第5章 轴向拉伸与压缩

第五章

轴向拉伸与压缩教学目标掌握截面法的步骤，轴力图的绘制，拉压杆横截面和斜截面上的应力的计算方法，应变的概念，虎克定律，拉压杆强度条件的计算；理解轴向拉压变形特点，内力、应力、极限应力、许用应力和安全系数的概念。学习要点知识点要求轴向拉压、内力、应力、应变的概念理解轴向拉压杆的内力、应力、变形计算掌握材料在轴向拉压时的力学性能熟悉轴向拉压杆的强度计算掌握圣维南原理、应力集中的概念了解重点和难点【重点】用截面法分析计算内力——轴力,绘制轴力图；应掌握虎克定律、拉（压）强度条件的应用和杆件变形的计算；低碳钢的应力-应变曲线图及特征点。【难点】利用变形求节点位移。杆件基本变形的分析思路截面法内力应力变形外力强度刚度静力学知识求解校核强度/刚度设计截面设计荷载应用第五章目录5.1拉压杆的内力、轴力图5.2应力的概念5.5拉压杆的变形5.6材料在拉伸和压缩时的力学性能5.7拉压杆的强度条件5.10拉压杆连接部分的强度计算轴向拉伸与压缩的概念1.工程实例1.工程实例2.轴向拉压的概念受力特征：杆端作用两个力，大小相等、方向相反、外力的作用线与轴线重合。变形特征：轴向伸长或缩短轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长（简称拉伸）轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短（简称压缩）FF拉伸FF压缩【记，掌握】3.讨论5.1拉压杆的内力、轴力图5.1.1.内力P71外力：周围物体对所研究的构件施加的作用力（包括支反力）。固有内力：是由构成物体的材料的物理性质所决定的。(物体在受到外力之前，内部就存在)附加内力：在原有内力的基础上，当构件受到外力作用而发生变形时，杆件的一部分与另一部分之间的相互作用力（因抵抗变形所引起的内力的变化量，只与外力有关）。内力：由外力作用引起的、物体内部相邻部分之间分布内力系的合成。【理解】5.1.2截面法P72截面法：假想地用一个截面将构件截开，从而揭示内力并确定内力的方法。利用截面法求内力的四字口诀是：截、弃、代、平。一截：在求内力的截面处，假想把构件切为两部分；四平：研究的保留部分在外力和内力的共同作用下也应平衡，建立平衡方程，由已知外力求出各内力分量。二弃：弃去一部分，留下一部分作为研究对象。三代：用内力代替弃去部分对保留部分的作用力。【重点】ⅠⅡmm列平衡方程∑x=0→N-P=0→N=PPP截在求内力的截面处，假想地将杆截面分为两部分；每一部分称为隔离体NPⅠmm代mmPN在截面处，代之以作用在截开面上的内力代平5.1.3轴力定义：轴向拉压杆的内力称为轴力。其作用线与杆的轴线重合，用符号N表示。符号：轴力方向离开截面为正，反之为负，即：拉伸为正，压缩为负。单位：N，kN【重点，记】注意（1）外力不能沿作用线移动，力的可传性不成立。现在是变形体，不是刚体。（2）截面不能切在外力作用点处，要离开作用点。（3）同一截面位置处左、右侧截面上内力必须具有相同的正负号及唯一确定的代数值。讨论题例题图a所示直杆受轴向外力作用，试求1-l、2-2和3-3截面上的轴力。【解】1-1截面的轴力N1以杆轴为x轴，由平衡条件∑X＝N1－3＝0，得N1＝3kN（拉力）2-2截面的轴力N2

取2-2截面左段为分离体，由平衡条件∑X＝0，得N2＋4－3＝0N2＝

3－

4＝

－1kN（压力）3-3截面的轴力N3取截面右段为分离体，设N3为压力，由平衡条件∑X＝0，得

N3－2＝0

N3＝2kN（压力）设正法N1＝3kNN2＝

3－

4＝

－1kNN3＝－

2kN求杆件内力时，一般将内力按正号方向假设。计算轴力的法则任意横截面的内力（轴力）等于截面一侧所有外力的代数和。杆件上各横截面的内力随着外力的变化而改变。【重点，记】例题一直杆受力如图示，试求1-1和2-2截面上的轴力。20KN20KN40KN112220KN20KN20KN20KN40KN11【解】5.1.4轴力图P72以一定的比例尺，用平行于轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，以此表示轴力与横截面位置关系的几何图形，称为轴力图。即，N(x)的图象表示。①反映出轴力与截面位置的变化关系，较直观；②反映出最大轴力的数值及其所在面的位置，即危险截面位置，为强度计算提供依据。意义【重点，记】轴力图的绘制轴力图（N

