高考数学人教B版一轮复习训练4-6正弦定理和余弦定理

核心考点·精准研析考点一正弦定理

1.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对边的边长.若cosC+sinCQUOTE=0,则QUOTE的值是 ()A.QUOTE1 B.QUOTE+1C.QUOTE+1 D.22.已知锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则QUOTE的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE3.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=________. 导学号

【解析】1.选B.在△ABC中,由cosC+sinCQUOTE=0,由两角和的正弦公式得2sinQUOTEsinQUOTE=2,所以C+QUOTE=B+QUOTE=QUOTE,解得C=B=QUOTE,所以A=QUOTE.由正弦定理得QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+1.2.选D.因为B=2A,所以sinB=sin2A=2sinAcosA,由正弦定理得b=2acosA,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTEtanA.因为△ABC是锐角三角形,所以QUOTE解得QUOTE<A<QUOTE,所以QUOTE<tanA<1,所以QUOTE<QUOTEtanA<QUOTE.即QUOTE的取值范围是QUOTE.3.已知bsinA+acosB=0,由正弦定理可得sinBsinA+sinAcosB=0,即sinB=cosB,又因为sin2B+cos2B=1,解得sinB=QUOTE,cosB=QUOTE,故B=QUOTE.答案:QUOTE解三角形的策略(1)将已知条件统一化为边的关系,或角的关系.一般来说,求边化边,求角化角.(2)已知代数式两边,边的次数相同时,可用正弦定理,将边换为角的正弦.1.(2020·武汉模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,b=QUOTE,A=30°,若B为锐角,则A∶B∶C= ()A.1∶1∶3 B.1∶2∶3C.1∶3∶2 D.1∶4∶1【解析】选B.因为a=1,b=QUOTE,A=30°,B为锐角,所以由正弦定理得sinB=QUOTE=QUOTE,则B=60°,所以C=90°,则A∶B∶C=1∶2∶3.2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2ccosA,QUOTEsinA=1,则sinC的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为QUOTEsinA=1,即sinA=QUOTE,又a=2ccosA,cosA=QUOTE>0,所以cosA=QUOTE.由条件及正弦定理得sinA=2sinCcosA,即QUOTE=2×QUOTEsinC,所以sinC=QUOTE.考点二余弦定理

【典例】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知ac=QUOTEb,sinB=QUOTEsinC.(1)求cosA的值.(2)求cosQUOTE的值.【解题导思】序号联想解题(1)看到“sinB=QUOTEsinC”,想到运用正弦定理,转化为b=QUOTEc,又由“ac=QUOTEb”运用余弦定理求得cosA.(2)看到“cosQUOTE”想到公式cos(AB)=cosAcosB+sinAsinB.利用(1)得出的cosA的值及倍角公式求出cos2A和sin2A,代入公式方可求出cosQUOTE的值【解析】(1)在△ABC中,由QUOTE=QUOTE及sinB=QUOTEsinC,可得b=QUOTEc,又由ac=QUOTEb,得a=2c,所以cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(2)在△ABC中,由cosA=QUOTE,可得sinA=QUOTE.于是,cos2A=2cos2A1=QUOTE,sin2A=2sinA·cosA=QUOTE.所以cosQUOTE=cos2AcosQUOTE+sin2AsinQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.用正、余弦定理求解三角形基本量的方法第一步:选定理.两角两边用正弦定理,三边一角用余弦定理.第二步:求解.将已知代入定理求解.1.(2019·长沙模拟)已知在△ABC中,D是AC边上的点,且AB=AD,BD=QUOTEAD,BC=2AD,则sinC的值为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.设AB=AD=2a,则BD=QUOTEa,则BC=4a,所以cos∠ADB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以cos∠BDC=QUOTE=QUOTE,整理得CD2+3aCD-10a2=0,解得CD=2a或者CD=5a(舍去).所以cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,而C∈QUOTE,所以sinC=QUOTE.2.(2020·晋城模拟)如图,在锐角三角形ABC中,sin∠BAC=QUOTE,sin∠ABC=QUOTE,BC=6,点D在边BC上,且BD=2DC,点E在边AC上,且BE⊥AC,BE交AD于点F.(1)求AC的长.(2)求cos∠DAC及AF的长.【解析】(1)在锐角三角形ABC中,sin∠BAC=QUOTE,sin∠ABC=QUOTE,BC=6,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以AC=QUOTE=QUOTE=5.(2)由sin∠BAC=QUOTE,sin∠ABC=QUOTE,得cos∠BAC=QUOTE,cos∠ABC=QUOTE,所以cosC=cos(∠BAC+∠ABC)=cos∠BACcos∠ABC+sin∠BACsin∠ABC=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.因为BE⊥AC,所以CE=BCcosC=6×QUOTE=QUOTE,AE=ACCE=QUOTE.在△ACD中,AC=5,CD=QUOTEBC=2,cosC=QUOTE,由余弦定理得AD=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以cos∠DAC=QUOTE=QUOTE=QUOTE.由BE⊥AC,得AFcos∠DAC=AE,所以AF=QUOTE=QUOTE.考点三正、余弦定理的综合应用

