2020年北京市东城区汇文中学中考数学零模试卷（附答案详解）

2020年北京市东城区汇文中学中考数学零模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）

1.如图，菱形力BCO中，40=150。，则41=（）

A.30°

B.25°

C.20°

D.15°

2.一次抽奖活动特等奖的中奖率为嬴，把嬴用科学记数法表示为（）

A.5xKF’B.5x10-5C.2x10-4D.2x10-5

3.如图，若x为正整数，则表示要互——二的值的点落在（）

X2+4X+4X+1

..①..，②....③.电

）

041L6-2T

A.段①B.段②C.段③D.段④

4.如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是

5.如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑,

还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组

成的新图案恰有三条对称轴，贝切的最小值为（）

A.10

B.6

C.3

D.2

6.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是()

7.小刚在解关于x的方程aM+bx+c=0(a。0)时，只抄对了a=1,b=4,解出其

中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2.则原方程的根的情况

是()

A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根

C.有一个根是x=-1D.有两个相等的实数根

8.如图，在正方形ABCD中，点E,F将对角线4C三等分，4仁--------------

且4c=12,点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的

:点P:的个数是()-\

C.6

D.8

二、填空题(本大题共8小题，共16.0分)

9.式子/」在实数范围内有意义，则实数久的取值范围是.

10.因式分解：%2-9=.

11.对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为(x),即当n为非负整数时，若n-0.5W

x<n+0.5,则(x)=n.如(1.34)=1,(4.86)=5.若(0.5x-1)=6,则实数x的取

值范围是.

12.已知点4(1,-3)关于x轴的对称点A在反比例函数y=的勺图象上，则实数k=

13.如图，在中，/.ACB=90°,AC=6,BC=12,点。在边BC

上，点E在线段4。上，EF1AC于点尸，EG1EF交4B于点G.若EF=

EG,则CO的长为.

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14.如图,△ABC内接于O0,4cA8=30。,4CB2=45。,CD1

于点D，若。。的半径为2,则C。的长为.

VJ

15.在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线/分别与函数丁=x-a+1和y=/一2ax

的图象相交于P,Q两点.若平移直线，，可以使P,Q都在x轴的下方，则实数a的

取值范围是

16.如图，函数y=：（/c为常数，k>0）的图象与过原点的。的直线相交于4,B两点，

点M是第一象限内双曲线上的动点（点”在点4的左侧），直线4M分别交x轴，y轴于

C,。两点，连接BM分别交支轴，y轴于点E,F.现有以下四个结论：

①△。。时与40C4的面积相等；②若BM14M于点M,则4MBA=30°；③若M点

的横坐标为1，△04M为等边三角形，则k=2+75;④若“尸=（MB,则MD=2MA.

其中正确的结论的序号是.（只填序号）

三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）

17.计算：V12+(i)-1-(3-7r)°-|1-4cos300|

18.已知关于久的方程/-2x-2n=0有两个不相等的实数根.

(1)求n的取值范围；

(2)若律<5,且方程的两个实数根都是整数，求n的值.

四、解答题(本大题共10小题，共58.0分)

19.解不等式组1x+5々x+i,并求出它的整数解，再化简代数式4三・(^一常)，

2zz

I--1-0---<--2--x-2x+lx+3x-9

从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值.

20.如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交AC于点D,交BC于点E,延长AE

至点F,使EF=4E,连接FB,FC.

(1)求证：四边形4BFC是菱形;

(2)若ZD=7,BE=2,求半圆和菱形力BFC的面积.

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21.豆豆妈妈用小米运动手环记录每天的运动情况，下面是她6天的数据记录（不完整）:

日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日4月6日

步行数（步）10672492755436648

步行距离（公

6.83.13.44.3

里）

卡路里消耗（

1577991127

千卡）

燃烧脂肪（克）20101216

4A5S4nea

7,68915,638

靖fy质户

Q距离5.0公里Q距离10.0公里

相当于节省了0.40升汽油相当于节省了0.80升汽油

o消耗142千卡o消耗234千卡

相当于燃修了18克蜃筋相生于4B住了30克・防

图1图2

图3

（1）4月5日，4月6日，豆豆妈妈没来得及作记录，只有手机图片，请你根据图片数

据，帮她补全表格.（答案填写在这个表格里）

日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日4月6日

步行数（步）10672492755436648——

步行距离（公

6.83.13.44.3——

里）

卡路里消耗（

1577991127——

千卡）

燃烧脂肪（克

20101216——

）

（2）豆豆利用自己学习的统计知识，把妈妈步行距离与燃烧脂肪情况用如图统计图

表示出来，请你根据图中提供的信息写出结论：.（写一条即可）

（3）豆豆还帮妈妈分析出步行距离和卡路里消耗数近似成正比例关系，豆豆妈妈想

使自己的卡路里消耗数达到250千卡，预估她一天步行距离为公里.（直接写

出结果，精确到个位）

22.阅读下列材料:

如图1,圆的概念：在平面内，线段P4绕它固定的一个端点P旋转一周，另一个端

点4所形成的图形叫做圆.就是说，到某个定点等于定长的所有点在同一个圆上，

圆心在P（a,b）,半径为r的圆的方程可以写为：（x-a）?+（y-b）2=如：圆

心在P（2,-l）,半径为5的圆方程为：（x-2）2+（y+l）2=25

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(1)填空：

①以4(3,0)为圆心，1为半径的圆的方程为；

②以8(-1,一2)为圆心，百为半径的圆的方程为.

(2)根据以上材料解决下列问题：

如图2,以B(—6,0)为圆心的圆与y轴相切于原点，C是0B上一点，连接OC,作8。1

OC垂足为D,延长BD交y轴于点E,已知sin乙40c=£.

①连接EC,证明EC是的切线；

②在BE上是否存在一点P,使PB=PC=PE=PO?若存在，求P点坐标，并写出

以P为圆心，以PB为半径的OP的方程；若不存在，说明理由.(2)

23.我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行

试销.经过调查，得到如下数据：

销售单价双元/件)30405060

每天销售量y(件)500400300200

(1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相

应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；

(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润

是多少？(利润=销售总价-成本总价)

(3)当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定

为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？

24.已知：如图1,在平面直角坐标系中点4(2,0),5(0,1),以AB为顶点在第一象限内

作正方形4BCD.反比例函数y1=号(尤>0)、、2=当。>0)分别经过仁D两点.

(1)求点C的坐标并直接写出自、心的值；

(2)如图2,过C、。两点分别作x、y轴的平行线得矩形CEDF,现将点。沿y2=母。>

0)的图象向右运动，矩形CECF随之平移；

①试求当点E落在yi=>0)的图象上时点。的坐标；

②设平移后点。的横坐标为a,矩形的边CE与y[=>0),y2=^(x>0)的图

象均无公共点，请直接写出a的取值范围.

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25.如图，在正方形4BCD中，AB=5cm,点E在正方形边上沿B->C->D运动(含端点

),连接AE,以AE为边，在线段右侧作正方形AEFG,连接DF、DG.

小颖根据学习函数的经验，在点E运动过程中，对线段4E、DF、DG的长度之间的

关系进行了探究.

下面是小颖的探究过程，请补充完整：

(1)对于点E在BC、CD边上的不同位置，画图、测量，得到了线段AE、DF、DG的

长度的几组值，如下表：

位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7

AE/cm5.005.506.007.075.995.505.00

DF/cm5.003.553.725.003.713.555.00

DG/cm0.002.303.315.005.285.697.07

在4E、D尸和DG的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和

的长度都是这个自变量的函数.

(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象:

o12345678910x

(3)结合函数图象，解决问题:

当AGOF为等腰三角形时，AE的长约为.

26.已知抛物线y=m/-4mx+3(m>0).

(1)求出抛物线的对称轴方程以及与y轴的交点坐标；

(2)当m=2时，求出抛物线与x轴的交点坐标；

(3)已知4(1,0),fi(4,0),C(3,3)三点构成三角形4BC,当抛物线与三角形力BC的三

条边一共有2个交点时，直接写出m的取值范围.

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27.如图1,正方形4BCD中，AB=2,E,F分别是48,力。边上的中点，连接EF.

(l)NEFA=°；点C到E尸所在直线的距离；

(2)如图2,将AAE尸绕＞1逆时针旋转。。(0W8=90),连接BE、DF.

