空间几何简介

第六章第一部分空间解析几何简介

第二部分多元函数微分学多元函数微积分第三部分二重积分定义及计算机动目录上页下页返回结束第一节一、向量的概念与运算二、空间直角坐标系三、曲面及其方程机动目录上页下页返回结束空间解析几何简介第六章表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念与运算向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1

M2,或a,机动目录上页下页返回结束1.向量的概念规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;与a

的模相同,但方向相反的向量称为a

的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线

.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面

.记作－a;机动目录上页下页返回结束2.向量的线性运算1)向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2)向量的减法三角不等式机动目录上页下页返回结束3)向量与数的乘法

是一个数,规定:可见与a

的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此机动目录上页下页返回结束定理1.

设

a

为非零向量,则(

为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数

的唯一性.则a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b

同向时则b

与

a

同向,设又有b＝

a,机动目录上页下页返回结束“”则已知

b＝

a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b机动目录上页下页返回结束ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ二、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z

轴(竖轴)过空间一定点o,

坐标面

卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念机动目录上页下页返回结束Ⅰ向径在直角坐标系下坐标轴上的点

P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点

M特殊点的坐标:有序数组(称为点

M

的坐标)原点O(0,0,0);机动目录上页下页返回结束坐标轴:坐标面:机动目录上页下页返回结束2.

向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点

M

则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此式称为向量

r

的坐标分解式

,任意向量r

可用向径OM

表示.机动目录上页下页返回结束3.利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:机动目录上页下页返回结束定义1.

如果曲面

S

与方程

F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面

S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,机动目录上页下页返回结束三、曲面及其方程1.曲面方程的概念两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).

机动目录上页下页返回结束故所求方程为例1.

求动点到定点方程.

特别,当M0在原点时,球面方程为解:

设轨迹上动点为即依题意距离为

R

的轨迹表示上(下)球面.机动目录上页下页返回结束例2.

研究方程解:配方得此方程表示:的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为机动目录上页下页返回结束①2.平面及其方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称①式为平面

的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有

故设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价,

②的平面,

因此方程②的图形是法向量为

方程.特殊情形•当

D=0时,Ax+By+Cz=0表示

通过原点的平面;•当

A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

轴;•Ax+Cz+D=0表示•Ax+By+D=0表示•Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•By+D=0表示平行于

y

轴的平面;平行于

z

轴的平面;平行于xoy

面的平面;平行于yoz

面的平面；平行于zox

面的平面.例1.

求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.例2.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程解:因平面通过x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程3.柱面引例.

分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,

沿曲线C平行于

z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意

z,平行

z

轴的直线

l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,机动目录上页下页返回结束定义3.平行某定直线并沿定曲线C

移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.

表示抛物柱面,母线平行于

z

轴;准线为xoy

面上的抛物线.

z

轴的椭圆柱面.

z

轴的平面.

表示母线平行于

(且z

轴在平面上)表示母线平行于C

叫做准线,l

叫做母线.机动目录上页下页返回结束一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x

轴;平行于

y

轴;平行于

z

轴;准线

xoz

面上的曲线l3.母线柱面,准线xoy

面上的曲线l1.母线准线yoz面上的曲线l2.母线机动目录上页下页返回结束三元二次方程研究二次曲面特性的基本方法:截痕法基本类型:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)4.二次曲面

1)

椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆与的交线为椭圆：(4)同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c

时为球面.(3)截痕:为正数)2)抛物面(1)椭圆抛物面(p,q

同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）(p,q同号)3)双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平