-2021年高考数学全真模拟卷（广东专用）（解析版）

【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷(新高考专版)

第五模拟

一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.若全集U=R,集合A={xeZ|，<16},B={x|x-lW0},则AC(CuB)=()

A.{x|lWx<4}B.{x|l<x<4}C.{1,2,3}D.{2,3}

【分析】可以求出集合4,8,然后进行补集和交集的运算即可.

【解答］解：A={xGZ|-4<x<4}={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={RxWl},

•,.CuB={x|x>l},AC(CuB)={2,3}.

故选：D.

2.复数z满足±±=l-i，则|z|=()

z

A.2iB.2C.iD.1

【分析】根据已知条件，先求出复数z的代数形式，代入模长公式即可.

【解答】解：依题意，因为复数Z满足±士=l-i，

Z

所以2=坦=2廿=,

1-i2

所以|z|=I,

故选：D.

-*'*'*'...»

3.已知向量0A=(3,-4),0B=(6,-3),0C=(2m,m+l).若AB//0C，则实数，〃的值为()

A.—1B.q2C.-3D.-1-

557

【分析】先求得得晶=比-示=(3,1),再由标“羽，则这两个向量的坐标对应成比例，解方程求

得实数，"的值，可得结论.

【解答】解：由题意可得AB=OB-OA=(3,1),若AB//OC，

则这两个向量的坐标对应成比例，即迎上工，

31

解得m=~3,

故选：C.

1

【分析】根据题意，由排除法分析：分析可得/(X)为奇函数，排除8,结合函数的解析式可得当0<x

VI时，/(x)<0,排除C,当时，/(X)>0,排除。；据此即可得答案.

【解答】解：根据题意，/(%)=应?~，其定义域为｛MxWO),

X

又由/(-X)=也。处=-f(X),即函数/Yx)为奇函数，排除B,

(-x)3

当0cx<1时，ln\x\=lnx<0,x3>0,则有/(x)<0,排除C,

当x>l时，ln\x\^lnx>0,?>0,则有/(x)>0,排除力，

故选：A.

5.ua<-1”是“mxoCR,asiruo+l<O”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】设f(x)=asiar+l,分类求得函数的值域，由mtoeR,asin_*)+l<0求得。的范围，可知

TT

-1"是"三刈七1<,nsinw+lVO”的不必要条件；取乂门=---，当〃V-1时，asiiuo+1<0成立，说明“a

叼2

V-1"是"mxoWR,asiaw+lVO”的充分条件.

【解答】解：必要性:设/(x)=asinx+L当。>0时，f(x)£[1-a,1+a],工1-。<0,即a>l；

当aVO时，/(x)曰1+a,1-a],/.1+«<0,BPa<-1.

故a>l或aV-1；

jr

充分性：取心=---，当a〈-l时，asinw+1VO成立.

X02

Aua<一]"是"3xo£R,asinxo+lVO”的充分不必要条件.

2

故选：A.

6・若log3（2a+b）=l+log6>/7。则〃+2〃的最小值为（）

A.6B.—C.3D.—

33

【分析】log3（2a+b）=l+logw〃］，变形I°g3（2“+b）=l+k）g3。儿可得a,b>0,-^-+—=3,可

得”+2匕=工Ca+2b）（2+工）=工（5+2%+型），利用基本不等式的性质即可得出.

3ba3ba

【解答】解：log3（2a+b）=1+108^775,log3（2a+h）=l+log3〃〃，

：・2a+b=3ab,a,/?>0.

化为：—=3.

ba

则。+26=工（a+26）（2+JL）=1.（5+空旦）2a.（5+2X2.（±X—）=3，当且仅当a=b=l时取

3ba3ba3vba

等号.

故选：C.

22

7.已知圆C：/+V-10），+21=0与双曲线¥-31仁>0,b>0）的渐近线相切，则该双曲线的离心率

是（）

A.V2B.—C.—D.V5

32

【分析】由双曲线的标准方程写出渐近线方程，利用圆心到切线的距离〃=「，列方程求出离心率e=£的

a

值.

22

【解答】解：双曲线三-4y=1的渐近线方程为以土ay=0,

a2b2

圆C：/+/-10y+21=0化为标准方程是：/+（y-5）2=4,

则圆心C（0,5）到直线历;-ay=0的距离为”=r；

即」。二回1一至生=2,解得£=互，

ca2

即双曲线的离心率是e=立.