①判断线段BE与。F的数量关系和位置关系，并说明理由；

②当。。=45度时，求以点B到DF所在直线的距离为边长的正方形的面积.

图1图2备用图

28.在平面直角坐标系%Oy中，对于点P和图形G,如果线段OP与图形G有公共点，则称

点P为关于图形G的“亲近点”.

(1)如图，已知点M(2,3),N(2,l),连接MN.

①在匕(1,2),P2(2,3),P3(3,4),P4(5,4)这四个点中，关于线段MN的“亲近点”

是点;

②线段MiNJ/MN,线段Mi/上所有的点都是关于线段MN的“亲近点”，若点修

的横坐标是4,那么线段M/i最长为.

(2)已知点4(1,71)，。A与y轴相切于点B.若0c的半径为1，圆心C在直线2：y=

-V3x+6V3±,且OC上的所有点都是关于。力的“亲近点”，求点C的纵坐标的

取值范围.

(3)以D(4,0)为圆心，2为半径作0D.点E是上到原点最近的点，点Q和T是坐标

平面内的两个动点，且OD上的所有点都是关于△EQ7的“亲近点”，求AEQ7周

长的最小值.

6-

4

3

2

1

备用图

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：•.•四边形4BCD是菱形，4=150。，

­.AB//CD,A.BAD=2Z1,

/.BAD+ZD=180°,

^BAD=180°-150°=30°,

41=15°；

故选：D.

由菱形的性质得出4B〃CD,^.BAD=2Z1,求出4B/W=30。，即可得出41=15。.

此题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：就=0.00002=2xIO-.

故选：D.

本题考查了科学记数法表示绝对值较小的数，掌握科学记数法的表示方法是解题的关

键.根据科学记数法表示方法即可求解.

3.【答案】B

【解析】解—W("2)21_]1_X

(x+2)2x+1-x+1-x+1

又为正整数,

1X

-<-----<--1

2一%+1

故表示(3+2)2-二•的值的点落在②

X2+4X+4

故选：B.

将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据％为正整数，从所给图中可

得正确答案.

本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了简单组合体的三视图，主视图即为从正面看几何体得到的视图.

从正面看几何体，确定出主视图即可.

【解答】

解：几何体的主视图为：

故选：C.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查利用轴对称设计图案，属于中等题.

解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质，利用等边三角形有三条对称轴

可得答案.

【解答】

解：如图所示，n的最小值为3.

故选C.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角形外心的定义，三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图的

选项进行判断.

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本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作已知线段的垂直平分线；作已知角的

角平分线），也考查了三角形的外心.

【解答】

解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平

分线，从而可用直尺成功找到三角形外心.

故选：C.

7.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查一元二次方程的解，根的判别式，正确得出c的值是解题关键.

直接把己知数据代入进而得出原方程的c值，再根据判别式求出答案.

【解答】

解：:小刚在解关于x的方程a/+bx+c=0（a清0）时，只抄对了a=1,b-4,解出

其中一个根是x=-1,

二小刚解的方程是/+4x+c'=0,

•••（-I）2-4+c'=0,

解得：d=3,

故原方程中c=3+2=5,

二原方程中，4=庐一4ac=16-4x1x5=-4<0,

二原方程不存在实数根.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H,使点口到点E和点F的距离

之和最小是本题的关键.

作点F关于的对称点M，连接FM交BC于点N,连接EM,交BC于点、H,可得点H到点E

和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解.

【解答】

解：如图，作点F关于BC的对称点M,连接尸M交BC于点N,连接EM,交BC于点H,

•点E,F将对角线4c三等分，且AC=12,

•••EC=8,FC=4=4E,

■二点M与点尸关于BC对称，

•••CF=CM=4,乙ACB=/.BCM=45°,

/.ACM=90°,

•••EM=y/EC2+CM2=475，

则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4遍<9,

在点H右侧，当点P与点C重合时，

则PE+PF=12,

.•.点P在CH上时，

4y/5<PE+PF<12.

在点H左侧，当点P与点8重合时，

BF=yjFN2+BN2=2V10.

■：AB=BC,CF=AE,4BAE=乙BCF,

:ABE王&CBF(SAS),

•••BE=BF=2y/10,

•••PE+PF=4710,

.,.点P在BH上时，4A/5<PE+PF<4V10.

