机械工程控制基础第二章：自动控制系统的数学模型及传递函数

1第二章

自动控制系统的数学模型及传递函数

(Themathematicmodelandtransferfunctionoftheautomaticcontrolsystem)2.1系统数学模型的建立Thefoundationofthemathematicmodelofthesystem2.2非线性数学模型的线性化*

Linearizethemathematicmodelofthenonlinearsystem2.3拉普拉斯变换

Laplacetransfer2.4传递函数

Transferfunction2.5系统方框图和信号流图Theblockprogramandsignalflowgraphofthesystem2.6工程实例中的数学模型与传递函数*Themathematicandtransferfunctionintheprojectcases22.1系统数学模型的建立

Thefoundationofthemathematicmodelofthesystem

[例2.1]无源电路网络(RLCcircuit)C3建立含运算放大器网络的数学模型

Constitutethemathematicmodelofthenetworkwithamplifier[例2.2]积分环节(Integral)[解](a)运算放大器的符号

++(b)含运算放大器的一种网络CR+_+R理想运算放大器具有如下特性：(1)虚断，即(2)虚短，即VirtualshortVirtualbreak4由此式表示的关系，称A和B两点处为“虚断”。(Amplifier,Impedance,Electricity)“Virtualbreak”Mathematicmodel5[例2.3]建立直流伺服电动机控制系统的数学模型

ThemathematicmodeloftheDCservomotorscontrolsystem[解]JD电压平衡方程：Voltagebalanceequation

力矩方程：Momentequation

动力学方程：Kineticequations

转速方程：Speedequation

6Inductance

Armatureresistance

7Angular

velocity

MotorrotorSingle-inputsingle-outputlineartime-invariantsystem

82.2非线性数学模型的线性化*所谓线性化，就是在一定条件下作某种近似，或者缩小一些工作范围，将非线性微分方程近似地作为线性微分方程来处理。图2.4非线性关系线性化9对于以一个自变量作为输入量的非线性函数在平衡工作点(x0,y0)附近展开成泰勒级数，则有略去高于一次增量△x=x-x0的项，便有或10线性化时要注意如下几点：(1)必须明确系统处于平衡状态的工作点，因为不同的工作点所得线性化方程的系数不同。即非线性曲线上的各点的斜率(导数)是不同的。(2)如果变量在较大范围内变化，则用这种线性化方法建立的数学模型，除工作点外的其他工况势必有较大的误差。所以非线性模型线性化是有条件的，即变量偏离预定工作点很小。11(3)对于某些典型的本质非线性，如果非线性函数是不连续的(即非线性特性是不连续的)，则在不连续点附近不能得到收敛的Taylor级数，这时就不能线性化。(4)线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。12本质非线性主要有饱和非线性、死区非线性、间隙非线性和库伦摩擦非线性等。下图为几种典型本质非线性模型。132.3拉普拉斯变换2.3.1复数和复变函数(1)复数的概念：图2.6复平面Laplacetransform

Complexandthecomplexvariablefunction

14(2)复数的表示法①复数的向量表示法②复数的三角函数表示法与指数表示法利用欧拉公式故复数s可用指数形式表示为Vector

TrigonometricfunctionsExponent

Euler'sformula

15(3)复变函数、极点与零点的概念记为以复数s=σ+jω为自变量构成的函数G(s)称为复变函数例2.4

当s=σ+jω时，求复变函数G(s)=s2+1的实部和虚部。解：则，其实部为：虚部为：ComplexVariablesFunctions

Poles,ZerosIndependentvariableImaginarypartRealpart16当复变函数表示成分别考虑其分子和分母为零的情况，当取s=-zi时，使G(s)=0,则s=-zi称为G(s)的零点；当s=-pj时,使G(s)趋于无穷大，则s=-pj称为G(s)的极点。时，ZerosPoles(NumeratorandDenominator)17定义：2.3.2拉普拉斯变换及其逆变换的定义

