中考数学一轮复习常考题型突破练习专题21 勾股定理（原卷版）

专题21勾股定理【考查题型】【知识要点】知识点一勾股定理勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，斜边为SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0。变式：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。用拼图的方法验证勾股定理的思路是：1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理勾股定理的证明方法：方法一（图一）：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化简可证．方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为SKIPIF1<0大正方形面积为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0方法三（图三）：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化简得证SKIPIF1<0图一图二图三知识点二勾股数勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正整数时，称SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为一组勾股数常见的勾股数：如SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0等扩展：用含字母的代数式表示SKIPIF1<0组勾股数：1）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0SKIPIF1<0为正整数）；2）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为正整数）3）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正整数）注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。知识点三勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，那么这个三角形是直角三角形，其中SKIPIF1<0为斜边【注意】1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和SKIPIF1<0与较长边的平方SKIPIF1<0作比较，若它们相等时，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为三边的三角形是直角三角形；若SKIPIF1<0，时，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为三边的三角形是钝角三角形；若SKIPIF1<0，时，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为三边的三角形是锐角三角形；2)定理中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，那么以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为三边的三角形是直角三角形，但是SKIPIF1<0为斜边3)勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形知识点四直角三角形的性质与判定性质：1）直角三角形的两个锐角互余。2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。3）直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半。判定：1）有一个角是直角的三角形是直角三角形。2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系SKIPIF1<0，那么这个三角形是直角三角形。考查题型一由勾股定理解三角形典例1．（2022·浙江金华·中考真题）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是SKIPIF1<0，下列各地点中，离原点最近的是（

）A．超市 B．医院 C．体育场 D．学校变式1-1．（2022·陕西·中考真题）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的高，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则边SKIPIF1<0的长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0变式1-2．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0变式1-3．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0变式1-4．（2022·广西桂林·中考真题）如图，在SKIPIF1<0ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则SKIPIF1<0ABC的面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．1+SKIPIF1<0 C．2SKIPIF1<0 D．2+SKIPIF1<0变式1-5．（2022·四川资阳·中考真题）如图，正方形SKIPIF1<0的对角线交于点O，点E是直线SKIPIF1<0上一动点．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0变式1-6．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，正方形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，将正方形SKIPIF1<0绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点SKIPIF1<0的坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0变式1-7．（2022·山东青岛·中考真题）如图，O为正方形SKIPIF1<0对角线SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为等边三角形．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长度为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0变式1-8．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿BD折叠到SKIPIF1<0位置，DE交AB于点F，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0变式1-9．（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程SKIPIF1<0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．变式1-10．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=_______．变式1-11．（2022·甘肃武威·中考真题）如图，菱形SKIPIF1<0中，对角线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为_________cm．考查题型二利用勾股定理解决折叠问题典例2（2022·四川达州·中考真题）如图，点E在矩形SKIPIF1<0的SKIPIF1<0边上，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，点A恰好落在SKIPIF1<0边上的点F处，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为（

）A．9 B．12 C．15 D．18变式2-1．（2022·山东济宁·中考真题）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0变式2-2．（2021·山东枣庄·中考真题）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=SKIPIF1<0，则BC的长是（）A．SKIPIF1<0 B．3SKIPIF1<0 C．3 D．3SKIPIF1<0变式2-3．（2021·四川巴中·中考真题）如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将SKIPIF1<0BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0变式2-4．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将SKIPIF1<0沿DE翻折得到SKIPIF1<0，点F落在AE上．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______cm．变式2-5．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0翻折，点SKIPIF1<0的对应点SKIPIF1<0恰好落在SKIPIF1<0上，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为_________．变式2-6．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，将矩形纸片SKIPIF1<0折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．考查题型三以弦图为背景的计算题典例3．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（

）A．4 B．8 C．12 D．16变式3-1．（2022·四川内江·中考真题）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=________．变式3-2．（2022·四川宜宾·中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______．变式3-3．（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将SKIPIF1<0因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式SKIPIF1<0解法二：原式SKIPIF1<0【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】(1)请用分组分解法将SKIPIF1<0因式分解；【挑战】(2)请用分组分解法将SKIPIF1<0因式分解；【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和SKIPIF1<0，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将SKIPIF1<0因式分解，再求值．考查题型四勾股定理解决实际应用问题典例4．（2021·江苏南通·中考真题）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东SKIPIF1<0方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东SKIPIF1<0方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）．变式4-1．（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