在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF=9,

同理在线段48,AD,CD上都存在两个点使PE+PF=9.

即共有8个点P满足PE+PF=9,

故选：D.

9.【答案】x>5

【解析】解：式子S=在实数范围内有意义，则％-520,

故实数x的取值范围是：x>5.

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故答案为：x>5.

直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案.

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键.

10.【答案】(x+3)(%-3)

【解析】

【分析】

本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键.

原式利用平方差公式分解即可.

【解答】

解：原式=(x+3)(x—3),

故答案为：(x+3)(x-3).

11.【答案】13<x<15

【解析】

【分析】

考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是得到关于x的不等式组6-0.5<0.5x-

1<6+0.5.

根据题意得到：6-0.5<0.5x-l<6+0.5,据此求得》的取值范围.

【解答】

解：依题意得：6-0.5<0,5x-1<6+0.5

解得13<15.

故答案为1315.

12.【答案】3

【解析】解：•.•点4(1,一3)和点4’关于x轴对称，

二4(1,3),

­••4在反比例函数y=:的图象上，

Afc=1x3=3,

故答案为：3.

根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据求出点力(1,-3)关于％

轴的对称点4'的坐标.

13.【答案】4

【解析】解：作DH〃EG交4B于点贝!]△40H,

AE_EG

"AD~DHf

・・•EFLAC.乙C=90°,

:.Z-EFA=zC=90°,

:.EFIICD,

•••△ADCf

tAE_EF

,•--，

ADCD

.EG_EF

**DH~CD'

•••EG=EF,

:.DH=CD,

设DH=x,则CD=x,

vBC=12,AC=6,

:.BD=12—Xf

vEF1AC,EFJLEG,DH//EG,

・•・EG//AC//DH,

BDHs二BCA,

.DH_BD

*,AC-BCf

即营=生M,

612

解得，x=4,

CD=4,

故答案为4.

根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得C。的长，本题得以解决.

本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线,

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利用数形结合的思想解答.

14.【答案】V2

【解析】

【分析】

本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，等边三角形

的判定，正确的作出辅助线是解题的关键.连接C。，0B,则NCOS=24C48=60。，

得到ABOC是等边三角形，求得BC=2,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.

【解答】

解：连接CO,OB,

则ZTOB=2“AB=60°,

•••OC=OB,

.'•ABOC是等边三角形，

•；。。的半径为2,

:.BC=2,

■■■CD1AB,Z.CBA=45°,

CD=—BC=V2)

2

故答案为：V2-

15.【答案】a>1或a<—1

【解析】

【分析】

本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；数形结合的分析问题，将问题转

化为不等式的解是解题的关键.

对a进行分类讨论，再根据图象判断即可求解.

【解答】

解：•••平移直线，，可以使P,Q都在x轴的下方，

令y=尤一a+l<0,

x<a—1,

令y=x2—2ax<0,

当a>0时，要使x<a-l与0cx<2a有解，a-l>0,则a>1：

当a<0时，要使％<a-l与2a<x<0有解，a-l>2a,则a<—1；

a>1或a<—1；

故答案为a>1或a<-1.

16.【答案】①③④

【解析】解：①设点做犯与，”(珥勺，

可求得直线4C的解析式为y=—白、+：+三

(m+n)Zc>

・・・C(m+n,0),D(0,

mn'

.c_lxMx(m+")k_(m+n)k„一工乂加上小乂四一(一+咏

■,5A°DM_2XnXmn-2m，SAOCA—2X(m+n)xm-2m'

；.△ODM与△。。4的面积相等，故①正确；

・♦•反比例函数与正比例函数关于原点对称，

。是的中点，

•・•BM1AM,

・•・0M=0A=0B,

•••n2+(今2=m2+©)2,

v7nH71,

・•・-=zn,即々=mn,

n

AA(m,ri),M(n,m),

二AM=V2(n—m),OM=Vm24-n2，

A4M不一定等于OM,

・•・Nb4M不一定是60。，

・•・/MBA不一定是30。,故②错误，

・・・M点的横坐标为1,

・•・可以假设

•・・△OAM为等边三角形，

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:.OA=OM=AMf

・•・1+fc2=m2+二,

m2

工m=k,

VOM=AM,A(tn,》,

■■.(l-m)2+(k-^)2=l+k2,

Afc2-4fc+1=0,

*•k=2±V3,

・・•点4在点M的右侧，m>l,

・・.k=2+臼，故③正确，

如图，作MK〃。。交04于K.

