2022年中考数学复习：动态几何探究题

2022年中考数学复习：动态几何探究题

1.已知：如图，正方形的边长为1,在射线A8上取一点E,联结QE,将AOE绕点。针旋转90。，E点

落在点F处，联结EV,与对角线BO所在的直线交于点M,与射线0c交于点N.求证：

⑴当熊=1时，求tan/E/M的值；

3

(2)当点E在线段A8上，如果=FM=y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域;

(3)联结4W,直线AM与直线BC交于点G,当8G=g时，求AE的值.

2.如图1,在A4BC中，AB=AC,ABAC=9Q°,将4c边绕着点A逆时针旋转。(0。＜。＜90。)，得到线

段AO,连接8。交4c边于点E,过点C作CF_L8D于点尸，延长CF交4。于点G.

⑴求证：/D=ZACG；

(2)如图2,当a=60°时，求证：AG=41EF;

(3)如图3,当a=45。时，请直接写出+的值.

AG2+DG2

3.如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标物上，点3坐标为(3,3).将正方形ABC。绕点A顺时针旋转

角度。(0。＜&＜90。)，得到正方形4。£万，即交线段0c于点G,ED的延长线交线段BC于点P.连

AP.AG.

(1)求证：AAOG丝AAOG；

(2)求/PAG的度数；并判断线段OG、PG、8P之间的数量关系，说明理由；

(3)当N1=N2时，求直线PE的解析式(可能用到的数据：在MA中，30。内角对应的直角边等于斜边的

一半).

(4)在(3)的条件下，直线PE上是否存在点M,使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存

在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.

4.在正方形ABCO中，过点B作直线/,点E在直线/上，连接CE,DE,其中CE=3C,过点C作

于点R交直线/于点儿

(1)当直线/在如图①的位置时

①请直接写出NECH与N/7CO之间的数量关系.

②请直接写出线段5H,EH,CH之间的数量关系.

(2)当直线/在如图②的位置时，请写出线段3H,EH,CH之间的数量关系并证明：

(3)已知AB=2,在直线/旋转过程中当NE8C=15。时，请直接写出E”的长.

图①图②备用图

5.如图，等腰RtAABC中，AB=AC,£＞为线段BC上的一个动点，E为线段AB上的一个动点，使得CO

=42BE.连接。E,以。点为中心，将线段OE顺时针旋转90。得到线段。F,连接线段EF,过点。作射

线。交射线BA于点R,连接。凡RF.

(1)依题意补全图形；

(2)求证：△BDEgARDF；

(3)若A8=AC=2,P为射线8A上一点，连接尸尸，请写出一个BP的值，使得对于任意的点。，总有

/BPF为定值，并证明.

6.如图1,在AABC中ZAC8=90。,CD平分ZACB,且于点。

(1)判断△AB£＞的形状；

(2)如图2,在(1)的结论下，^BQ=25/2,DQ=3,ZBQD=75°,求AQ的长；

(3)如图3,在(1)的结论下，若将。8绕着点。顺时针旋转。(0°＜。＜90。)得到。尸，连接8P,作

产交”于点凡试探究4尸与DE的数量关系，并说明理由.

7.综合与实践，已知：如图1和图2,四边形ABCC中，AB=AD,NBA。=90。，点£、F分别在BC、

CD上,ZEAF=45°.

图3

图1

问题探究：

(1)如图1,若DB、都是直角，把AABE绕点A逆时针旋转90。至AAOG,使AB与AD重合，

则/E4G=度，线段8E、。厂和EF之间的数量关系为；

问题再探：

(2)如图2,若DB、ND都不是直角，但满足N5+N£)=180。，线段BE、OF和所之间的数量关系是否

仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

拓展应用：

(3)如图3,在AABC中，NB4C=90。，AB=AC=4&.点。、E均在边8c边上，且NZME=45。，若

BD=2,则DE的长为.

8.婆罗摩笈多(Brahmagupta)约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就.婆罗摩

笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德.婆罗摩笈多的一些数学成就在世界

数学史上有较高的地位.例如下列模型就被称为''婆罗摩笈多模型”：如图1,2,3,△ABC中，分别以

AB,AC为边作心△ABE和R/ZkACQ,AB=AE,AC=A£>,NBAE=NCA£>=90。，则有下列结论：

①图1中S^ABC=S^ADE-

②如图2中，若AM是边BC上的中线，贝ljEO=2AM；

③如图3中，若AMLBC,则MA的延长线平分ED于点N.

(1)上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；

(2)能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：AABC与AAOE均为等腰

直角三角形，/BAC=/£>AE=90。，连接8。，CE,若尸为BO的中点，连接4F,求证：2AF=CE.

9.AABC和AAED都是等腰直角三角形，BAC=^EAD=90.

(1)如图1,点B在线段AE上，点C在线段相>上，请直接写出线段3E与线段CZ)的数量关系:

(2)如图2,将图1中的A45C绕点A逆时针旋转，旋转角为a(0<a<360),请判断并证明线段3E

与线段C。的数量关系；

(3)将图1中的“U3C绕点A逆时针旋转，旋转角为a(0<a<360),若£>E=2AC,在旋转的过程

中，当以A,B,C,£>四点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出旋转角a的度数.

10.阅读理解：如图1,已知四边形ABCQ是正方形，点£F分别在边C。、D4上，且NEBF=45。，连

接EF,则线段AF、CE、EF之间存在着一定的数量关系.