1.拉普拉斯变换Laplacetransform

InverselaplacetransformationLaplacetransform

18(2)拉普拉斯逆变换

简写为f(t)=L-1[F(s)]

。(Inverselaplacetransformation)192.3.3典型时间函数的拉氏变换TypicaltimefunctionUnitstepfunction(BasedonthedefinitionoftheLaplacetransformation)20单位脉冲函数定义为(2)单位脉冲函数且f(0)为t=0时刻的f(t)的函数值,δ(t)的拉氏变换为Unitpulsefunction

21（3）单位速度（斜坡）函数Unitrampfunction22Exponentialfunction

23正弦信号函数为(5)正弦信号函数由欧拉公式，正弦函数可表达为Sinusoidalsignalfunction

Euler'sformula

24拉普拉斯变换简表(ThesimpletableoftheLaplacetransformation)252.3.4拉氏变换的基本性质BasicpropertiesoftheLaplacetransformation(Theadditiontheorem)(Thedifferentiationtheorem)n-orderderivative

26(Theintegraltheorem)n-tupleintegral

(Thelagtheorem)(Theinitialvaluetheorem)27(Thefinalvaluetheorem)(Theattenuationtheorem)(Theconvolutiontheorem)282.3.5拉氏反变换的应用其中，r1+r2+…+rl=n

。pi是A(s)的根，称为F(s)的极点。若存在ri>1，为有重根情况，即有相同极点；当没有重根时，ri=1(i=1,2,…,n)

，即没有相同的极点，即Theapplicationofthe

LaplaceinversetransformationRoot

PolesRepeatedroot

29下面分别对这两种情况进行部分分式展开，求F(s)反变换。当没有相同极点时，（2.58）可化为部分分式1.没有相同极点情况Partialfractionexpansion30解：将像函数表示为部分分式形式例2.5

求的拉氏反变换。①所有根均为实根可求得原函数为可计算出Realroot

Primitivefunction

31例2.6求下面像函数的原函数②有共轭复根解：可计算出：Complexconjugateroots32(2)有相同极点的情况例2.7

求下列像函数的原函数解：可求得33查表可求得(Lookingupthetable,wecanobtainthat)342.4传递函数2.4.1传递函数的定义Transferfunction

Definition35(Laplacetransferofoutput)(Theoutputintimedomain)36传递函数具有以下特点：(1)传递函数的分母是系统的特征多项式，代表系统的固有特性；分子代表输入与系统的关系，而与输入量无关，因此传递函数表达了系统本身的固有特性。(2)传递函数不说明被描述系统的具体物理结构，不同的物理系统可能具有相同的传递函数。(3)传递函数比微分方程简单，通过拉氏变换将时域内复杂的微积分运算转化为简单的代数运算；Transferfunctionfollowingcharacteristics:37(4)当系统输入典型信号时，输出与输入有对应关系。特别地，当输入是单位脉冲信号时，传递函数就表示系统的输出函数。因而，也可以把传递函数看成单位脉冲响应的像函数；(5)如果将传递函数进行代换s=jω，可以直接得到系统的频率特性函数(详见第4章)。38由于传递函数是经过拉氏变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念仅适用于线性定常系统；传递函数是在零初始条件下定义的，因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的运动规律。一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，因此只适用于单输入单输出系统的描述，而且系统内部的中间变量的变化情况，传递函数也无法反映。需要特别指出的是：Needstobenotedis:392.4.2典型环节的传递函数惯性环节比例环节积分环节微分环节振荡环节延时环节Thetransferfunctionsofthetypicallinks(Proportionallink)(Inertialink)(Differentiallink)(Integratinglink)(Oscillationlink)(Time-lapselink)402.4.2典型环节的传递函数Thetransferfunctionsofthetypicallinks(Proportionallink)41-+由运算放大器构成的比例环节返回(Proportionallinkwhichiscomposedofoperationalamplifier)(Laplacetransform)42（2）惯性环节略去质量的阻尼—弹簧系统(Inertialink)Dalembert’sprinciple43求低通滤波器的传递函数低通滤波电路Low-passfilter

