第4章-1(基本概念、相量表示)

第4章正弦交流电路的分析与计算4.2正弦交流电路的相量表示4.1正弦交流电的基本概念4.3阻抗与导纳4.4正弦电路的功率4.5正弦电路的相量分析法4.6电路的谐振4.7三相电路4.1正弦交流电的基本概念前面两章所接触到的电压和电流均为稳恒直流电，其大小和方向均不随时间变化，称为稳恒直流电，简称直流电。直流电的波形图如下图所示：u、it0电子通讯技术中通常接触到的电压和电流，其大小随时间变化，方向不随时间变化，称为脉动直流电，如图所示。电压或电流的大小和方向均随时间变化时，称为交流电，最常见的交流电是随时间按正弦规律变化的正弦电压和正弦电流。表达式为：u、it0Ru+_

_

_iu+_正弦交流电的优越性：

便于传输；易于变换便于运算；有利于电器设备的运行；

.....正半周负半周Ru+_4.1.1正弦量的三要素以正弦电流为例振幅角频率振幅、角频率和初相位称为正弦量的三要素。相位初相位波形如图1.正弦交流电的周期、频率和角频率角频率ω：正弦量在单位时间内变化的弧度数。角频率与周期及频率的关系：周期T：正弦量完整变化一周所需要的时间。频率f：正弦量在单位时间内变化的周数。周期与频率的关系：2.正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值瞬时值是以解析式表示的：最大值就是上式中的Im，Im反映了正弦量振荡的幅度。有效值指与交流电热效应相同的直流电数值。符号：U、IRi交流电i通过电阻R时，在t时间内产生的热量为QRI例直流电I通过相同电阻R时，在t时间内产生的热量也为Q即：热效应相同的直流电流I称之为交流电流i的有效值。有效值可以确切地反映交流电的作功能力。理论和实际都可以证明：3.正弦交流电的相位、初相和相位差正弦量解析式中随时间变化的电角度(ωt+θ)。相位：t=0时的相位

θ

，它确定了正弦量在计时起点的位置。初相：两个同频率正弦量之间的相位之差。相位差：例相位初相u、i的相位差为：相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的初相之差例幅值：已知：频率：初相位：4.2正弦信号的相量表示4.2.1复数及其表示方法复数A在复平面上是一个点，＋j0b＋1aA原点指向复数的箭头称为它的模，模r与正向实轴之间的夹角称为复数A的幅角；A在实轴上的投影是它的实部；A在虚轴上的投影称为其虚部。复数A的代数表达式为：A=a+jb由图可得出复数A的模值r和幅角θ分别为：r由图还可得出复数A与模复数还可以表示为指数形式和极坐标形式：又可得到复数A的三角函数式为：＋j0b＋1aArr及幅角θ之间的关系为A=rcosθ+jrsinθA=rejθ

或A=r/θ复数的几种表示方法可以相互转换。解已知复数A的模r=5，幅角θ=53.1°，写出复数A的极坐标形式和代数形式表达式。极坐标形式为：A=5/53.1°代数表达形式为：A=3+j4例4.2.2复数运算法则复数相加、减时用代数形式比较方便；复数相乘、除时用极坐标形式较方便。设有两个复数分别为：A1、A2加、减、乘、除的运算公式在复数运算当中，一定要根据复数所在象限正确写出幅角的值。如：注意代数形式中虚部数值前面的j是旋转因子，一个复数乘以j相当于在复平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针旋转90°（数学课程中旋转因子是用i表示，电学中为了区别于电流而改为j)。检验学习结果已知复数A=4+j5，B=6-j2，求A+B、A-B、A×B、A÷B。已知复数A=10/30°，B=8/-45°

求A+B、A-B、A×B、A÷B。解1第2题自己练习。4.2.3相量与正弦量相对应的复电压和复电流称之为相量。为与一般复数区别，相量的头顶上一般加符号“·

”。例如：正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A，若用相量表示，其最大值相量为：有效值相量为：由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的有效值（或最大值），幅角对应正弦量的初相位。正弦量相量符号说明瞬时值

---小写u、i有效值

---大写U、I复数、相量

---大写

+“.”最大值

---大写+下标解：已知瞬时值，求相量。已知:

求：i

、u

的有效值相量

例例求：已知相量，求瞬时值。两个频率都为

1000Hz的正弦电流的有效值相量形式为：解：按照各个正弦量的大小和相位关系用初始位置的有向线段画出的若干个相量的图形，称为相量图。把它们表示为相量，并且画在相量图中。例已知解用有效值相量表示，即：U1=U1θ1U2=U2θ2画在相量图中：U2U1也可以把复平面省略，直接画作U2U1虚线可以不画+1j利用相量图中的几何关系，可简化同频率正弦量之间的加、减运算及其电路分析。解例:U利用相量图辅助分析，U2U1根据平行四边形法则，由相量图可以清楚地看出：U1cosθ1+U2cosθ

