第4章 杆件的应力与强度计算

第4章杆件的应力与强度计算§4–1应力的概念§4–2轴向拉压杆的应力与强度条件

*§4–3剪切与挤压的概念

*§4–4圆轴扭转时的应力与强度计算§4–5

梁的应力与强度计算

§4–6

组合变形杆的应力与强度计算1

§4–1应力的概念应力是反映截面上各点处分布内力的集度，

一、应力的概念如图B点处的应力为：

将应力分解为垂直于截面和相切于截面的两个分量。垂直于截面的应力分量称为正应力，用σ表示，与截面相切的应力分量称为剪应力，用τ表示。2

应力的符号规定：正应力以拉为正，压为负。当切应力使隔离体有绕隔离体内一点顺时针转动趋势时，该切应力为正；反之为负。

量纲：力/长度2＝N/m2

＝Pa通常用

MPa＝N/mm2＝106Pa有些材料

GPa＝kN/mm2＝

109Pa3§4–2轴向拉压杆的应力与强度条件一、横截面上的应力求应力，先要找到应力在横截面上的分布情况。应力是内力的集度，而内力与变形有关，所以可以由观察杆件变形来确定应力在截面上的分布规律。观察到如下现象：1）横向线缩短，但仍保持为直线，且仍互相平行并垂直于杆轴线。2）纵向线仍保持与杆轴线平行，且各纵向线伸长。

4平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，且垂直于杆轴线。设想杆件由无数根平行于轴线的纵向纤维组成结论：轴力垂直于横截面，所以应力也垂直于横截面，所以横截面上只有正应力。轴向拉伸时，杆件横截面上各点处只产生正应力，且大小相等5平面假设各纤维伸长相同各点内力相等应力在横截面上均匀分布正应力的计算公式为：

正应力的正负号与轴力FN相同，拉为正，压为负。式中：FN----轴力；A---杆件的横截面面积6例

图所示为一民用建筑砖柱，上段截面尺寸为240240mm

，承受荷载FP1＝50kN；下段370370mm，承受荷载FP2＝100kN。试求各段轴力和应力，并绘制轴力图。解：1)求轴力2)求应力7Fkk

F

二、轴向拉压杆斜截面上的应力1.斜截面上的应力FkkFαpα以pα表示斜截面k-k上的应力，于是有8沿截面法线方向的正应力

沿截面切线方向的切应力

将应力pα分解为两个分量：pαFkk

FFkkxn

pα

9（1）α角2.符号的规定（2）正应力拉伸为正压缩为负（3）切应力对研究对象任一点取矩

pαFkk

FFkkxn

pα顺时针为正逆时针为负逆时针时

为正号顺时针时

为负号自x转向n

10（1）当

=0°

时，（2）当

=45°时，

（3）当

=-45°

时，（4）当

=90°时，讨论xnFkk

11FFbh1、纵向变形b1ll1纵向应变（线应变）

纵向绝对变形三、轴向拉压时的变形122、横向变形3、泊松比

称为泊松比

横向应变FFbhb1ll1

横向变形134、胡克定律

式中E称为弹性模量（由实验测定），EA称为抗拉（压）刚度。

实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此弹性范围内，正应力与线应变成正比.上式改写为由14四、材料的力学性能为了解决构件的强度和变形问题，必须了解材料的一些力学性质，而这些力学性质都要通过材料实验来测定。工程材料的种类虽然很多，但依据其破坏时产生变形的情况可以分为脆性材料和塑性材料两大类。脆性材料在拉断时的塑性变形很小，如铸铁、混凝土和石料等，而塑性材料在拉断时能产生较大的变形，如低碳钢等。这两类材料的力学性质具有明显不同的特点，通常以低碳钢和铸铁作为代表进行讨论。试验条件及试验仪器：1、试验条件：常温(20℃)；静载（及其缓慢地加载）；标准试件。2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。1516一、拉伸时材料的力学性质1．应力-应变曲线讨论低碳钢（Q235钢）试件的拉伸图如图a)

