河南省平顶山一中新区学校高三周末测试（八）数学（文）试卷

2021届高三上学期文科数学周末测试一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A＝{x|4x2－3x≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝()A.B.[0，]C.[0，]D.[，]2.设复数，则复数z的虚部为()A.B.C.D.3．为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为()A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.不能确定4.若双曲线C：的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为()A.B.C.D.5.已知等差数列的前9项和，则()A.18 B.20C.25D.306．某班有50名学生，在一次数学考试中，表示学号为n的学生的成绩，执行如图所示的程序框图，则下列结论正确的是()A.表示成绩不高于60分的人数B.表示成绩低于80分的人数C.表示成绩高于80分的人数D.表示成绩不低于60分，且低于80分的人数7.函数的大致图象为（）ABCD8.已知函数的最小正周期是，则下列判断错误的有（）.A．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到；B．函数在区间上是减函数；C．函数的图象关于点对称；D．函数取得最大值时的取值集合为．9．若函数f(x)＝sinx·ln(mx＋)的图象关于y轴对称，则实数m的值为（）A．2 B．4 C．±2 D．±410.三个正方体形的积木叠放在一起，其俯视图是由三个正方形构成的几何图形，如图所示.其中小正方形的顶点分别为大正方形边的三等分点，设三个正方体形积木的体积从大到小分别为，，，则()A. B. C.D.11.已知双曲线的右顶点为，存在与x轴平行的直线与双曲线交于，两点，使得，则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.12．设函数，若方程有六个不等的实数根，则实数a可取的值可能是（） A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知两个单位向量，，若，且，则________.14.若实数，满足条件，则的最小值为___________.15.在四面体中，平面，，则该四面体的外接球的表面积为________．16.九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家们用于教学研究的课题和例子．中国的末代皇帝溥仪（1906–1967）也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有n个圆环，用表示按某种规则解下n个圆环所需的最小移动次数．已知数列满足下列条件：，记的前项和为，则：(1)________；(2)________．(第一空2分、第二空3分)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本题满分12分)在中，角对应的边分别是，满足.（1）求角C的值；（2）若，的周长为9，求的面积.18.(本题满分12分)如图1，C，D是以AB为直径的圆上两点，且AB＝2AD，AC＝BC，将△ABC所在的半圆沿直径AB折起，使得点C在平面ABD上的射影E在BD上，如图2．（1）求证：平面ACD⊥平面BCD；（2）在线段AB上是否存在点F，使得AD∥平面CEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19.(本题满分12分)某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y＝α+βx2，②y＝eλx+t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据，i＝1，2，…，12，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令ui＝xi2，vi＝lnyi（i＝1，2，…，12），经计算得如下数据：20667702004604.203125000215000.30814（1）设{ui}和{yi}的相关系数为r1，{xi}和{vi}的相关系数为r2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；（ii）若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；②参考数据：308＝4×77，≈9.4868，e4.4998≈90．20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝x2lnx－x2。（1）求曲线y＝f(x)在(e，f(e))处的切线方程；（2）已知函数g(x)＝f(x)＋ax(1－lnx)存在极大值和极小值，且极大值和极小值分别为M，N，若M＝g(1)，N＝h(a)，求h(a)的最大值。21．（本题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线(的斜率存在且不为0）与椭圆相交于两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，试判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．22．（本题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C:，直线l:,以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C与直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交，交点为A，B，直线与x轴交于Q点，求|QA|+|QB|的取值范围.23．（本题满分10分）选修45：不等式选讲已知对任意实数x，都有恒成立（1）求实数m的取值范围；（2）若m的最大值为n，当正数a,b满足时，求4a+7b的最小值.答案一、选择题DBCCADAACCDB二、填空题13．14．315．16．(1)341；(2)．17．解析：（1）由，得，∴.∴.∴由余弦定理的推论，得.又根据三角形的内角性质，得，∴.（2）若，的周长为9，则.代入①中，得，得，得，得.根据三角形的面积公式得.18.（1）证明：∵AB是圆的直径，∴AD⊥BD．∵CE⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，∴CE⊥AD．又∵CE∩BD＝E，BD，CE⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD．∵AD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCD．（2）解：连接AE，∵CE⊥平面ABD，AE，BE⊂平面ABD，∴CE⊥AE，CE⊥BE．在Rt△ACE和Rt△BCE中，由AC＝BC得AE＝BE，在Rt△ABD中，由AB＝2AD，得∠ABD＝30°，∴∠AED＝∠ABE+∠BAE＝60°，∴在Rt△ADE中，，∴E是BD的三等分点，且．在线段AB上存在点F，使得，则有FE∥AD．∵FE⊂平面CEF，AD⊄平面CEF，∴AD∥平面CEF．故在线段AB上存在点F，使得AD∥平面CEF，此时．19．解：（1）由题意，＝，…（2分）＝，…（4分）则|r1|＜|r2|，因此从相关系数的角度，模型y＝eλx+t的拟合程度更好；…（5分）（2）（i）先建立v关于x的线性回归方程，由y＝eλx+t，得lny＝t+λx，即v＝t+λx；…（6分）由于，…（8分），…（9分）所以v关于x的线性回归方程为，所以，则；…（10分）（ii）下一年销售额y需达到90亿元，即y＝90，代入，得90＝e0.02x+3.84，又e4.4998≈90，所以4.4998≈0.02x+3.84，…（11分）所以，所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元…（12分）20．21.22：(1)曲线，即，

即，即或.

由于曲线过极点，曲线C的极坐标方程为.2分直线，即

，

即，即，直线的极坐标方程为.5分

(2)由题意得将的参数方程代入到直角坐标普通方程中的，由得，7分其中，所以得的取值范围为