44DCservomotors45（3）微分环节它激直流发电机原理图返回DifferentiallinkDCgenerator

DCgeneratorwhichisexcited46（4）积分环节齿轮——齿条传动Integratinglink

(Gear-racktransmission)47含运算放大器的积分环节C_+R+返回Operationalamplifier

48（5）振荡环节质量-阻尼-弹簧系统(Oscillationlink)(Mass-damp-springsystem)4950振荡电路InductanceResistance

OscillatorycircuitVoltagebalancedequation51返回52（6）延时环节返回(Time-lapselink)532.5系统方框图和信号流图2.5.1系统方框图的组成

图2.18方框图的组成(a)方框(b)比较点(c)分支点(a)(b)(c)Theblockprogramandsignalflowgrapha.Blockb.Comparisonpointc.Branchpoint54

环节串联（1）环节串联2.5.2环节的基本连接方式Serieslinks55（2）环节并联+Parallellinks56（3）反馈连接+-FeedbackconnectionClosed-loopsystem

57单位负反馈+Unitofnegativefeedback582.5.3方框图的变换与简化分支点前移分支点后移Thetransformationandsimplificationofblockdiagram(Thebranchpointex-move)(Thebranchpointretrusion)59相加点前移相加点后移(Summingpointretrusion)(Summingpointex-move)60（2）方框图的简化

方框图的简化Thesimplificationofblockdiagram61626364三环回路方框图简化

(Thesimplificationofthethree-ringlooplockprogram)

652.5.4系统的信号流图及梅逊公式(1)信号流图的概念

a、节点：在信号流图中，节点用来表示变量或信号，用符号“○”表示。如图中X1，X2，X3，X4，X5，X6。节点包括三种类型：

输入节点（也称为源节点）：如图中X1

输出节点（也称为汇节点或阱节点）：如图中X6

混合节点：是指既有输入又有输出的节点：如图中X2，X3，X4，X566(1)信号流图的概念b、支路：在信号流图中，支路是连接两个节点的定向线段，它具有支路增益，在图中标记在相应的线段旁，信号只能在支路上沿箭头方向传递。支路增益可以是实数，也可以是复数。如支路X1→X2的增益为G1；支路X2→X3的增益为G2；支路X1→X5的增益为K。67c、前向通路:指的是沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径，通路上各支路增益之乘积，称为通路总增益，一般用Pk表示。

(1)信号流图的概念如图中，输入节点X1到输出节点X6有两条前向通路。第二条为：X1→X5→X6，其前向通路增益P2＝KG5。第一条为：X1→X2→X3→X4→X5→X6，其前向通路增益

P1＝G1G2G3G4G5；68(1)信号流图的概念

d、回路：在信号流图中，当信号沿支路传送时，通过任一节点的次数只有一次，且起点和终点在同一个节点上的闭合通路叫做单独回路，简称回路。回路中所有支路增益之乘积叫做回路增益，用Li

表示。如图中共有两条回路：第二条为：X4→X5→X4，其回路增益L2＝-G4H2。第一条为：X2→X3→X2，其回路增益L1＝-G2H1；69

e、不接触回路：在信号流图中，假如回路之间没有公共节点和支路，则称它们为不接触回路。可以有两个不接触的回路，也可以有三个不接触的回路等等。70①以节点代表变量。源节点代表输入量，汇节点代表输出量。混合节点表示的变量是所有流入该点信号的代数和，而从节点流出的各支路信号均为该节点的信号。信号流图具有下列性质:④对于同一个系统，信号流图的形式不是唯一的。②以支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经过一条支路，相当在方框图中经过一个用方框表示的环节。③增加一个具有单位传输的支路，可以把混合节点化为汇节点。71(2)信号流图的简化①串联支路的总传输等于各支路传输之乘积