2

故选：C.

8.已知正三棱锥S-ABC的侧棱长为4次，底面边长为6,则该正三棱锥外接球的表面积是（）

3

A.16nB.2OnC.32TlD.64n

【分析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾股

定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出表面积.

【解答】解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形ABC的外接圆的圆心O,接圆的半径

正三棱锥的外接球的球心在高5。'所在的直线上，设为O,连接OA得,：

r=元-,.••r=4，§,即所以二棱锥的高h=RSA2-0，—)2_产=6,

sirry

由勾股定理得，/?2=r+(R-/?)2,解得：R=4,

所以外接球的表面积S=4H/?2=64TI.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知小b,c,d均为实数，则下列命题正确的是()

A.若a>b,c>d,则ac>hd

B.若。6>0,be-ad>Ot贝!1-2——^>Q

ab

C,若a>b,c>d,贝

D.若ci>b,c>d>0,则曳

dc

【分析】利用不等式的基本性质，逐一分析即可.

【解答】解：若4>b>0,c>t/>0,则4c>bd,所以A不正确；

若">0,be-ad>0,可得」-(bc-ad)〉o，即工力〉0,所以8正确；

abab

若a>b,c>d,则〃+c>b+d,B|Ja-d>b-c,所以。正确;

4

反例。=-3,b—-5,c=5,d=\也满足c>d>0但结论不正确，所以。不正确，

故选：BC.

10.已知a,S是两个不重合的平面，/小〃是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）

A.若机〃九，m±a,则〃J_aB.若加〃a,aO则加〃〃

C.若m_La,/n_L0,贝!ja〃0D.若m_La,m//n,n//P，则a〃0

【分析】利用空间线面、面面位置关系的判定即可得出结论.

【解答】解：A.由/??〃〃，m_La,则〃_La,正确；

B.由加〃a,aC0=小则"?与〃的位置关系不确定；

C.由则。〃0正确

D,由m_La,小〃几，几〃0,则a_L0,因此不正确.

故选：AC.

11.如图，在四边形A3CD中，AB//CD,ABLAD,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,J&BC=3EC，F

为AE的中点，则（）

A.BC=-1-AB+ADB.AF-|AB-4AD

/OO

C.前=4踊。标D.CF=4AB^-AD

3363

【分析】利用向量的加法法则，先用Q和标表示出前，进而表示出访，丽和行•

【解答】解：由AB=Z4O=2OC知：

BC=BA+AD+DC，

•••BC=-AB+AD

=-yAB+AD-

故A选项正确.

»1»1».

又・・・AFjAEq（AB+BE），

5

.•而=插卷义匏4■点会

=4-AB-f4-AD'

Oo

故B选项正确.

BF=BA+AF=-AB-4AB

ou

故c正确.

VCF=CD+DA+AF

="yAB-AD-t^-AB-t^-AD

1—•9

=-T6A3B^-AD>

。不正确.

故选：ABC.

12.己知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当xVO时，/(%)="(x+1),则下列命题正确的是()

A.当x>0时，f(x)--ex(X-I')

B.函数/(无)有3个零点

C.f(x)<0的解集为(-8,-1)u(0,1)

D.Vxi,X2€R,都有-f(%2)|<2

【分析】函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)="(x+1),设x>0时:-x<0,可得

f(x)=-/(-%)—ex(x-1),x=0时，f(0)=0.当x<0时，f(x)=ex(x+1),f(x)=)=

/(x+2),可得x=-2时，函数/(x)取得极小值，进而判断出结论.

【解答】解：函数f(%)是定义在R上的奇函数，当x<0时1f(x)="(x+l),

6

设x>0时，-x<0,/(-x)=e*(-x+1),:・f(x)=-/(-%)=ex(x-1),

x=0时，/(O)=0.因此函数/(x)有三个零点：0,±1.

当x<0时，f(x)="(x+1),f(x)=)=ex(x+2),可得x=-2时，函数/(x)取得极小值,

/(-2)=g.可得其图象：

/(x)<0时的解集为：(-8,-|)u(0,1).

Vxi,X2GR,都有［/'(xi)-f(%2)|W/(0+)-f(0-)|<2.