•・•OA=OB,

...如=3

OA3

•O•・K-=2

KA1

vKM//OD.

・DMO•・K一=c—=2,

AMAK

DM=2AM,故④正确.

故答案为①③④.

①设点A(m，5),求出直线AC的解析式为y=-寻x+S+3,进而求出C,。坐

标，利用三角形的面积公式计算即可判断.

②△0M4不一定是等边三角形，NBAM不一定是60。，故结论不一定成立.

③设M(Lk),由△04M为等边三角形，推出。4=0M=4M,可得l+k2=m2+2，

推出m=k,根据。M=构建方程求出k即可判断.

④如图，作MK〃。。交。4于K.利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.

本题属于反比例函数综合题，考查反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，三角

形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学

会构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

17.【答案】解：原式=2^3+2-1-273+1=2.

【解析】原式利用二次根式性质，零指数幕、负整数指数基法则，以及绝对值的代数意

义化简，计算即可得到结果.

此题考查了实数的运算，零指数累、负整数指数累，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.【答案】解：(1),•・关于x的方程M-2x-2n=0的二次项系数a=l^一次项系数

b=一2、常数项c=-2n,

•••△=b2-4ac=4+8n>0,

解得n>-I；

(2)由原方程，得

(x—l)2=2n+1,

解得x=1±V2n+1；

•••方程的两个实数根都是整数，且-：<凡<5,0TT不是负数，

0<2n+1<11,且2n+1是完全平方形式，

■1•2n+1=1,2凡+1=4或2n+1=9,

解得n=0,n=1.5或7i=4.

【解析】(1)关于％的方程/一2x-2九=0有两个不相等的实数根，即判别式4=b2-

4ac>0.即可得到关于n的不等式，从而求得n的范围；

(2)利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件”方程的两个实数根都是整数”

来求n的值.

第22页，共37页

本题考查了一元二次方程的根的判别式.一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

(1)△>00方程有两个不相等的实数根；

(2)△=0o方程有两个相等的实数根；

(3)△<0=方程没有实数根.

19.【答案】解：解不等式3x—64x,得：x<3,

解不等式誓〈节1,得：乂>0,

则不等式组的解集为0<xS3,

所以不等式组的整数解为1、2、3,

rg___x+3rx^~3xx—3

小式—(x-1)2,%+3)(x-3)—(x+3)(x-3)J

X+3(X—1)(%—3)

=(%-l)2，(x+3)(x-3)

1

•・•％H±3、1,

x-2)

则原式=1.

【解析】先解不等式组求得X的整数解,再根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，

最后选取使分式有意义的％的值代入计算可得.

此题主要考查了分式的化简求值以及不等式组的解法，正确进行分式的混合运算是解题

关键.

20.【答案】解：(1)证明：TAB是直径，

•••LAEB=90°,

•••AE1BC,

vAB=AC,

・•・BE=CE,

vAE=EF,

・•・四边形48FC是平行四边形，

-AC=ABf

•••四边形4BFC是菱形.

(2)设CD=x,连接8D,

则AC=AB=AD+CD=7+x,BC=2BE=4.

IB是直径，

•••4ADB=乙BDC=90°,

•••AB2-AD2=CB2-CD2,

■1•(7+x)2-72=42—x2,

解得x=1或-8(舍去)，

AC=8,BD=V82-72=V15>

"S菱形ABFC-

17

,■,SW=217r'4=8兀・

【解析】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识.

(1)根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边相等

的平行四边形是菱形即可证明；

(2)设CD=x,连接BD.利用勾股定理构建方程即可解决问题.

21.【答案】7689156385.010.01422341830步行距离越大，燃烧脂肪越多10

【解析】解：(1)由手机图片可得，

4月5日，步行数为7689,步行距离为5.0公里，卡路里消耗142千卡，燃烧脂肪18克；

4月6日，步行数为15638,步行距离为10.0公里，卡路里消耗234千卡，燃烧脂肪30克.

