对应的平衡方程（转角位移对应于结点的力矩方程，线位移对应于杆件的投影方程）。基本体系把结构分划为若干独立的超静定梁（单元），典型方程把它们组合在一起。等截面直杆的刚度方程——单元分析是关键。ABDCP22位移法和矩阵位移法异同点未知量都是结点位移。都要进行单元分析和整体分析。基本方程都是位移对应的力平衡条件。位移法只取独立的结点位移作为未知量。忽略梁式杆的轴向变形，不考虑支座结点的位移和铰结点的转角位移。矩阵位移法的未知量考虑所有结点的位移（包括支座结点），除非注明，一般都要考虑杆的轴向变形。位移法：矩阵位移法：？基于不同基本假定条件下的未知量数目往往不同。相同点不同点23矩阵位移法未知量—先处理法计算中首先将支座约束结点已知的零位移剔除。先处理法大大地减少了未知数的数目，减少了计算工作量。适合于手算。

例3：判断图示结构矩阵位移法求解(先处理法)的未知量。1234F24计算过程中将支座结点的0位移同样视为基本未知量求解，后面再对整个结构刚度方程作支承条件处理。后处理法的未知量数仅决定于结点数。平面每个刚结点3个、铰结点2个未知量。易于编写通用计算机程序。矩阵位移法未知量—后处理法例3：判断图示结构矩阵位移法求解(后处理法)的未知量。1234F25例4.判断图示结构矩阵位移法求解的基本未知量数。先处理法后处理法一般情况：14*3=42忽略轴向变形：14+5=19忽略轴向变形：19+9=28先处理法：14*2=28后处理法：17*2=34一般情况：17*3=5126ABDCP矩阵位移法未知量：——先处理法矩阵位移法和位移法的不同点位移法未知量：基于不同基本假定条件下的未知量数目往往不同。一般情况：忽略轴向变形：矩阵位移法未知量：——后处理法一般情况：忽略轴向变形：27位移法——有四种基本结构（两端固定梁，一端固定一端简支梁，一端固定一端定向梁，两端