4非稳态导热问题的数值解法

第四章导热问题的数值解法§4-3非稳态导热问题的数值解法非稳态导热与稳态导热的主要区别：温度不仅随空间变化，还随时间变化，控制方程中多一个非稳态项；非稳态项热源项？能量平衡关系：网格单元不仅与相邻的网格单元之间有热量的导入或导出，网格单元本身的热力学能也随时间发生变化下面我们直接用一维、有内热源、常物性的非稳态导热问题为例给出非稳态项的处理方法一维、有内热源、常物性的非稳态导热问题离散方程的建立过程——空间和时间的离散化时间步长：从一个时层到下一个时层的间隔称为时间步长

x

m-1,m,m+1Mi+1

0ii-1(m+1,i)(m-1,i)(m,i)(m,i+1)(m,i-1)

xm-1,m,m+1M0m+1mm-1

表示形式一维、有内热源、常物性的非稳态导热问题离散方程的建立过程——热平衡法建立内部节点的离散方程考察(m,i)点，则扩散项可直接写出：源项：非稳态项：不同的型线导致了不同的差分格式假设温度随空间分段线性分布t

显式隐式C-N格式t

向前差分向后差分中心差分t

显式隐式(1)向前差分以网格尺寸为特征尺度的Fourier数t

显式隐式(2)向后差分第3种形式(中心差分格式)感兴趣的自己推导可以看出，对于第一个公式，一旦i层时间上个节点的温度已知，则可以立即算出(i+1)时层上个内部节点的温度，而不必求解联立方程组，因而，称之为显式差分格式；第二个公式则必须求解第i时层的一个联立方程才能得出(i)时层各节点的温度(迭代求解)，因此，称之为隐式差分格式。两种差分格式的优缺点:(1)显式差分格式计算速度快，但对时间步长和空间步长有限制，如果和取得不好，很有可能导致计算结果发散稳定性条件：的系数必须大于或等于零即：同理，对于二维不稳定，均匀网格的显式差分格式，稳定性条件为：若温度对时间的一阶导数采用向后差分，则式等价写为：将上式移项整理：此式为隐式差分格式隐式差分式显式差分式优缺点或比较用热平衡法建立边界节点的节点方程边界节点也有显式格式隐式格式考察一无限大平板，其左侧面为第三类边界条件，针对边界节点，其节点方程边界的热容项网格划分如图所示网格毕渥数，从为特征长度整理上式：其中移项整理上式与内节点稳定性条件相比更为严格，在第三类边界条件下，应采用上式作为稳定性条件在第一类边界条件下，只需采用内节点方程定性条件此式为的显式差分表达式：稳定性条件即对于绝热边界条件,可令边界上的对流换热量为零即在第三类边界条件下，二维不稳定态导热均匀网格的显式差分格式，其稳定性条件为：即令针对图中的边界节点1应用热平衡法也可以写出其隐式差分格式即整理上式，得令移项整理隐式差分格式无条件稳定同样，若是绝热边界条件可令作业：4-10，4-15说明：4-15：只列出1，2，4三个节点的离散方程即可，无需化简，也不用求解§4-4导热问题数值计算实例稳态导热问题：例：一矩形薄板，几何尺寸及节点布置。如图所示。薄板左侧边界给定温度为200℃，其他三个界面给定温度为50℃，求各节点的温度计算所用公式温度节点变量标志符如下：节点的坐标变量节点的温度所算出的节点温度沿X方向和Y方向网格划分数左侧边界温度右侧边界温度顶部边界底部边界温度节点温度的初始假定值控制迭代过程终止的误差允许的最大迭代次数输入数据开始输入M，N，EPS，K，TTB，TLB，TRB，TBB迭代次数IT＝0YESNOYESNO打印“IT”打印“不收敛”打印Ti,j停机非稳态导热问题例：一厚度为0.06m的无限大屏壁，初始温度为20℃，给定壁两侧的对流换热边界条件，流体温度为150℃壁表面对流换热系数已知壁的导热系数，试计算2分钟后，无限大屏壁内各节点的温度。选定壁的半厚度作为计算对象，将半壁厚度等分为10层即N=10节点1Q热边界面节点11对流边界面令节点的编号K时刻的节点温度K+1时刻节点温度时间间隔k变量变量标志符无限大平面的厚度半壁厚划分的间距数目选定的时间间隔初始温度流体温度导热温度导热系数输入数据输入数据壁表面的对流换热系数控制打印各打