新疆慕华优策高三上学期第一次联考数学（理）试题

绝密★启用前新疆慕华优策2020—2021学年高三年级第一次联考理科数学试卷本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（） A． B． C． D．2．已知，则（） A． B． C． D．3．“剩余定理”又称“孙子定理”．1874年，英国数学家马西森指出此算法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”该定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2029这2029个整数中，能被3除余2且能被4除余2的数按从小到大顺序排成一列，构成数列，则此数列所有项中，中间项为（） A．1010 B．1020 C．1021 D．10224．杭州的三潭印月是西湖十景之一，被誉为“西湖第一胜境”所谓三潭，实际上是3个石塔和其周围水域，石塔建于宋代元四年（公元1089年），每个高2米，分别矗立在水光潋滟的湖面上，形成一个每边长为62米的等边三角形，记该三角形为，小瀛洲之南的湖面上是湖上赏月的极佳去处，水深若潭，月影幽深．设的边长为，取每边的中点构成，设其边长为，依此类推，由这些三角形的边长构成一个数列，则的前8项和为（） A． B． C． D．5．若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（） A． B． C． D．6．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该儿何体的表面积为（） A． B． C． D．7．设函数，，则的图象是（） A． B． C． D．8．已知抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于M，N两点，若为直角三角形，其中F为直角顶点，则（） A．4 B．3 C．2 D．19．已知函数的最小正周期为，且关于中心对称，则下列结论正确的是（） A．在上单调递增 B．的一条对称轴方程为 C． D．10．若，则下列不等式一定成立的是（） A． B． C． D．11．已知三棱锥，，，，PA过三校锥外接球心O，点E是线段AB的中点，过点E作三棱锥外接球O的截面，则下列结论正确的是（） A．三棱锥体积为 B．截面面积的最小值是 C．三棱锥体积为 D．截面面积的最小值是12．已知函数有两个零点，，且则下列结论中正确的是（） A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设单位向量，的夹角为，与垂直，则__________．14．设复数，满足，，则__________．15．2020年初，突如其来的新冠肺炎在某市多个小区快速传播，该市防疫部门经国家批准立即启动Ⅰ级应急响应，要求居民不能外出，居家隔离．为了做好应急前的宣传工作，现有5名志愿者到4个小区参加抗疫宜传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有__________种．16．设有下列四个命题：：空间中两两相交的三个平面，若它们的交线有三条，则这三条交线必相交于一点．：过空间中任意一点作已知平面的垂线，则所作的垂线有且仅有一条．：若空间两条直线不相交，则这两条直线互为异面直线．：若直线平面，直线平面，则直线m与直线一定不相交．则下述命题中所有真命题的序号是__________．① ② ③ ④三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第2、223题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）如图，在锐角中，D为BC边的中点，且，，O为外接圆的圆心，且．（1）求的值；（2）求的面积．18．（12分）2020年是我国全面建成小康社会和打赢脱贫攻坚战的收官之年，某省为了坚决打嬴脱贫攻坚战，在100个贫闲村中，用简单随机抽样的方法抽取15个进行脱贫验收调查，调查得到的样本数据，其中和分別表示第i个贫困村中贫闲户的年平均收入（单位：万元）和产业扶贫资金投入数量（单位：万元），并计算得到，，，，．（1）试估计该省贫困村的贫困户年平均收入．（2）根据样本数据，求该省贫困村中贫困户年平均收入与产业扶贫资金投入的相关系数．（精确到0．01）（3）根据现有统计资料，各贫困村产业扶贫资金投入差异很大．为了确保完成脱贫攻坚战任务，准确地进行脱贫验收，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，．19．（12分）如图，在直四棱柱中，底而ABCD为矩形，，E在棱上．（1）若E为的中点，求证：平面平而BDE；（2）若二而角的余弦值为时，求AE的长．20．（12分）已知椭圆的离心率为，且与双曲线有相同的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，点M满足，点，求面积的最大值及此时直线l的方程．