因此BCD都正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若咨&卢亚金1更_,射+/一/=旦〃°,则tanB

abc5

【分析】先由余弦定理求出cosA的值，结合正弦定理进行化简即可.

【解答】解：由b2+c2-a2=—bc

5

,2^22

得5包粽且=_3

2bc5

则sinA=—,

5

士cosAcosBsinC

右-----+------=------

abc

则cosA‘cosB_sinC_1

sinAsinBsinC

即旦H~L=l,

4tanB

得一--=—>得tan8=4,

tanB4

故答案为：4.

14.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气号(gui)长损益

相同(号是按照日影测定时刻的仪器，辱长即为所测量影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、

白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续的十二个节气，其唇长依次成等差数列，经记录测

算，这十二节气的所有辱长之和为84尺，夏至、处暑、霜降三个节气皆长之和为16.5尺，则夏至的暑

长为尺.

7

【分析】利用等差数列的前"项和公式和通项公式列出方程组，能求出夏至的署长.

【解答】解：•.•夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续

的十二个节气，

其号长依次成等差数列

经记录测算，这十二节气的所有辱长之和为84尺，夏至、处暑、霜降三个节气劈长之和为16.5尺，

f19x11

.Si2=12ai-y-d=84

a[+25+&9=3@[+12d=16.5

解得d=l,621=1.5.

・•・夏至的辱长为1.5尺.

故答案为：1.5.

15.已知抛物线)2=2px(p>0)的焦点为F(4,0),过尸作直线/交抛物线于M,N两点，则p=,

幽-一占的最小值为

9|MF|

【分析】先有焦点坐标求出p,再讨论当直线/的斜率不存在时，求出答案，当直线/的斜率存在时，根

据韦达定理和抛物线的定义即可求出工+工=工，代入幽-―占，根据基本不等式即可求最小值

NFMF49|MF|

【解答】解：抛物线y2=2px的焦点F,因为F(4,0),

.•.E=4=p=8=y2=[6x；

2

当直线/的斜率不存在时，直线/为x=4,

'x=4

由，,可得M(4,8),N(4,-8),

Ly9=16x

.'.|MF|=|NF|=8,

.|NF|_4_=8__刍=

■，-9IMFT5百元，

当直线/的斜率存在时，设过点F作直线/的方程为y=A(x-4),不妨设M(xi,yi),N(我，”),

f2_

由《yT6x,消丫可得A-(]6+8Ar)x+16/?=0,

y=k(x-4)

]6

.*.Xl+X2=8+—―XIX2=16,

k2f

=x]+—=xi+4,|NF|=X2+^-=%2+4,

8

.11X1+X2+8

••—1~~------1

NFMFXj+4X2+4X1X2+4(x1+X2)+1616+4(8鸣)+164

(当且仅当|81=6时等号

•・冷品喈Y扁)号+磊1嘘V

成立).

故答案为：8,工.

3

16.设函数/(x)在定义域(0,+8)上是单调函数，Vxe(0,+00),f\f(x)-/+x]=e,若不等式/(x)

+f(x)2ax对(0,+°°)恒成立，则实数a的取值范围是

【分析】由己知可得f(x)=e'-x+t,且/(f)=落进而可求，及/(x),然后代入已知不等式，结合

恒成立与最值求解的相互转化可求.

【解答】解：令t=f(x)-/+x,所以/(x)=/-x+t,

因为/(X)在定义域(0,+°°)上是单调函数，Vx£(0,+8),fif(x)-ex+xj=e,

故f为常数且/(，)=d=e,

所以，t—],f(x)—ev-x+l,f(x)=/-l

因为f(x)+f(x)20r对(0,+8)恒成立,

所以2/2(a+1)x对(0,+8)恒成立，

nDX

即a+l《“e对xe(0,+8)恒成立，

x

令g(x)=红一，x>0,则g'(x)=2且X(x-l)

XX2

当x>l时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当OVxVI时，gf(x)<0,g(x)单调递减，

故当x=l时，函数取得最小值g(1)=2e,

故a+1近2e即aW2e~1.

故答案为：[a\a^2e_1).