为了消除试件的横截面尺寸和长度的影响，将拉伸图改为σ-ε曲线，下面根据σ-ε曲线来介绍低碳钢拉伸时的力学性质。低碳钢拉伸试件从加载开始到最后破坏的整个过程，大致可以分为四个阶段：1）弹性阶段（Ob段）

b点所对应的应力称为材料的弹性极限（

）a点所对应的应力叫做比例极限（）

172）屈服阶段（cd段）

当应力超过弹性极限之后，应变增加很快，而应力保持在一个微小的范围内波动，这种现象称为材料的屈服，在曲线上表现为一段近于水平的线段。

c点所对应的应力称为屈服极限，用σs来表示。

3）强化阶段（de段）

材料经过屈服阶段后，其内部的组织结构有了调整，使其又增加了抵抗变形的能力，在曲线上表现为应力随着应变的增加，这种现象称为材料的硬化。最高点e所对应的应力称为材料的强度极限，用σb来表示。

4）颈缩阶段（ef段）

应力超过σb之后，试件开始出现非均匀变形，可以看到在试件的某一截面开始明显的局部收缩，即形成颈缩现象（如图）。曲线开始下降，最后至f点，试件被拉断。

182.脆性材料的力学性能脆性材料自加载至试件被拉断，试件变形很小。只有断裂时的应力值，称为强度极限，用σb表示19颈缩现象材料的延伸率和截面收缩率延伸率

%

截面收缩率

%

工程上常把δ≥5%的材料称为塑性材料

而把δ<5%的材料称为脆性材料

δ和ψ是衡量材料塑性性能的两个主要指标，δ和ψ值越大，说明材料的塑性越好。

203．冷作硬化若使材料应力超过屈服阶段并在进入强化阶段后卸载，则当再度加载时，材料的比例极限和屈服极限都将有所提高，同时，其塑性变形能力却有所降低，这种现象称为材料的冷作硬化。工程中常用冷作硬化的方法来提高钢筋和钢丝的屈服强度，并把它们称为冷拉钢筋和冷拔钢丝。214、压缩时材料的力学性质

---铸铁压缩强度极限；

（4—5）22五、轴向拉压杆的强度条件强度条件：式中：----称为最大工作应力------称为材料的许用应力

-----杆件横截面上的轴力；A――杆件的危险截面的横截面面积；对等直杆来讲，轴力最大的截面就是危险截面；对轴力不变而截面变化的杆，则截面面积最小的截面是危险截面。

23 根据上述强度条件，可以进行三种类型的强度计算：1)强度校核在已知荷载、杆件截面尺寸和材料的容许应力的情况下，验算杆件是否满足强度要求。若σ≤[σ]，则杆件满足强度要求；否则说明杆件的强度不够。2）截面选择在已知荷载、材料的容许应力的情况下，由

来确定杆件的最小横截面面积。3）确定容许荷载在已知杆件的截面面积和材料容许应力的情况下，由来求出杆件的最大荷载值。24例：一直径d=14mm的圆杆，许用应力[σ]=170MPa，受轴向拉力FP=2.5kN作用，试校核此杆是否满足强度条件。解：满足强度条件。25六、应力集中的概念常见的油孔、沟槽等均有构件尺寸突变，突变处将产生应力集中现象。即称为理论应力集中因数1、形状尺寸的影响：尺寸变化越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度越严重。2、材料的影响：应力集中对塑性材料的影响不大；

应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意。目录26§4-5

梁的应力与强度计算梁在垂直于杆轴线的外荷载作用下，在横截面上一般要产生两种内力：弯矩和剪力，从而，在横截面上将存在两种应力：正应力和切应力。

一、梁的正应力与强度计算为了使研究问题简单，下面以矩形截面梁为例，先研究纯弯梁横截面上的正应力。

纯弯梁：是指受力弯曲后，横截面上只有弯矩而没有剪力的梁，如图所示AB梁的CD段。

271.梁的弯曲变形现象及应力计算假设观察到以下变形现象:1）变形前互相平行的纵向线在变形后都变成了弧线且靠上部的纵向线缩短了，靠下部的纵向线伸长了。2）变形前垂直于纵向线的横向线，变形后仍为直线，且它们相对转动了一个角度后仍与弯曲了的纵向线正交。28根据上述现象，作如下假设：梁变形前的截面在变形后仍为一平面，只是绕截面内的某一轴旋转了一个角度，并且依然与弯曲后的杆件轴线垂直。梁在纯弯曲时的平面假设：单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。29中性轴将横截面分为受压和受拉两个区域。

