江西省景德镇市2023-2024学年高二上学期1月期末质量检测数学试题

景德镇市2023-2024学年上学期期末质量检测卷高二数学命题人：程朝鹏（昌江一中）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.在空间四边形中，化简（）A. B.C. D.2.动圆经过定点，且与轴相切，则圆心的轨迹为（）A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线3.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是（）A. B.C. D.4.共轭双曲线与，有（）A.相同的离心率 B.公共焦点C公共顶点 D.公共渐近线5.直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（）A. B. C.2 D.106.已知方程表示的曲线为，则下列命题正确的个数有（）①若曲线为椭圆，则且焦距为常数②曲线不可能是焦点在轴的双曲线③若，则曲线上存在点，使，其中为曲线的焦点A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.已知直线过点和点，则点到直线的距离为（）A. B.3 C. D.8.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，往杯盏里面放入一个半径为的小球，要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则最大值为（）A B. C. D.二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.已知向量，则（）A. B.C. D.向量的夹角为10.设抛物线的焦点为，点是上不同的两点，则（）A.抛物线的准线方程为B.若，那么点的横坐标为C.若，则线段中点到轴距离为4D.以线段为直径的圆与轴相切11.已知正方体，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则下列说法正确的是（）A.不存在点，使平面B.三棱锥的体积为定值C.直线与直线的夹角为定角D.平面截正方体所得的截面是有一组对边平行的四边形12.若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（）A B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知，则______．14.焦点为的椭圆上有一点，若线段的中点落在轴上，则______．15.在正三棱柱中，，点为棱的中点，则直线与平面夹角的正弦值为______．16.已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线的右支交与点，若，则该双曲线的离心率为______．四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点．（1）求的值；（2）求证：．18.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，离心率为．（1）求双曲线的方程；（2）直线与双曲线有唯一的公共点，求的值．19.在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点在上，且．（1）求异面直线与夹角余弦值；（2）求点到平面的距离．20.若中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，焦距长为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为的直线经过椭圆的左焦点，与椭圆相交于两点，求的面积．21.某校一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）．（1）若是四边形对角线的交点，求证：平面；（2）若二面角的平面角为，求平面与平面夹