故答案为：7689,5.0,142,18；15638,10.0,234,30；

(2)由图可得，步行距离越大，燃烧脂肪越多；

故答案为：步行距离越大，燃烧脂肪越多；

(3)由图可得，步行时每公里约消耗卡路里25千卡，故豆豆妈妈想使自己的卡路里消耗

数达到250千卡，预估她一天步行距离为10公里.

故答案为：10.

第24页，共37页

(1)依据手机图片的中的数据，即可补全表格；

(2)依据步行距离与燃烧脂肪情况，即可得出步行距离越大，燃烧脂肪越多；

(3)步行距离和卡路里消耗数近似成正比例关系，即可预估她一天步行距离.

本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得

到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.用样本

去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确.

22.【答案】(1)①(x—3)2+y2=1②(x+1产+(y+2)2=3;

(2)①证明：•••BD10C,

:.CD=0D,

・・・BE垂直平分0C,

EO=EC,

・•・Z-EOC=乙ECO,

vBO=BC,

:.Z.BOC=乙BCO,

・•・Z-EOC+Z-BOC=乙ECO+乙BCO,

・•・乙BOE=乙BCE=90°,

:.BC1CE,

■■EC是OB的切线；

②存在.

•••乙BOE=4BCE=90°,

点C和点。都在以BE为直径的圆上，

•••当P点为BE的中点时，满足PB=PC=PE=P。，

B点坐标为(-6,0),

・,.0B—6,

v/.AOC+Z-DOE=90°,(DOE+乙BEO=90°,

・•・Z,BEO=乙40C,

3

-sinZ.BEO=s\nZ-AOC=

在RMB0E中，sin^BEO=―,

BE

,.•6_一3，

BE5

・•・BE=10,

OE=y/BE2-OB2=8.

•••E点坐标为(0,8),

•••线段48的中点P的坐标为(一3,4),PB=5,

.•.以P(-3,4)为圆心，以5为半径的。P的方程为(X+3)2+(y-4)2=25.

【解析】(1)解：①以4(3,0)为圆心，1为半径的圆的方程为。一3)2+y2=i：

②以B(—1,-2)为圆心，值为半径的圆的方程为(x++(y+2)2=3;

故答案为(x-3>+y2=1；(尤+1)2+⑶+2)2=3；

(2)见答案.

(1)根据阅读材料中的定义求解；

(2)①根据垂径定理由10C得到CD=OD,则

BE垂直平分。C,再根据线段垂直平分线的性质

得E0=EC,则"0C=乙ECO,

力口上ZBOC=乙BCO,易得N80E=Z.BCE=90°,

然后根据切线的判定定理得到EC是OB的切线；

②由4BOE=乙BCE=90°,根据圆周角定理得点

C和点。都在以BE为直径的圆上，即当P点为BE的中点时，满足PB=PC=PE=P。，

利用同角的余角相等得4BEO=〃0C,则sin/BE。=sin乙40C=『在Rt^BOE1中，

利用正弦的定义计算出BE=10,利用勾股定理计算出0E=8,则E点坐标为(0,8),于

是得到线段BE的中点P的坐标为(一3,4),PB=5,然后写出以P(-3,4)为圆心，以5为半

径的OP的方程.

本题主要考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、切线的判定定理、圆周角定理和等腰

三角形的性质；阅读理解能力也是本题考查的重点；会运用锐角三角函数的定义和勾股

定理进行几何计算.

23.【答案】解：(1)画图如图；

由图可猜想y与x是一次函数关系,

设这个一次函数为y=fcx+

b(kH0)

•••这个一次函数的图象经过

(30,500)

(40,400)这两点,

[500=30k+b而见俎fk——10

"(400=40k+b用与侍1b=800

.••函数关系式是：y=-10x+800(20<x<80)

(2)设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得

W=(x-20)(-10x4-800)

=-10x2+1000X-16000

=-10(%-50)2+9000,(20<%<80)

.•.当％=50时,“有最大值9000.

所以，当销售单价定为50元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利

润是9000元.

(3)对于函数勿=-10(x-50)2+9000,当x<45时，

小的值随着x值的增大而增大，

销售单价定为45元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大.