(1)我们可以通过将A4B尸绕点8顺时针旋转90。或者延长EC至点G使得CG=A尸并连接8G,这两种方

法来判断线段AF、CE、EF之间的数量关系，请你写出它们的数量关系，并完成证明；

延伸拓展：

(2)如图2,四边形ABCQ是正方形，ZEBF=45°,交边CD、CA的延长线与点E、F,连接EF,请你直

接写出这种情况下线段A尺CE、EF之间的数量关系；

知识运用：

(3)如图3,在平面直角坐标系xOy中，边长为5的正方形OABC的顶点A、C分别在x、y轴上，现在

将正方形绕点。逆时针旋转a(0°<a<90°),当点C坐标为(x,y),且整数x、y满足刈=-12时，设直线

A8与直线y=x相交于点。，直线8c与y轴相交于点E,请直接写出。E的长度.

II.在锐角△ABC中，AB=AC,。是线段8c上的一点，连接A。，将A。绕着点A顺时针旋转至AE,使

得NEAQ=2NBAC,连接。E交A8于点F.

(1)如图1,若NBAC=60。，/D4C=15。，BD=4,求AB的长；

(2)如图2,点G是线段AC的一点，连接。G,FG,若DA平分NEDG,求证：FE=DG+FG；

(3)在(1)的条件下，将△8FO绕。点顺时针旋转Na(0°<a<180°)得△8尸。，直线8尸交AB于点

M,交AC于点N.在旋转过程中，是否存在△AMN为直角三角形？若存在，请直接写出AM的长度：若

不存在，请说明理由.

12.把两个等腰直角AABC和“AGE按如图1所示的位置摆放，将AADE绕点4按逆时针方向旋转，如图

2,连接30,EC,设旋转角为a(00<a<360°).

(1)如图1,B£>与EC的数量关系是,3。与EC的位置关系是；

(2)如图2,(1)中3。和EC的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立请说明

理由.

(3)如图3,当点。在线段BE上时，NBEC=.

(4)当旋转角&=时，的面积最大.

13.如图1,四边形ABC。和AEFG都是菱形，ND4B=NGAE=60。，点G,E分别在边AC,AB上，点F

在菱形ABCD内部，将菱形AER3绕点4旋转一定角度a,点E、尸始终在菱形A8C。内部.

(1)如图2,求证：AOGA也△BEA；

(2)如图3,点尸、Q分别在AB、AO的延长线上，连接A尸并延长与NQCC的平分线交于点H,连接

AE并延长与NP8C的平分线交于K,连接/)”、HK、CH、CK.

①求证：2ADHsAKBA；

②若AB=2jS,DH=5,则线段BK的长度为,线段“K的长度为.

③菱形AEFG绕点A旋转a度(0°<a<30°),AB^m,△K8C是等腰三角形，则线段HK的长

为.

图3

14.已知△ABC和△AQE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,ZDAE^ZBAC.

【初步感知】(1)特殊情形：如图①，若点。，E分别在边AB,AC上，贝IJOBEC.(填〉、〈或

=)

(2)发现证明：如图②，将图①中的绕点A旋转，当点。在AABC外部，点E在内部时，

求证：DB=EC.

【深入研究】(3)如图③，AABC和aAOE都是等边三角形，点C,E,。在同一条直线上，则/CDB的

度数为;线段CE,8D之间的数量关系为.

(4)如图④，△ABC和AAOE都是等腰直角三角形，/BAC=/D4E=90。，点C、D、E在同一直线

上，AM为AAOE中。E边上的高，则NCD3的度数为；线段AM,BD,C£>之间的数量关系

为.

图④

图①图②图③

15.如图1,△ABC为等腰直角三角形，N84C=90。，AB=4C,点。在AB边上，点E在AC边上，AD

=AE,连接。E,取边的中点。，连接。。并延长到点尸，使。尸=。£>,连接CF.

(1)请判断ACE尸的形状，并说明理由；

(2)将(1)中AAOE绕点A旋转，连接CE,(1)中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图2所示情

况给出证明，若不成立，请说明理由；

(3)若43=6,49=4,将△AQE由图1位置绕点A旋转，当点8,E,。三点共线时，请直接写出

△CEF的面积.

D

图1图2备用图

16.在平面直角坐标系中，四边形408C是矩形，点A的坐标为(5,0),点8的坐标为(0,3),以点A为中

心，顺时针旋转矩形AO8C,得到矩形ADEF,点。，B,C的对应点分别为。，E,F.

(1)如图①，当点。落在8c边上时，求点。的坐标；

(2)如图②，当点。落在线段BE上时，连接A8,AO与8c交于点

①求证：AADBszMOB；

②求点H的坐标.

(3)点K为矩形AO8C对角线的交点，S为AKDE得面积,直接写出S的取值范围.

17.将两块含30。角且大小相同的直角三角板如图1摆放.

图1图2图3图4

(1)将图1中AAAC绕点C顺时针旋转45。得图2,点£是AC与A3的交点，求证：CP、当AP、；

(2)将图2中AABC绕点C顺时针旋转30。到“282c(如图3),点鸟是A2c与A8的交点，线段C［与

42之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由;

(3)将图3中线段C/?绕点C顺时针旋转6()。到CA(如图4),连结乙乙，求证：「3仆AB.

18.正方形A2CD和正方形AEFG的边长分别为6和2,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转.

(1)当旋转至图1位置时，连接BE,DG,线段BE和。G有何关系？请说明理由；

(2)在图1中，连接B。，BF,DF,请直接写出在旋转过程中ABD尸的面积最大值;

(3)在旋转过程中，当点G,E,。在同一直线上时，请求出线段BE的长.