2U1sinθ

1+U2sinθ

2答案1.把下列正弦量表示为有效值相量：思考练习2.指出下列各式的错误并改正：正弦量和相量之间只有对应没有相等。电压单位是V相量上面要加符号“·”！I=URi=uR一、电阻元件4.2.4交流电路中的常用元件1.电阻元件上的电压、电流关系

iR

u电压、电流的瞬时值表达式为：

由两式可推出，电阻元件上电压、电流的相位上存在同相关系；数量上符合欧姆定律，即：2.功率（1）瞬时功率p瞬时功率用小写则结论：1.p随时间变化；

2.p≥0，为耗能元件。uip=UI-UIcos2tωtUI－UIcos2tu、i、p（2）平均功率（有功功率）P

(一个周期内的平均值)

由:可得:P=UI例求：“220V、100W”和“220V、40W”灯泡的电阻？平均功率用大写解：电阻负载在相同电压下工作，功率与其阻值成反比。平均功率代表了电路实际消耗的功率，因此也称之为有功功率。i

uL1.电感元件上的电压、电流关系

设通过L中的电流为：

则L两端的电压为：

由式推出L的电压电流在相位上存在90°的正交关系，且电压超前电流。电压电流之间的数量关系：ULm=ImωL=ImXL其中XL是电感对正弦交流电流所呈现的电抗，简称感抗，单位和电阻一样，也是欧姆。二、电感元件电感元件上电压、电流的有效值关系为：XL=2πfL=ωL，虽然式中感抗和电阻类似，等于元件上电压与电流的比值，但它与电阻有所不同，电阻反映了元件上耗能的电特性，而感抗则是表征了电感元件对正弦交流电流的阻碍作用，这种阻碍作用不消耗电能，只能推迟正弦交流电流通过电感元件的时间。感抗与哪些因素有关？XL与频率成正比；与电感量L成正比直流情况下感抗为多大？直流下频率f=0，所以XL=0。L

相当于短路。u2.电感元件的功率

（1）瞬时功率p则ip=ULIsin2tωtui同向,吸收电能;储存磁能;p>0ui反向,送出能量;释放磁能;p<0ui同向,吸收电能;储存磁能;p>0ui反向,送出能量;释放磁能;p<0电感元件上只有能量交换而不耗能，为储能元件结论：p为正弦波，频率为ui的2倍；在一个周期内，L吸收的电能等于它释放的磁场能。P=0，电感元件不耗能（2）平均功率（有功功率）P问题与讨论1.电源电压不变，当电路的频率变化时，通过电感元件的电流发生变化吗？（3）无功功率QL

（单位:乏尔[Var]）2.能从字面上把无功功率理解为无用之功吗？f变化时XL随之变化，导致电流i变化。不能！为了衡量电源与元件之间能量交换的规模，引入无功功率的概念。所谓无功功率，就是吸收电能转换成磁场能的那部分功率：ic

uC1.电容元件上的电压、电流关系

若加在C两端的电压为：则C上的充放电电流为：可推出，电容元件上电流总是超前电压90°数量上存在着：三、电容元件其中：IC=U

C=U2πfC=U/XC电容元件上电压、电流的有效值关系为：容抗与哪些因素有关？XC与频率成反比；与电容量C成反比，因此频率越高电路中容抗越小，这被称作电容元件的通交作用，高频电路中电容元件相当于短路。直流情况下容抗为多大？直流下频率f=0，所以XC=∞。电容元件相当于开路。（隔直作用）XC称为电容元件上的容抗，单位为欧姆(Ω)。容抗反映了电容元件对正弦交流电流的阻碍作用。只有在一定频率下，电容元件的容抗才是常数。2.电容元件的功率关系i（1）瞬时功率p则up=UICsin2tωtui同向,电容充电;建立电场;p>0ui反向,送出能量;电容放电;p<0ui同向,电容充电;建立电场;p>0ui反向,送出能量;电容放电;p<0电容元件和电感元件相同，只有能量交换而不耗能，因此也是储能元件。结论：p为正弦波，频率为ui的2倍；在一个周期内，C充电吸收的电能等于它放电发出的电能。P=0，电容元件不耗能（2）平均功率（有功功率）P（3）无功功率QC无功功率QC反映了电容元件在充放电过程中与电源之间进行能量交换的规模。即：问题与讨论1.电容元件在直流、高频电路中如何？2.电感元件和电容元件有什么异同？直流时C相当于开路，高频时C相当于短路。

L和C上都存在相位正交关系，所不同的是L上电压超前电流，C上电流超前电压;

L和C都是储能元件；直流情况下C相当于开路；L相当于短路。想想练练1.电阻元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？判断下列表达式的正误。2.纯电感元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？感抗与频率有何关系？判断下列表达式的正误。3.纯电容元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？容抗与频率有何关系？判断下列表达式的正误。电阻元件上电压与电流的相位同相，电感元件上电压与电流的相位差感抗与频率成正比，直流情况下f=0，L相当于短路；高频情况下，由于感抗很大，L相当于开路。高频情况下，由于容抗近似等于零，C相当于短路。电容元件上电压与电流的相位差容抗与频率成反比，直流情况下f=0，C相当于开路；4.2.5基尔霍夫定律的相量形式一、基尔霍夫节点电流定律的相量形式

正弦电路中任一节点，与它相连接的各支路电流的相量代数和为零，即

上式就是基尔霍夫节点电流定律的相量形式，简称KCL的相量形式。

上式就是基尔霍夫回路电压定律的相量形式，简称KVL的相量形式。二、回路电压定律的相量形式

正弦电路中，任