【解析】(1)描点，由图可猜想y与久是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想

的正确性；

(2)利润=销售总价-成本总价=单件利润x销售量.据此得表达式，运用性质求最值；

(3)根据自变量的取值范围结合函数图象解答.

根据函数解析式求出的最值是理论值，与实际问题中的最值不一定相同，需考虑自变量

的取值范围.

24.【答案】解：(1)如图1中,作DMJ.X轴于M.

•・•四边形/BCD是正方形，

•.AB=AD,4BAD=90°,

・••匕AOB=乙AMD=90°,

・・・乙OAB+LOBA=90°,Z.OAB+/.DAM=90°,

・•・(ABO=Z-DAM,

・••△OAB^LMDALAAS'),

:.AM=OB=1,DM=OA=2,

A£)(3,2),

・・•点。在％=g上，

k2=6,

同法可得C(l,3),

•・•点C在yl=，上，

A/q=3.

(2)①设平移后点。坐标为(m,9，则E(m-2与,

由题意：(m-2)《=3,

解得zn=4,

3

••­。(4,/

②设平移后点。坐标为(m，A),则C(zn-2,\+1),

当点C在乃=：上时，(6一2)(\+1)=6,

解得771=1+或1—VTW(舍弃)，

观察图象可知：矩形的边CE与乃=B(x>0)，刈=3。>°)的图象均无公共点，

则a的取值范围为：4<a<1+V13.

【解析】本题考查反比例函数综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、待定

系数法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利

用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.

(1)如图1中，作DMlx轴于M.利用全等三角形的性质求出点。坐标，点C坐标即可解决

第28页，共37页

问题；

(2)①设平移后点。坐标为⑺谭)，则Eg-2,甘，由题意：0-2)*=3,解方程即

可；

②设平移后点D坐标为则C(m-喘+1),当点C在光=：上时，(血一2虺+

1)=6,解得m=1+旧或1—g(舍弃)，观察图象可得结论.

25.【答案】DGAEDF7.07或5.00或5.65

【解析】解：(1)根据已知条件，观察表格数据可知：

确定DG的长度是自变量，AE的长度和DF的长度都是这个自变量的函数.

故答案为：DG,AE.DF；

(3)观察图象可知：

两个函数图象的交点或5.65即为当△GDF为等腰三角形时，AE的长.

故答案为7.07或5.00或5.65.

(1)根据已知条件结合观察表格数据即可得结论；

(2)根据表格数据即可画出函数图象；

(3)两个函数图象的交点即为当△GOF为等腰三角形时，4E的长.

本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据表格数据准确画出图象.

26.【答案】解：(1)y=mx2—4mx+3=m(x—2)2—4m+3,

二对称轴为：x=2,

令％=0,得y=mx2-4mx+3=3,

・•・抛物线y=mx2-4mx+3与y轴的交点为(0,3)；

(2)当？n=2时，y=2x2—8%+3,

令y=0,得y=2x2—8x4-3=0,

解得，x=包，

2

抛物线与X轴的交点坐标为：(匕潜，°)和(上手，°);

(3)vm>0,

・•・-4m+3<3,

抛物线的顶点在y=3下方，

,・,当x=4时,y=m(x—2)2—4m4-3=4m-4m+3=3,

・•・抛物线y=mx2-4mx+3恒过点(4,3),

・・・4(l,0)C(3,3),

二直线AC的解析式为：y=|x-|,

二当x=2时，y=|%一|=|，

•・♦抛物线与三角形力BC的三条边一共有2个交点，

二当x-2时,y=m(2—2)2-4m+3>|,或当x=1时,y=m(l-2)2—4m+3<0,

解得：m<:或>1,

vm>0,

?n的取值范围为0<mW|或m>1,

【解析】(1)把抛物线的解析式化成顶点式，便可求得对称轴，令x=0,求得y值，便

可得抛物线与y轴的交点坐标：

(2)把m=2代入抛物线的解析式，再令y=0求出x的值，便可得抛物线与x轴的交点坐

标；

(3)先说明抛物线恒过(4,3)点，再求直线4c的解析式，求得抛物线的对称轴与4c的交点

坐标，根据抛物线与三角形ABC的三条边一共有2个交点时，列出m的不等式进行解答

便可.