图）：杆轴线xy纵轴y表示相应轴力的大小横轴x为横截面位置单位：kN标正负N（kN）例1绘图示结构的轴力图(不计杆的自重)单位：kN1462mmnnoopp1mmNm∑x=0→Nm-1=0→

Nm=1kN(压力)解：分析：将杆件沿截面剖开得到内力，重点在选截面1462mmnnooppNn∑x=0→Nn-1-4=0→

Nn=5kN14nnNo∑x=0→No-1-4+6=0→

No=-1kN(压力)146oo1462mmnnooppNp∑x=0→Np-1-4+6-2=0→

Np=1kN1462pp1462mmnnooppNm=1Nn=5No=-1Np=1N图（kN）1511例2柱横截面为正方形，边长为a，柱高h；材料的容积密度为γ，柱顶受荷载P作用。绘它的内力图。

P分析：构件受到两个力的作用集中力P自重产生的均布荷载qPmm截面位置变化时，q作用的长度会产生变化，计算时需考虑q解：杆件受力分析如图：PqmxNx平衡方程：Nx+P+γa2

x=0→Nx=-(P+γa2x)x=0→N=-Px=h→N=-(P+γa2h)q=γa2xPxq0≤x≤hPqNx=-(P+γa2x)x=0→N=-Px=h→N=-(P+γa2h)一轴力图是条直线（定两点）PN=P+γa2h找杆件的端点N图轴力图的突变规律(1)在两个外力之间的区段上，轴力为常数，轴力图为与基线平行的直线；(2)在外力施加处轴力图要发生突变，突变值等于外力值。(3)轴力突变的方向与外力对构件的作用有关，外力使构件受拉/压，轴力向正/负方向突变。【重点，记】画轴力图注意事项（1）轴力图应封闭；（2）图中直线表示截面位置对应的轴力数值，因此，应垂直于轴线，而不是阴影线，画时也可省略；（3）轴力图的位置应和杆件的位置相对应。轴力的大小，按比例画在坐标上，并在图上标出代表点数值。（4）轴力图应标出轴力数值、正负号、单位。（5）习惯上将正值（拉力）的轴力图画在坐标的正向；负值（压力）的轴力图画在坐标的负向。【重点，记】课堂小结——由外力求内力思路工程实例生活实例外力特征截面法轴力截面法求轴力应用实例总结轴力快速计算法举例轴力图举例总结轴力图特点绘轴力图注意事项思考题杆件在怎样的受力情况下，才会发生轴向拉伸或压缩变形？举例说明。什么是内力？截面法计算内力的步骤是怎样的？两个截面尺寸不同的杆件，施加相同大小的轴力，哪个先破坏？杆件的破坏都与什么有关？作业习题5-15.2应力的概念问题的提出A=10mm2A=1000mm2100KN100KN100KN100KN哪个杆会破坏?杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。应力的概念1.内力大小不能衡量构件强度的大小。2.强度：①内力在截面分布集度应力；

②材料承受荷载的能力。定义：截面上分布内力的集度。工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。应力的表示

P

AM①平均应力

(

A上平均内力集度)②全应力（总应力）：

(M点内力集度)③全应力分解为：p

M

垂直于截面的应力称为“正应力”

(NormalStress)；位于截面内的应力称为“剪应力”(ShearStress)。应力单位：Pa=N/m2

MPa=106N/m2GPa=109N/m2【重点】5.3轴向拉压杆的应力5.3.1轴向拉压杆横截面上的应力实验现象：（1）所有纵向线伸长均相等。（2）所有横向线均保持为直线，仍与变形后的纵向线垂直几何变形实验：平面假设，横截面上正应力均匀分布.由积分得结合横截面上正应力均匀分布符号：当轴向力为正时，正应力为正（拉应力），反之为负（压应力）。【重点，记】例题图a所示变截面杆件，已知P=20kN，横截面面积A1=2000mm2，A2=1000mm2，试作轴力图，并计算杆件各段横截面上的正应力。【解】AC段和CD段的轴力分别为NAC=-40kN，NCD=20kN作轴力图如图b所示。截面积有变化、轴力有变化处，应力有变化。危险截面：正应力绝对值最大的截面5.3.2拉压杆斜截面上的应力FXFF有时拉（压）杆件沿斜截面发生破坏，此时如何确定斜截面k-k上的应力？设等直杆的横截面面积A，k-k截面面积和内力分别为，则:kk

而且由斜截面上沿x方向伸长变形仍均匀分布可知，斜截面上应力仍均匀分布。若以表示斜截面k-k上的应力，于是有将斜截面上全应力分解成正应力和剪应力,有:

正负号分别规定为：—自x轴逆时针转向斜截面外法线n，为正；反之为负；—拉应力为正，压应力为负；—取保留截面内任一点为矩心，当对矩心顺时针转动时为正，反之为负。【重点，记】讨论P751）当时，横截面2）当时，斜截面3）当时，纵向截面结论（1）轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。（2）轴向拉压杆件的最大（小）剪应力发生在与杆轴线成45°截面上。（3）在平行于杆轴线的截面上σ、τ均为零。当时，斜截面【重点，记】应力小结1.横截面上的应力2.斜截面上的应力3.计算时采用国际基本单位【重点，记】思考题1、轴向拉、压横截面应力分析时如何由外部变形特点推知内部变形特点？2、如何用轴向拉、压杆斜截面应力公式解释低碳钢、铸铁在轴向拉、压时的破坏现象？3、拉压杆横截面上的正应力公式是如何建立的？为什么要作假设？该公式的应用条件是什么？4、拉压杆斜截面上的应力公式是如何建立的？正应力、剪应力与方位角的正负号是如何规定的？最大正应力与最大剪应力各位与何方位截面？其值为多少？作业习题5-2，5-3，5-5横截面上应力习题5-7斜截面上应力5.5拉压杆的变形、胡克定律横向尺寸也相应地发生改变——横向变形沿轴线方向产生伸长或缩短——轴向变形杆件在轴向拉压时：应变的概念对于构件任一点的变形，只有线变形和角变形两种基本变形，分别由线应变和角应变来度量。

平均线应变或相对线变形：K点处沿x方向的线应变为:——

即单位长度上的变形量，无量纲，其物理意义是构件上一点沿某一方向变形量的大小2．剪应变

——即一点单元体两棱角直角的改变量，无量纲1．线应变:应力与应变之间的对应关系正应力σ引起线应变ε；剪应力τ引起剪应变γ。杆的伸长量为：∆l＝l1—l实验证实：材料在弹性范围内，∆l与轴力N、杆长l成正比，与横截面面积A成反比即E称为材料的弹性模量.EA反映了杆件抵抗拉压变形的能力，称为抗拉刚度。6.4.1轴向（纵向）变形【重点】ε为正时为拉应变，ε为负时为压应变。或称为胡克定律，它表明，在弹性范围内，正应力与线应变成正比。6.4.2轴向线应变将和代入变形公式，得【重点】拉杆的横向缩短量为∆d＝d1—d横向线应变为实验表明，在弹性范围内，杆的横向线应变与轴向线应变之比的绝对值为一常数，即或称为泊松比，是材料的另一个弹性常数。6.4.4横向变形【重点】【例6-7】图(a)所示拉压杆，A1=1000mm2，A2＝500mm2，E=200GPa，试求杆的总伸长△l。解：（1）计算轴力，并作轴力图（2）计算变形=－1.25×10-4m=－0.125mm负号表示缩短，即杆件的总长度缩短了0.125mm。总结：当拉（压）杆有两个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量。在计算ΔL的Li长度内，Ni，E，A均为常数。【重点】例：图AAC＝4cm2，ACD＝2cm2，E＝2×105N/mm2，求ΔDH。例题0.5m0.5m0.5m10kN4kNABCD分析：方法1：分段求解将内力与截面相同的视为1段，单独求变形。ΔDH=ΔDAB+ΔDBC+ΔDCD方法2：叠加法单独求各外力作用下的变形，叠加。ΔDH=ΔD10kN+ΔD4kN方法1:ΔDH=ΔDCD+ΔDBC+ΔDABN(kN)64ABCD方法2:ΔDH=ΔD10kN+ΔD4kN小结截面法轴力正应力斜截面应力轴向变形轴向线应变横向线应变【重点】外力思考题1、考虑杆件的强度要求时，截面、荷载在什么情况下有利于安全要求？2、胡克定律两种形式及应用范围？3、求节点位移的方法？4、拉压杆的胡克定律是如何建立的？有几种表示形式？该定律的应用条件是什么？什么叫杆件的拉压刚度？5、什么叫许用应力？什么叫强度条件？利用强度条件可以解决哪些类型的强度问题？作业习题5-9，5-10，5-115.6材料在拉压时的力学性能力学性质———指材料受力时在强度和变形方面表现出来的性能。

塑性变形又称永久变形或残余变形

塑性材料：断裂前产生较大塑性变形的材料,如低碳钢

脆性材料：断裂前塑性变形很小的材料，如铸铁、石料塑性材料：脆性材料：5.6.1实验简介国家标准规定《金属拉伸试验方法》（GB228—2010)LL=10dL=5d对圆截面试样：对矩形截面试样：实验机：液压万能实验机、电子万能实验机试验条件：常温(20℃)；静载（极其缓慢地加载）；

