新版高中数学人教A版选修2-1习题第三章空间向量与立体几何3.2.4

第4课时用向量方法求空间中的距离课时过关·能力提升基础巩固1若O为原点,OA=(1,1,2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为()A.1652 B.214 C.53 D.解析:∵OP=OA+OB2=2,32答案:D2已知平面α的一个法向量n=(2,2,1),点A(1,3,0)在α内,则点P(2,1,4)到平面α的距离为()A.10 B.3 C.83 D.解析:PA=(1,2,4),又平面α的一个法向量为n=(2,2,1),所以点P到α的距离为|PA答案:D3若三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是()A.66 B.63 C.36解析:分别以PA,PB,PC所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),则d=|PA答案:D4在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB=AA1=4,点D是AA1的中点,则点A1到平面DBC1的距离是()A.2 B.22 C.23 D答案:A5已知直线l过原点,一个方向向量为n=(1,1,1),则点A(0,0,3)到直线l的距离为.

答案:36已知A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(5,4,8),则点D到平面ABC的距离为.

解析:设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则n∴可取n=-32,-1,1.∴点D到平面ABC的距离d=|AD答案:497在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知AA1=9,BC=63,N为BC的中点,则直线D1C1与平面A1B1N的距离是.

答案:98已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,E,F分别是BB1,CD的中点,求点F到平面A1D1E的距离.解:建立空间直角坐标系,如图所示,则A1(a,0,a),D1(0,0,a),A(a,0,0),B(a,a,0),B1(a,a,a),Ea,a,a设平面A1D1E的法向量为n=(x,y,z),则n·A1D1=0,n·即(∴ax=0,aya2z=0∴x=0,y=z2,令又FD∴所求距离d=|FD9如图,已知斜三棱柱ABCA1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知BA1⊥AC1.(1)求证:AC1⊥平面A1BC;(2)求CC1到平面A1AB的距离.(1)证明如图,取AB的中点E,连接DE,则DE∥BC.因为BC⊥AC,所以DE⊥AC.又A1D⊥平面ABC,以DE,DC,DA1的方向为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系,设A1D=t(t>0),则A(0,1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,t),C1(0,2,t),所以AC1=(0,3,t),BA1由AC1·CB=0,知AC又BA1⊥AC1,从而AC1⊥平面A1BC.(2)解:由AC1·BA1=3+t2设平面A1AB的法向量为n=(x,y,z),AA1=(0,1,3),AB所以n设z=1,则n=(3,3,1),又CC1∥AA1,所以CC1∥平面A1AB.所以CC1到平面A1AB的距离可转化为点C1到平面A1AB的距离d,且d=|AC能力提升1已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4,点E是CC1的中点,则点E到直线A1B的距离为()A.433 B.26 C.25 D.答案:D2正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A.2a B.3a C.23a D.3解析:建立空间直角坐标系如图.则A(a,0,0),B(a,a,0),D(0,0,0),C1(0,a,a),D1(0,0,a),B1(a,a,a),∴AB1=(0,a,a),AD1=(a,0,a),BC1=(a,0,a),DC设n=(x,y,z)为平面AB1D1的法向量,则n得y=-z,x=z.取又∵AD1∥BC1,AB1∥DC1,AD1∩AB1=A,DC1∩BC1=C1,∴平面AB1D1∥平面BDC1.∴平面AB1D1与平面BDC1的距离可转化为点C1到平面AB1D1的距离d.∵C1B1=(a,0,0),平面AB1n=(1,1,1),∴d=|C1答案:D3已知二面角αlβ为60°,动点P,Q分别在平面α,β内,点P到β的距离为3,点Q到α的距离为23,则P,Q两点之间距离的最小值为()A.2 B.2 C.23 D.4解析:作PM⊥β,QN⊥α,垂足分别为M,N.分别在平面α,β内作PE⊥l,QF⊥l,垂足分别为E,F,如图所示,连接ME,NF,则ME⊥l,∴∠PEM为二面角αlβ的平面角.∴∠PEM=60°.在Rt△PME中,|PE|=|PM|同理|QF|=4.又PQ=∴|PQ|2=4+|EF|2+16+2PE·EF+2PE·FQ+2EF·FQ=20+|EF|2+2×2×4cos120°=∴当|EF|2取最小值0时,|PQ|2最小,此时|PQ|=23.答案:C4已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是1,则点D1到AC的距离为.

解析:以A为原点,AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(0,0,0),C(1,1,0),D1(0,1,1).设M为AC的中点,则M12∵AD1=CD1,∴MD1即为D1到AC的距离.而|MD1|=∴D1到AC的距离为62答案:65若向量a=(1,0,2),b=(0,2,1),a,b所在平面的一个法向量为n=(x,y,z),则向量c=(1,21,2)在n上的射影长是.

解析:由已知得x取z=2,则n=(4,1,2).则c在n上的射影长为d=|c·n答案:16在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,点A到平面A1BD的距离为.

解析:以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),A1(a,0,a).设n=(x,y,z)为平面A1BD的法向量,则有n∴x+z=0,x+y=0,令x=∴点A到平面A1BD的距离d=|DA·答案:33★7如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D,E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.(1)求A1B与平面ABD所成角的余弦值;(2)求点A1到平面AED的距离.解:(1)连接BG,则BG是BE在平面ABD内的射影,即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角.建立如图所示的空间直角坐标系,坐标原点为C.设CA=2a(a>0),则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1),A1(2a,0,2),E(a,a,1),G2a∴GE=a3,a3∴GE·BD=23a2+23=0,解得∴BA1=(2,2,2),BG∴cos∠A1BG=BA(2)由(1)有A(2,0,0),A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1),则AE·ED=(1,1,1)·(1,1,0)AA1·ED=(0,0,2)·(∴ED⊥平面AA1E.又ED⊂平面AED,∴平面AED⊥平面AA1E.又平面AED∩平面AA1E=AE,∴点A1在平面AED上的射影K在AE上.设AK=λAE(λ∈R),则A1K=A1A+AK=由A1K·AE=0,得λ+λ+λ2=0,解得∴A1K=-23,故点A1到平面AED的距离为26★8如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB,AD上,AE=EB=AF=23FD=4.沿直线EF将△AEF翻折成△A'EF,使平面A'EF⊥平面BEF.(1)求二面角A'FDC的余弦值;(2)点M,N分别在线段FD,BC上,若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折,使点C与点A'重合,求线段FM的长.解:(1)取线段EF的中点H,连接A'H.因为A'E=A'F,H是EF的中点,所以A'H⊥EF.又因为平面A'EF⊥平面BEF,且A'H⊂平面A'EF,所以A'H⊥平面BEF.如图,建立空间直角坐标系,则A'(2,2,22),C(10,8,0),F(4,0,0),D(10,0,0).故FA'=(2,2,22),FD=(6,0,0