吉林省长春实验中学高三上学期期中考试文科数学试卷

长春市实验中学20202021学年上学期期中考试高三文科数学试卷考试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷选择题（60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{﹣1，0，1，3，5}，B＝{x|x＞3或x＜1}，则＝（）A．{﹣1，0，5} B．{1，2，3} C．{2，3} D．{1，3}2．复数（其中为虚数单位），则＝（）A． B． C．2 D．3．若向量，，则与的夹角余弦值为（）A． B． C． D．4．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（）A．乙分8两，丙分8两，丁分8两B．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D．乙分9两，丙分8两，丁分7两5．若直线QUOTE(1+a)x+y+1=0与圆QUOTEx2+y2-2x=0相切，则实数a的值为（）A．1或7 B．2或-2 C．1 D．16.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7.函数的图像大致为（）A． B．C． D．8.设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（）A． B．C． D．9．函数的图象关于直线对称，它的最小正周期为，则函数图象的一个对称中心是（）A． B． C． D．10．已知，，，，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，面，则球的体积为（）A． B． C． D．11.已知点在椭圆上，若点为椭圆的右顶点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．12．设函数是函数的导函数，已知，且，，，则使得成立的的取值范围是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷非选择题（90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某社团计划招入女生人，男生人，若满足约束条件，则该社团今年计划招入的学生人数最多为．14．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是．15．设函数是定义在上的周期为2的函数，且对任意实数恒有，当时，，若在上有三个零点，则的取值范围为_______．16．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为，若,，△ABC的面积记为S，则当取最小值时，＝三．解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.）17．（本小题满分12分）在数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．18.（本小题满分12分）已知的角、、所对的边分别是、、，设向量，，.（1）若，求证：为等腰三角形；（2）若，边长，角，求的面积.19.（本小题满分12分）某华为专卖店对某市市民进行华为认可度的调查，在已购买华为的1000名市民中，随机抽取100名，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：分组（岁）合计频数5x35y10100（1）求频数分布表中，的值，并补全频率分布直方图；（2）在抽取的这100名市民中，从年龄在、内的市民中用分层抽样的方法抽取5人参加华为宣传活动，现从这5人中随机选取2人各赠送一部华为mate40，求这2人中恰有1人的年龄在内的概率.20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，且平面．（1）证明：平面平面；（2）若为的中点，求三棱锥的体积．21．（本小题满分12分）已知函数（1）讨论函数在上的单调性；（2）证明：恒成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）【选修44：坐标系与参数方程】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点．（1）求圆的直角坐标方程及弦的长；（2）动点在圆上(不与，重合)，试求的面积的最大值．23．（本小题满分10分）【选修45：不等式选讲】已知函数（）的一个零点为（1）求不等式的解集；（2）若，求证：.数学试卷(文科)答案一、选择题题号123456789101112答案DACCDACADACB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．914．15．16．解答题答案17.（12分）【解析】（1）的两边同时除以，得，........3’∴数列是首项为4，公差为2的等差数列．........4’∴........6’（2）由（1），得，∴，........7’故，........9’∴........10’．........12’18.（12分）【解析】⑴因为，所以，........2’即,其中是的外接圆半径，........4’所以，所以为等腰三角形.........6’⑵因为，所以.........7’由余弦定理可知，，即........9’解方程得：（舍去）........10’所以.........12’19.（12分）【解析】（1）由频数分布表和频率分布直方图可知，，........2’解得.........3’频率分布直方图中年龄在内的人数为人，对应的，........5’所以补全的频率分布直方图如下：........6’（2）由频数分布表知，在抽取的5人中，年龄在内的市民的人数为，记为，年龄在内的市民的人数为，分别记为，，，.从这5人中任取2人的所有基本事件为：，，，，，，，，，，共10种不同的取法.记“恰有1人的年龄在内”为事件，则所包含的基本事件有4个：，，，，共有4种不同的取法，所以这2人中恰有1人的年龄在内的概率为.........12’20.（12分）【解析】（1）在中，由余弦定理得，∵，∴，∵，∴，又∵平面，平面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面．........6’（2）因为为的中点，所以三棱锥的体积，，所以三棱锥的体积．........12’21.（12分）【解析】（1），........1’当时，恒成立，所以，在上单调递增；........2’当时，令，得到，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减．........4’综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．........5’（2）证法一：由（1）可知，当时，，........6’特别地，取，有，即，所以（当且仅当时等号成立），因此，要证恒成立，只要证明在上恒成立即可，........8’设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增．所以，当时，，即在上恒成立．........11’因此，有，又因为两个等号不能同时成立，所以有恒成立．........12’证法二：记函数，则，........6’可知在上单调递增，又由，知，在上有唯一实根，且，则，即（*），........8’当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，结合（*）式，知，所以，........11’则，即，所以有恒成立．........12’22．（10分）【解析】（1）由，得，所以，所以圆的直角坐标方程为，........1’将直线的参数方程代入圆，并整理得，解得，，.....2’所以直线被圆截得的弦长为．......3’（2）直线的普通方程为，.......4’圆的参数方程为（为参数），...5’可设圆上的动点，..........6’则点到直线的距离，.......7’当时，取最大值，且的最大值为，......