极限的概念与性质课件

极限的概念与性质课件极限的定义极限的性质极限的四则运算重要极限与极限存在准则无穷大与无穷小的关系极限的应用极限的定义01对于数列`{an}`，若存在常数`A`，对于任意正数`ε`，都存在正整数`N`，使得当`n>N`时，恒有`|an-A|<ε`，则称数列`{an}`收敛于`A`。定义极限的数列以图形的方式解释数列收敛，通过观察图形变化趋势来理解极限的概念。几何解释极限的数列定义定义极限的函数对于函数`f(x)`，若存在常数`A`，对于任意正数`ε`，都存在正数`δ`，使得当`0<|x-x0|<δ`时，恒有`|f(x)-A|<ε`，则称函数`f(x)`在点`x=x0`处收敛于`A`。几何解释以图形的方式解释函数收敛，通过观察图形在某一点处的变化趋势来理解极限的概念。极限的函数定义右极限当自变量从右侧趋近于某一点时，函数值的极限称为右极限。左极限与右极限的关系左极限与右极限存在且相等时，函数在该点的极限存在；反之，若左右极限不相等，则该点称为函数的间断点。左极限当自变量从左侧趋近于某一点时，函数值的极限称为左极限。左极限与右极限极限的性质02唯一性是指如果一个函数在某一点有极限，那么这个极限是唯一的。对于数列来说，如果存在一个数列收敛于a，那么这个数列的极限只能是a，不存在其他可能的值。对于函数来说，如果一个函数在某一点x0处收敛于一个函数f(x)，那么这个函数在x0处的极限只能是f(x)，不存在其他可能的值。唯一性局部有界性是指如果一个函数在某一点有极限，那么在这个点的附近一定存在一个区间，这个函数在这个区间内有界。对于数列来说，如果一个数列收敛于a，那么在a的附近一定存在一个区间，这个数列在这个区间内有界。对于函数来说，如果一个函数在某一点x0处收敛于一个函数f(x)，那么在x0的附近一定存在一个区间，这个函数在这个区间内有界。局部有界性对于函数来说，如果一个函数在某一点x0处收敛于一个函数f(x)，且这个函数在x0的某个邻域内保持一定的符号，那么这个函数在x0处的极限f(x0)也保持相同的符号。局部保号性是指如果一个函数在某一点有极限，且这个函数的函数值在某个区间内保持一定的符号（正或负），那么这个函数的极限也保持相同的符号。对于数列来说，如果一个数列收敛于a，且这个数列的项在某个区间内保持一定的符号，那么这个数列的极限a也保持相同的符号。局部保号性迫敛性是指如果一个函数在某一点有极限，且存在一个正数M，使得在这个点的某个邻域内，这个函数的项都落在以原点为圆心、以M为半径的圆内，那么这个函数的极限存在。对于数列来说，如果一个数列收敛于a，且存在一个正数M，使得在这个数列的某个后项都落在以原点为圆心、以M为半径的圆内，那么这个数列的极限a存在。对于函数来说，如果一个函数在某一点x0处收敛于一个函数f(x)，且存在一个正数M，使得在这个函数的某个邻域内，这个函数的项都落在以原点为圆心、以M为半径的圆内，那么这个函数在x0处的极限f(x0)存在。迫敛性极限的四则运算03极限的加法运算满足交换律和结合律。设$f(x)$和$g(x)$在$x\rightarrowa$时都收敛，则$f(x)+g(x)$在$x\rightarrowa$时也收敛，且$(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$。极限的加法运算详细描述总结词总结词极限的减法运算满足结合律，但不满足交换律。详细描述设$f(x)$和$g(x)$在$x\rightarrowa$时都收敛，且$g(x)$不为0，则$f(x)-g(x)$在$x\rightarrowa$时也收敛，且$(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)$。极限的减法运算极限的乘法运算满足结合律和交换律。总结词设$f(x)$和$g(x)$在$x\rightarrowa$时都收敛，且$g(x)$不为0，则$f(x)\cdotg(x)$在$x\rightarrowa$时也收敛，且$(f(x)\cdotg(x))'=f'(x)\cdotg(x)+f(x)\cdotg'(x)$。详细描述极限的乘法运算总结词极限的除法运算满足结合律，但不满足交换律。详细描述设$f(x)$和$g(x)$在$x\rightarrowa$时都收敛，且$g(x)$不为0，则$f(x)/g(x)$在$x\rightarrowa$时也收敛，且$(f(x)/g(x))'=(f'(x)\cdotg(x)-f(x)\cdotg'(x))/g^{2}(x)$。极限的除法运算重要极限与极限存在准则04极限limx->2x^2+3x-10/x-2的值为：当x趋近于2时，该极限的值为4。重要极限limx->0(1+x)^(1/x)的值为：当x趋近于0时，该极限的值为e。重要极限limx->∞(1+1/x)^x的值为：当x趋近于无穷大时，该极限的值为e。重要极限极限存在的充分条件是左右极限存在且相等，且在该点处函数连续。极限存在的必要条件是左右极限存在且相等，但函数在该点处不一定连续。极限存在的充要条件是左极限等于右极限。极限存在准则无穷大与无穷小的关系05无穷大的定义无穷大是指一个函数在某个自变量变化过程中，其函数值无限增大，无论自变量取何值，函数值都大于某个正数，则称该函数为无穷大。无穷大常被表示为lim(x→x0)，称为x趋于x0时的极限。无穷小是指一个函数在某个自变量变化过程中，其函数值无限趋近于0，无论自变量取何值，函数值都小于某个正数，则称该函数为无穷小。无穷小常被表示为lim(x→x0)，称为x趋于x0时的极限。无穷小的定义无穷大与无穷小是两个相反的概念，一个函数在某个自变量变化过程中，若其函数值无限增大，则其倒数函数值无限减小，反之亦然。无穷大与无穷小关系在微积分学中具有重要的应用价值，是研究函数性质、求导数和积分等问题的关键概念。在求极限时，无穷大与无穷小具有倒数关系，即lim(x→x0)f(x)/g(x)=1/lim(x→x0)g(x)/f(x)。无穷大与无穷小的关系极限的应用06确定函数在无穷远点的极限值对于一些函数，例如$f(x)=\frac{1}{x}$，可以通过求函数在无穷远点的极限值来确定函数的值域。利用极限的保号性如果函数在某一点的极限值大于零，则在该点的某个邻域内，函数的值都大于零；反之亦然。利用这一性质，可以确定函数的值域。利用极限求函数的值域求解函数在某一点的导数值对于可导函数，如果导数值为零，则该点可能是极值点。因此，可以求解函数在某一点的导数值来确定是否为极值点。要点一要点二判断函数的单调性如果函数在某一段区间内单调递增或递减，则该区间内没有极值点。因此，可以通过判断函数的单调性来确定是否为极值点。利用极限求函数的极值VS对于可