推论：梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。（见下图）302.梁的正应力计算公式

式中

M－截面的弯矩；

Iz－截面对中性轴的惯性矩；

y－欲求应力的点到中性轴的距离。正应力与M和y成正比，与Iz成反比。正应力沿截面高度呈直线分布，如图所示，距中性轴愈远就愈大，在中性轴上正应力等于零。31

Iz－截面对中性轴的惯性矩;矩形截面的惯性矩：321)对于梁的某一横截面来说，最大正应力发生在距中性轴最远的地方，其值为：

2)对于等截面梁，最大正应力发生在弯矩最大的截面上，其值为：

Wz－－抗弯截面系数，

Wz与梁的截面形状有关，Wz愈大，梁中的正应力愈小。

矩形截面:

33二、矩形截面梁的切应力计算及切应力强度条件1．矩形截面梁的切应力计算公式假设：1）截面上各点切应力的方向都平行于截面上剪力的方向。2）切应力沿截面宽度均匀分布，即距中性轴等距离各点处的切应力相等。梁上任一截面中cc线上的切应力计算公式为：

34式中：Fs――为截面的剪力；Sz――为面积A*

对中性轴的静矩；A*――是过欲求应力点的水平线与截面边缘间的面积；b――为截面的宽度；

Iz

――为截面对中性轴的惯性矩。剪力和面积矩均为代数量，在计算切应力时，可用绝对值代入，切应力的方向可由剪力的方向来确定，即τ与Fs方向一致。进一步的分析表明，矩形截面梁中的切应力沿截面高度按二次抛物线规律分布，在截面上下边缘处，切应力为零，在中性轴处，切应力最大，为截面平均切应力的1.5倍。

35

363.强度条件

1）当梁材料的抗拉和抗压的能力相同时，其正应力强度条件：

2）当梁材料的抗拉抗压能力不同时，应分别对拉应力和压应力建立强度条件：374．梁的切应力强度条件在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力和切应力强度条件，但在一般情况下，梁的强度计算大多是由正应力强度条件控制的。因此，在选择截面时，一般都是先按正应力强度条件来计算，然后再用切应力强度条件进行校核。38三、梁弯曲时强度计算根据强度条件，可解决下列工程中常见的三类问题：①已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度；②已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸；③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷。39例：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比FP1／FP2＝？40解：41四、提高梁弯曲强度的主要措施：①合理布置梁的支座和荷载；②采用合理的截面；③采用变截面梁。42§4-6

组合变形杆的应力与强度计算在实际工程结构中，杆件的受力情况是比较复杂的，往往不是发生单一的基本变形，而是同时发生两种或两种以上的基本变形，这类变形称为组合变形。

本节将介绍组合变形下杆件的应力和强度的计算方法，主要介绍偏心弯曲和斜弯曲情形。偏心弯曲斜弯曲43一、斜弯曲1.正应力的计算梁发生斜弯曲时，梁上将同时存在有正应力和剪应力。由于剪应力一般都很小通常多不考虑。下面介绍梁斜弯曲时正应力的计算方法。

如图所示为一斜弯曲梁，在FP作用下，k点处的正应力为：

应力的正负号可采用直观法来断定。首先根据FPy和FPz单独作用下判断出σ'和σ''的正负号，然后就可判断出σ的正负号。442.正应力强度条件若材料的抗拉抗压强度相等，梁斜弯曲时的强度条件为:根据这一强度条件，同样可以进行强度校核、截面设计和确定许可荷载。在运用上式进行截面设计时，由于存在Wz和Wy两个未知量,可以先假设一个Wz/Wy之值

对于矩形截面：

Wz/Wy=h/b（一般取1.2~2）工字形截面：Wz/Wy=8~10槽钢截面：Wz/Wy=6~845例跨长为3m的矩形截面木檩条，受集度为q=800N/m的均布荷载的作用，檩条材料的容许应力[σ]=12MPa，试按正应力强度条件选择此檩条的截面尺寸，见下图解：1）先将q分解为沿对称轴y和z的两个分量：46再分别求出qy和qz产生的最大弯矩，它们位于檩条的跨中截面上，此两个弯矩的值为：2）根据强度条件，先假设截面的高宽