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)在①函数/(x)=ysin(23x+(p)(3>0,|(p|<^)的图象向右平移•个单位长度得到g

(x)的图如g(%)图象关于原点对称；②向量ir=(V3sina)x,cos2a)x),n—(—coswx,—),3>0,

24

/(x)=ir・m③函数f(x)=c。s3xsin(3x哈)J(3>0)这三个条件中任选一个，补充在下面

9

问题中，并解答.

已知,函数/(X)的图象相邻两条对称轴之间的距离为个.

(I)若ove<*,且sin8平，求/(。)的值；

(2)求函数/(x)在［0,2司上的单调递减区间.

【分析】首先利用对称轴之间的距离求出函数的周期，进一步利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换

的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的值和单调区间.

【解答】解：方案一：选条件①

由题意可知，1=2兀=兀,

23

；・3=1,

•',f(x)=_-sin(2x+0)»

i冗

=­sin(2x+lt,T-)­

Nb

乂函数g(x)图象关于原点对称，

兀广

••。=k兀+6，k匕Z，

・小兀

.”丁

，f(x)=ysin(2x+-^-)•

(1)V0<9<^,sin8哆

；.6

4

Af(e)=f4)=£sirr|•兀=亨・

JTTTO

⑵由~^-+2k兀冗+2k兀，k€Z

TTn

解得下一+k冗<■冗+k兀，kEZ.

63

令k=0,得■兀

63

令k=l,得［•兀~兀,

63

io

...函数/(x)在［0,2n］上的单调递减区间为［工，2兀］,［工兀，5兀］.

6363

18.(12分)己知等差数列｛〃”｝的前〃项和为S”,42+45=12,54=16.

(1)求｛“"｝的通项公式；

(2)数列｛a｝满足加=/二7，T。为数列｛为｝的前八项和，是否存在正整数机，k使得

以=3刀”2?若存在，求出加，k的值；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)设等差数列｛m｝的公差为"，利用已知条件列出方程求解首项与公差，得到通项公式.

(2)求出Sn=n39/"X2=n2,化简｛'｝的通项公式，利用裂项消项法求和，通过TkUST/，分析

求解即可.

【解答】解：(1)设等差数列｛斯｝的公差为4,

持a29+ac§=12得2a1<+5d=12,

S4=16［2ai+3d=8

解得3-a=l+2(n-l)=2n-l,n€N*-

[d=211

(2)Sn=rH-------X2=n，

“4n2_「2(2n-l2n+l)

.Tn=bl+b2+'"+bn=—[(1--)+(—-—)+…+(-------)+(~-----—

2Lk3)匕5，k2n-32n-l，、2n-l2n+l

——([------)=-----

2'2n+l'2n+l

3m2

若T3T2,贝哈旦-

1koim2k+l(2m+l)2

整理得k=~配二

4m+l-2m

3m2

>m

又k>m>1/.<4m+l-2m2

ITL>1

2m2IR]>0

整理得，4m+l-2m2

nOl

ii

解得l〈m<l+乎，

又weN*

••/w~2>••k2=212.

存在/〃=2,k=12满足题意.

19.(12分)如图，在三棱锥P-ABC中，△雨C为等腰直角三角形，NAPC=90°,ZxABC为正三角形,

。为AC的中点，AC=2.

(1)证明：PBLAC；

(2)若三棱锥P-ABC的体积为返，求二面角A-PC-B的余弦值.

3

【分析】(1)证明PO_LAC.BD1AC.然后证明4cL平面P84.即可证明P8_LAC.

(2)说明尸。，平面A8C,以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-"z,求出平面PBC的一个法向

量，平面办C的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可.

【解答】(1)证明：为等腰直角三角形，。为AC的中点，.•.PO_LAC.

又△ABC为正三角形，。为AC中点，8。，AC.

又PDCBD=D,PD,3D平面PAD,；.4C_L平面尸B£>.

又尸8J_平面尸BQ,APBLAC.