本题主要考查了二次函数的图象与性质，考查了求抛物线的对称轴，考查了求抛物线与

第30页，共37页

坐标轴的交点坐标，考查了探究抛物线与三角形三边的交点情况，难点是第(3)小题,

关键是正确建立Tn的不等式.

27.【答案】45言

【解析】(1)解：如图1,连接AC交EF于点R,

•••四边形ABCO是正方形，AB=2,

•••AB=CB=AD=CD=2,AB=LD=乙BAD=90°,

•••ABAC=乙BCA=45°,ADAC=/.DCA=45°,

AC=7AB2+CB2=V22+22=2vL

图1

•••E,F分别是AB,4。边上的中点，

•••AE=AF=-x2=1,

2

vZ.EAF=90°,

・•・乙EFA=乙FEA=45°,EF=y]AE2+AF2=Vl2+l2=&，

vZ-EAR=乙FAR,

ER=FR,AC1.EF,

ACR1EF,AR=-EF=立，

22

：•CR=2V2-----=——，

22

故答案为：45,运.

2

(2)解：①BE=DF,BELEF,

理由：当0=0时，如图1,

vBE=-AB,DF=-AD,B.AD=AB,

22

・•.BE—DF,

v乙BAD=90°,

:.BE1DF；

当0<8<90时，如图2,延长BE交DF于点G,交4。于点H,

由旋转得乙EAF=90°,AE=AF,

/.BAE=Z.DAF=90°-4DAE,

vAB=AD,图2

・••△BAE=^DAF(^SAS)9

:.BE=DF,Z.ABE=Z.ADF,

・・•乙4HB=乙GHD,

・•・/.ADF+乙GHD=/LABE+Z.AHB=90°,

・•・乙BGD=90°,

・•・BE1DF\

当6=90时，如图3,延长BE交DF于点G,

v乙BAE=乙BAD=90°,

・♦•点E在4。上，

,:Z.EAF=乙BAE=90°,

・•・/.EAF+Z.BAE=180°,

・••点F、4、8在同一条直线上，

-AB=AD,Z.BAE=/.DAF=90°,AE=AFf

・•・△BAE三△ZMF(S4S),图3

-BE=DF,Z-ABE=Z-ADF,

・•・Z.ABE+Z.AFD=Z.ADF+Z.AFD=90°,

・・・乙BGF=90°,

-BE1DF,

综上所述，BE=DF,BE1EF.

②如图4,连接并延长BE交DF于点G,连接DE,设4D交EF于点P,

由①得，BG1DF,BE=DF,

vLDAF=45°,/.EAF=90°,

•••/.DAE=/.DAF=45°,

vAE=AF,

:.ADIFF,PE=PF,

•••PA=2-EF2=PF=—,

PD=2--2,

・•・BE=DF=\IPF2+PD2=

J弓)2+(2-m2=,5_2&，

•­SADEF=\DF-EG=\EF-PD,

1xV5-2V2FG=|xV2(2-y)

第32页，共37页

.PC_2--l

,,EG-

BG=BE4-EG=y/5—2V2H—1'=/,

V5-2＞/2V5-2V2

.e_Rr2_(42_80+32.

,•、正方形BGMN-以一-17'

・•・以点B到。F所在直线的距离为边长的正方形的面积是吧当也.

17

⑴连接力C交EF于点R,由四边形力BCD是正方形，AB=2,先求出AC的长，再证明HE=

AF,则/EF4=45。，AC平分4EAF,则4CJ.EF,AR=^EF,求出4R的长，再由CR=

AC-AR求出CR的长，即得到点C到EF所在直线的距离；

(2)①BE=OF,BE1EF,分三种情况讨论，一是当。=0时，由(1)可直接得出结论；

二是当0＜。＜90时，延长BE交。尸于点G,交AD于点、H,先证明△BAE=ADAF,得BE=

DF,乙ABE=Z.ADF,则Z_ADF+乙GHD=4ABE+乙AHB=90°,得/BGD=90°,可

证得BE1EF；三是当6=90时，延长BE交DF于点G,先证明点E在4D上，点F、4、B

在同一条直线上，再证明△B4E三△O4F,得BE