21．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点、，且不等式恒成立，求实数的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．【44坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和直线l的倾斜角；（2）设点，l和C交于A，B两点，求的值．23．【45不等式选讲】已知函数．（1）当时，求函数的定义域；（2）若关于x的不等式的解集为，求实数a的取值范围．慕华·优策20202021学年高三年级第一次联考数学（理科）参考答案及解析一、选择题1．【答案】C【解析】由题意可得：，∴．故选：C．【命题意图】本题考査集合的基本运算，集合的运算是髙考常考的简单题型，把握集合A，B的精准化简是解此类问题关键．2．【答案】D【解析】由题设易得：．故选D．【命题意图】本题考査三角函数的基本运算，由角的取值范围确定三角函数值的符号，着重理解三角函数的定义．本题给出的是角的取值集合，由此求出的取值集合，从而就能确定三角函数值的符号．3．【答案】A【解析】将题目转化为既是3的倍数，也是4的倍数，也即是12的倍数．即，．当时，．当时，．故，数列共有169项，此数列中间项为第85项，，故选A．【命题意图】本题考査数学文化与数学建模，数学文化试题是传承经典、开拓创新型试题．解答此类问题时，要认真阅读题目，审清题意才能正确作答．本题的关键是寻找岀同时能被3和4整除的数的规律，即是12的倍数．4．【答案】A【解析】由题设知，数列是首项，公比为的等比数列．则的前8项和为．故选A．【命题意图】本题考査数学应用问题，数学实际应用题是新教材、新课标、新高考中推岀的一类新题型，结合实际分析问题、解决问题．解答本题的关键在于找到构成数列是成等比数列的，因此，可以直接运用等比数列前n项和公式求和．5．【答案】B【解析】由于圆上的点在第二象限，若圆心不在第二象限，则圆至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第二象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为a，圆的标准方程为，由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线距离均为；所以，圆心到直线的距离为．故选：B．【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，直线和圆的位置关系是解析几何的基本内容，求圆的方程时，确定圆心及圆的半径是解决问题核心．本题是利用所求的圆与两坐标轴都相切来设立方程，这样计算较为方便．6．【答案】A【解析】本题考査三视图及简单几何体的体积计算．原立体图如下图所示，是一个棱长为2的正方体被切掉两个角，因此，所求的几何体的表面积为．故选A．【命题意图】本题考査三视图的应用，由三视图求简单几何体的体积与表面积，找原图是关键，如何正确将三视图还原成直观图呢，一般规律是：若三视图中有圆，则原图应该有旋转体；若三视图中画有实线或虚线，则原图简单几何体一般是截去型的；若三视图是多个多边形拼接的，则原简单几何体一般是拼接型．7．【答案】D【解析】显然是奇函数，排除A、B．由于，故选D．【命题意图】本题考查函数图象及其应用，函数图象的识别是近年来高考常考的题型，它主要考查函数的基本性质及导数的应用．解答此类问题一般要能做到：1．通过函数定义域确定函数图象左右位置；2．通过函数的值域确定函数图象的上下位置；3．利用函数的奇偶性判断函数图象的对称性；4．运用导数来确定函数的单调性及函数的极值点等．8．【答案】C【解析】由题设知抛物线的准线为，代入双曲线方程，解得，由双曲线的对称性知为等腰直角三角形，∴，∴，∴，即．故选C．【命题意图】本题考査圆锥曲线的几何性质，关于抛物线几何性质题一般解题思路是：定义优先，性质伴随．本题是求参数p的值，关键点在于建立关于p的方程，从而解出p，然而，寻找等量关系是建立方程的核心所在，这里是通过为等腰直角三角形来建立等量关系的．9．【答案】D【解析】∵函数的最小周期是，∴，得，则，∵关于中心对称，∴，，即，，∵，∴当时，，即，则函数在上递增，在上递减，因此，易得A，B错误．，∵，，即，所以C错，D正确．故选D．【命题意图】本题考査三角函数图象与性质的应用，解答此类问题时，根据题设条件正确求出解析式是关键．一般地，依据周期求参数值根据对称中心或最值来求参数的值，特别提酲的是求参数的值时，注意题设条件及检验．10．【答案】B【解析】由题意知，，，得．即，，∴，故，∴，A错误；，B错误；当时，，C不一定成立；由，易得，故D错误，故选B．【命题意图】本题考查基本初等函数的性质应用，利用函数的性质比较大小及解决不等式问题是一类常见考题．11．【答案】A【解析】三棱锥外接球O的球心为PA中点．