(2)解：设三棱锥P-ABC的高为6,BD=BCsin600点,

XXACXBDX

••VP-ABC41匕=除卜=除

：.h=\,

又PD^ACX'ABC,

如图，以£>为坐标原点，建立空间直角坐标系o-xyz,则

A(l,0,0),B(0,Vs.0)，c(-l,0,0),P(0,0,1：

12

DB=（O,V3，0）,CP=（1,0,1）,CB=（1,73，0）-

设三=（x,y,z）为平面F8C的一个法向量，贝"巴’E=°即卜+z,

,CB-n=0lx+V3y=0

令x=i,得丫3,

,z=-l

•3=（1,-除，-1）.

o

又而是平面PAC的一个法向量，

DB>n__V7

.*.cos<DB>n>-

IDB||nT

二面角A-PC-8的余弦值为近

7

20.（12分）如图所示，有一块等腰直角三角形地块A8C,NA=90°,8C长2千米，现对这块地进行绿

化改造，计划从BC的中点。引出两条成45°的线段OE和。凡与42和AC围成四边形区域AEOF,

在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设试求花卉种植面积S（a）的取值范围.

13

sina

【分析】由题意在中由正弦定理得BE=——福------，在△OCF中由正弦定理得

sin(，4-a)

sin(-^-a)

CF二与/利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S&BDE+SADCF=

yn--------------元——.进而可求5(a)-y---------------——,结合题意可求范围

2V^sin(2a--^-)+22V2sin(2CL-^-)+2

2a-y€(-y.等)，利用正弦函数的性质即可求解花卉种植面积s(a)取值范围.

【解答】解：在△8OE中，/8ED=&L-a，

]

由正弦定理气菽

sin(i兀-a)

BE=—嘿一

sin(^—a)

在△OCF中，ZFDC=-^-a，/DFC=a,

4

CF1

由顶线定理得——

3冗sina

sin(

sin(苧-a)

4

・，CF=sina

,+S1K1JI

・,SABDEADCF甘XBEXBDxsi叼至xCFxCDxsi可

=¥"(BF+CF)

.z3H

近(sinaJin(丁-a)

4(.「3兀"―sina)

sin(—)

.3兀3兀.

siii4cosa-cossinCL

V2(sina___________

,3兀3兀.’sina

sin4cosa-cos4-sina

_V2(&sinacosa+sina

4cosa+sind+_Vasina-

—近ZsiVa+l+sin2a

4&sina(cosCL+sinCl)

14

sin2a-cos2a+2

4&sinacosa4^/2sin2a

_lsin2a-cos2a+2

2sin2Cl-cos2Cl+l

7U1sin2a-cos2CL+lJ

,1,1________

—?+n-

2V^sin(2a-)+2

AS(a)=S^ABC-(S&BDE+S&DCF)-------------------

2J^sin(2a)+2

・・・AEQF为四边形区域，

•'•sin(2Cl6L

平，

42

花卉种植面积S(a)取值范围是

21.(12分)已知椭圆E：¥，^=1j〉1>>0)的离心率《满足292-3/9+2=0,右顶点为A,上顶点

为B,点C(0,-2),过点。作一条与y轴不重合的直线/,直线/交椭圆石于P,。两点，直线8P,

B。分别交x轴于点M,N；当直线/经过点A时，/的斜率为&.

(1)求椭圆E的方程；

(2)证明：为定值.

15

【分析】(1)由2日2_3近日+2二0求出离心率，结合的斜率，转化求解。，。，即可得到椭圆方程.

y=kx-2

(2)设直线/的方程为y=kx-2,P(xi,yi),Q(%2,y2)由＜/得(2A:2+1)/-诋+6=0,

lv+y9=1

利用韦达定理以及弦长公式，结合三角形的面积，转化求解即可.

【解答】解：⑴由2e2-3圾e+2=0

解得e呼■或0=如(舍去)，

二0-(-2)

又k

ACa-0

:.b=1,

椭圆£的方程为/+y2=i.

2

(2)由题知，直线/的斜率比存在，设直线/的方程为y=fcv-2,P(xi,yi),Q(X2,

y=kx-2

6

由，/得(2.+1)x2-8fcr+6=0xi+x产-xx

^+y=1122ka2+-1l22k2+1

△=(-8A)2-4X6X(2^+1)

=164-24>0,

卜2〉"|"，

Yi-1

直线BP的方程为yq一x+l，

X1

16

XiXi、

令尸。解得xH7r(可'o),

Xn、

同理可得可(——.o),

y1+y2=k(x1+x2)-4=-^y^>

yiy2=(fcvi-2)(te-2)=k1x\x2-2k(xi+x2)+4

_4-2k2

2k2+1

3X]x2

SABOM,SABCNWI卜II卜y.I

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6

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