试验对象：标准试件。力学性能强度刚度σ－ε曲线试验：万能试验机试件：L0=5d/10d5.6.2材料在拉伸时的力学性质弹性阶段1.低碳钢材料

p比例极限

e弹性极限拉伸应力应变曲线

s屈服强度屈服阶段强化阶段

b极限强度断裂阶段2.无屈服点的材料（铸铁、玻璃钢）

0.2条件屈服应力—塑性应变等于0.2％时的应力值拉伸应力应变曲线结论：1.材料拉伸与压缩的受力特点有屈服点的钢筋:无屈服点的钢筋:弹性、屈服、强化、断裂四阶段，设计取屈服强度弹性、强化、断裂三阶段，设计取极限强度2.材料拉伸与压缩的受力特点塑性指标伸长率：断面收缩率：注:lu、Au分别为试件拉断时的长度、面积塑性材料脆性材料δ>5%≤5%工程中使用的钢筋：热轧钢：光面钢、螺纹钢有屈服点检验指标:强度指标:屈服强度、极限强度塑性指标:伸长率、冷弯性能无裂纹、断裂5.6.2材料在压缩时的力学性质1.低碳钢材料2.铸铁材料工程中轴心拉压杆件——安全？思考：涉及强度问题思考题1.解释低碳钢拉伸试验中各种试验现象。2.低碳钢在拉伸实验过程中表现为几个阶段？有哪几个特征点？怎样从应力应变曲线上求出拉压弹性模量E的数值？3.材料的塑形如何衡量？什么叫塑形材料？什么叫脆性材料？塑性材料和脆性材料的力学特性有哪些主要区别？5.7极限应力、许用应力和强度条件5.7.1极限应力材料发生断裂或明显的塑性变形而不能正常工作时的状态称为极限状态。材料在极限状态时的应力称为极限应力，用

表示。拉压材料构件失效判断依据：塑性材料：

或

；脆性材料：

。——由于材料的力学行为而使构件丧失正常功能的现象。5.7.2安全系数许用应力是强度计算的重要指标，它取决于材料的极限应力

和安全因数n，

确定许用应力的关键是确定安全因数。安全因数一般由国家指定的专门机构制定。工作应力：分析计算得到的构件的应力。许用应力：对于一定材料制成的具体构件，工作应力的最大容许值，用表示。5.7.3强度条件[σ]——许用应力(allowablestress)单位：N/mm2

或MPaσ0——屈服极限(塑性材料)；强度极限(脆性材料)n——安全系数(safetyfactor)n>1(a)保证安全、可靠，不允许构件材料发生破坏；(b)考虑到计算的可靠程度、计算公式的近似性、构件尺寸制造的准确性及荷载估计不准确等因素。1.4～1.72～3塑性材料脆性材料【重点】许用应力(allowablestress)钢Q235[σ]=170MPa木顺纹受拉顺纹受压某种砌体[σc]=1.5MPa[σc]=10MPa[σt]=6.5MPa某种混凝土[σc]=11.9MPa例1：P一轴心受压混凝土柱，横截面为400mm×400mm，[σc]=11.9MPa，P=100kN，忽略柱的自重。校核此柱的强度。400×400解：压力满足强度要求5.7.3强度条件的应用P86工程中，，但5%，仍是允许的。1.强度校核2.截面设计3.最大承载力计算【重点】例2：P一轴心受压砖柱，[σc]=1.5MPa，忽略柱的自重。（1）横截面尺寸240mm×115mm，P=10kN，校核此柱的强度；（2）P=100kN，设计此柱的横截面尺寸；（3）横截面尺寸240mm×115mm，求此柱能够承受的Pmax；分析：解:(1)强度校核压力P已知：240mm×115mm，P=10kN(2)截面设计已知：P=100kN[σc]=1.5MPa370mm240mm(3)最大承载力计算已知：240mm×115mm思考：一块砖240mm×115mm×53mm砌筑的最大高度H。H只考虑砖自重。[σc]=1.5MPa，γ=18kN/m3分析：思考：在仅考虑自重的情况下横截面尺寸400×400混凝土柱的最大高度H横截面尺寸400×400钢柱的最大高度H476m2166m房屋最大层数及横截面尺寸提示：[σc](MPa)混凝土钢11.91702578.5γ(kN/m3)作业习题5-14计算最大承载力习题5-15校核强度习题5-16截面设计5.10拉压杆连接部分的强度