，过点E作三棱锥外接球O的截面要使截面面积最小当且仅当截面与OE垂直时．可得截面半径为1，则截面面积的最小值是，故B，D错误．在中由余弦定理得，∴，设过A、B、C的截面圆圆心为G，半径为r，连接OG，则平面ABC，在中由正弦定理得，即，解得．在中，由勾股定理得，∴三棱锥的高为，故三棱锥体积为，A正确．【命题意图】本题考査球的切、接问题，关于球的接、切问题是近些年来高考常考的题型，解答此类问题应抓住以下几何关键点：1．正确找准球心；2．注意截面圆圆心与球心连线垂直于截面圆所在的平面；3．注意找球心的方法类比平面几何中的三角形外接圆圆心的找法，通过多面体各面外接圆圆心作截面的垂线，交点即为球12．【答案】C【解析】，时，在恒成立，此时在R上单调递减，不合题意；当时，由，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递增，∴当时，单调减区间为，单调增区间为，可知当时，函数取得极小值为，又当时，，时，，∴要使函数有两个零点，则，得，故A错误；由，极小值点，可得，∵，是的两个零点，∴，．可得，．故，故D错误；由，设，则，为的两个零点，得在上单调增，在上单调减，∴，故B错误；C正确．综上，故选C．【命题意图】本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的零点问题，首先要判断函数的极值点，再判断函数的单调性，如果只存在一个极小值点，则当极小值小于零时函数存在两个零点；如果只存在一个极大值点，则当极大值大于零时函数存在两个零点．特别提醒：1．函数必须是连续的；2．函数在极值点左右两侧必须是单调的．二、填空题13．【答案】【解析】由题意可得：，∴，又，∴．【命题意图】本题考査向量的数量积运算，向量数量积运算历来是高考命题者从未忽视的一种题型，正确把握向量数量积的定义是解答此类问题的关键所在．14．【答案】【解析】∵，可设，，∴，∴，两式平方相加得：，化简得：，∴【命题意图】本题考査复数的基本运算，复数及复数模的运算是考査复数的常规题型，在运算过程中注意充分利用复数相等的充要条件．15．【答案】240【解析】∵5名志愿者到4个小区参加抗疫宣传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，∴先取2名志愿者看作一组，选法有现在可看成是4组志愿者分配到4个小区，分法有根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种.【命题意图】本题主要考査了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考査了分析能力和计算能力，属于中档题．16．【答案】①②③【解析】命题为假命题．事实上，两两相交的三个平面，若它们的交线有三条，则这三条交线可能互相平行，如三棱柱的三个侧面就是两两相交的三个平面，它们的三条交线互相平行．命题为真命题；对于命题，空间中两条直线的位置关系只有相交、平行或异面，空间两条直线不相交，这两条直线可能是平行的，也可能是异面直线，命题为假命题；对于命题，若直线平面，则直线m与平面不相交，又直线平面，所以，直线m与直线一定不相交，命题为真命题．综上可知，，为真命题，，为假命题，为真命题，为真命题，为真命题，为假命题．故答案为：①②③．【命题意图】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力．解答此类问题时，首先必须正确判断各命题的真假，在此基础上才能判断复合命题的真假．三、解答题17．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积的求法．解：（1）由题设知，∴，即，∴．（2）延长AD至E，使，连接BE，CE，则四边形ABEC为平行四边形，∴．在中，，，，∴由余弦定理得，，即，解得，∴.18．【命题意图】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力．解：（1）该省贫困村的贫困户年平均收入的估计值为（万元），（2）样本的相关系数为．（3）采用分层抽样，理由如下：由（2）知各地区贫困村的贫困户年平均收入与该村的产业投入资金有很强的正相关性，由于各贫困村产业扶贫资金投入差异很大，因此贫困村的贫困户年平均收入差异也很大，所以采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该省更准确的脱贫验收估计．19．【命题意图】本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理及二面角的平面角．（1）证明：在面中，E为中点，∴由题设得，∴，又，∴，即，①又②而③由①②③得．（2）取D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，设，，于是，∴，显然平面DED的一个法向量为，设平面的一个法向量为，∵，∴，令，可得，又二面角的余弦值为，设二面角的大小为∴．解