命题精解读考什么:判断三角形形状、个数、面积问题,最值、范围问题;怎么考:考查解三角形问题常与平面几何交汇,题目中经常出现有关的几何元素如高、角平分线、线段的垂直平分线、三角形内切圆等;与平面向量交汇考查,解三角形还常与不等式,三角函数的性质交汇命题.学霸好方法1.判断三角形形状的两种思路(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=π这个结论.2.在三角形中求边、角的方法(1)若求角,寻求得到这个角的一个函数的方程,结合角的范围求解.(2)若求边,寻求与该边(或两边)有关联的角,利用三角形面积公式列方程求解.判断三角形个数、形状【典例】1.在△ABC中,已知a=2,b=QUOTE,A=45°,则满足条件的三角形有()A.1个 B.2个C.0个 D.无法确定2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若QUOTE=QUOTE,则△ABC的形状是 ()导学号A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】1.选B.因为bsinA=QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以bsinA<a<b.所以满足条件的三角形有2个.【一题多解】选B.作∠A=45°,则点B,C分别在∠A的两条边上.因为AC=b=QUOTE,所以点C固定.过C作AB的垂线,垂足为D,易知CD=h=QUOTE,又因为a=2,即QUOTE<a<QUOTE,所以B有两个位置符合题意.所以满足条件的三角形有2个.2.选D.由已知QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE或QUOTE=0,即C=90°或QUOTE=QUOTE.由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,即sinCcosC=sinBcosB,即sin2C=sin2B,因为B,C均为△ABC的内角,所以2C=2B或2C+2B=180°,所以B=C或B+C=90°,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.1.三角形解的个数如何判断?提示:(1)已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理,也可用余弦定理.用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.(3)数形结合,作图,与相应的直角三角形比较.2.三角形形状如何判定?提示:(1)角化边:利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断.(2)边化角:通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.面积问题【典例】1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=QUOTE,则△ABC的面积为________.

【解析】因为cosB=QUOTE,又因为b=6,a=2c,B=QUOTE,可得c2=12,解得c=2QUOTE,a=4QUOTE,则△ABC的面积S=QUOTE×4QUOTE×2QUOTE×QUOTE=6QUOTE.答案:6QUOTE2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且QUOTEacosC=(2bQUOTEc)cosA.(1)求角A的大小.(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.【解析】(1)由正弦定理可得:QUOTEsinAcosC=2sinBcosAQUOTEsinCcosA,从而可得:QUOTEsin(A+C)=2sinBcosA,即QUOTEsinB=2sinBcosA,又B为三角形的内角,所以sinB≠0,于是cosA=QUOTE,又A为三角形的内角,所以A=QUOTE.(2)由余弦定理:a2=b2+c22bccosA得4=b2+c22bc·QUOTE≥2bcQUOTEbc,当且仅当b=c时取等号,所以bc≤4(2+QUOTE),所以S=QUOTEbcsinA≤2+QUOTE.所以△ABC面积的最大值为2+QUOTE.与三角形面积有关的问题如何求解?提示:解三角形与三角恒等变换交汇问题【典例】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinCcosC)=0,a=2,c=QUOTE,则C= 导学号()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由题意得sin(A+C)+sinA(sinCcosC)=0,sinAcosC+cosAsinC+sinAsinCsinAcosC=0,即sinC(sinA+cosA)=QUOTEsinCsinQUOTE=0,所以A=QUOTE.由正弦定理QUOTE=QUOTE得QUOTE=QUOTE,即sinC=QUOTE,得C=QUOTE.三角形与三角恒等变换交汇问题如何求解?提示:1.在△ABC中,cos2QUOTE=QUOTE(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为()A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.钝角三角形【解析】选A.已知等式变形得cosB+1=QUOTE+1,即cosB=QUOTE.由余弦定理得cosB=QUOTE,代入得QUOTE=QUOTE,整理得b2+a2=c2,即C为直角,则△ABC为直角三角形.2.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由正弦定理及sin2A≤sin2B+sin2CsinBsinC得a2≤b2+c2bc,即b2+c2a2≥bc,由余弦定理得cosA=QUOTE≥QUOTE=QUOTE,又0<A<π,所以0<A≤QUOTE.所以A的取值范围是QUOTE.3.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为QUOTE,则C= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由题意S△ABC=QUOTEabsinC=QUOTE,即sinC=QUOTE,由余弦定理可知sinC=cosC,即tanC=1,又C∈(0,π),所以C=QUOTE.1.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinCcosC=1cosQUOTE,若△ABC的面积S=QUOTE(a+b)sinC=QUOTE,则△ABC的周长为 ()A.2QUOTE+5 B.QUOTE+5C.2QUOTE+3 D.QUOTE+3【解析】选D.由sinCcosC=1cosQUOTE⇒2sinQUOTEcosQUOTEQUOTE=1cosQUOTE⇒cosQUOTE2cosQUOTE2