材料力学马红艳几何性质

大连理工大学基础力学教学研究所材料力学MechanicsofMaterials4-3已知：n=200rev/min，PB=60kW，PA=22kW，PC=20kW，PD=18kW，作扭矩图。解：4-7转速n=200rev/min，PA=30kW，PB=17kW，PC=13kW，[t]=60MPa，d1=60mm，d2=40mm，校核该轴。解：T,N·m∴该轴强度足够。4-9转速n=120rev/min，[t]=60MPa，d=50mm，问许可传递的功率是多少？∴许可传递的功率[P]为18.5kW。解：(1)静矩、形心、组合截面图形的静矩和形心(2)惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积；简单截面图形惯性矩和惯性积，组合截面图形惯性矩和惯性积(3)平行移轴公式，组合图形惯性矩的计算(4)惯性矩和惯性积的转轴公式、形心主惯性轴和形心主惯性矩概念，简单图形的形心主惯性轴和形心主惯性矩(5)*组合截面图形的形心主惯性矩重点：截面图形的静矩、惯性矩和极惯性矩、惯性积的概念与简单计算。平行移轴公式的应用12附录Ⅰ力学响应的决定因素

荷载材料

几何性质附录I:截面图形的几何性质

几何性质——只与横截面的几何形状和尺寸有关的某些几何量，对杆件的应力和变形起着重要作用，如横截面面积A,圆轴横截面对圆心的极惯性矩IP等。拉压杆圆轴扭转梁的几何性质对变形的影响FF几何性质对变形的影响FF一、静矩和形心1.静矩（一次矩）代数量单位：m3dAzyyzO2.形心zCyCyzOC由理论力学，均质薄板形心计算公式如下：3.形心与静矩的关系∴Sz

=Ayc

图形对一个轴的静矩，等于该图面积与其形心坐标的乘积。∴Sy

=Azc同理yCyzOCzCdAzy几个特例形心位于对称轴上∴Sy=0，Sz=0Cyz结论：图形对其任意形心轴的静矩为零CyzSy=Azc，Sz=Aycy是形心轴时，zc=0∴Sy=0yz例解：由对称性，dzCzCRZy求图示半圆的Sy,Sz

和形心yc=0,Sz=0由图

4.组合图形的静矩和形心

组合图形——由几个简单图形组成的图形。组合图形的静矩和形心ⅠⅡC(yc,zc)C1(yc1,zc1)C2（yc2,zc2)yz一般地组合图形的静矩和形心二、惯性矩、惯性积、惯性半径

1.惯性矩二次矩单位：m4

显然，图形分布距离某轴越远，对该轴的惯性矩就越大。dAyzyzOOhbzyOdzyODdzyOyzO

2.惯性积混合二次矩代数量单位：m4y,z轴中有一个是对称轴，则Iyz=0dAyzyzO-ydAzydAz

3.惯性半径单位：m矩形圆形hbzyOdzyO4.惯性矩与极惯性矩的关系

∵

ρ2=y2＋z2∴即IP=Iz＋Iy

图形对通过一点的任意两个互相垂直的坐标轴的惯性矩之和为一常数。dAyzyzOρCyC三、平行移轴公式问题

已知对形心轴的惯性矩和惯性积，求对所有与该形心轴平行的轴的惯性矩和惯性积ay例如，已知Iyc,y∥yC,

求Iy.Iy=

图形对一轴的惯性矩，等于对平行于此轴的形心轴的惯性矩，加上图形面积与此二轴间距离平方的乘积。CyCayzCzzOzCdAz=zC+a一般地，

Iy=Iyc+a

2AIz=Izc+b

2AIyz=Iyczc+a

bA在一组平行的轴中，图形对其形心轴的惯性矩最小。惯性积公式中a,b为形心坐标，注意其正负号。

记住图形对形心轴的惯性矩，便可求出对所有平行于此形心轴的各轴的惯性矩。CyCayzCzzOzCdAbyC四、组合图形的惯性矩

若则

组合图形对某轴的惯性矩，等于各组成图形对同一轴惯性矩的和。200C20020

已知：C为形心，求：Izc.

解：2.求Izc.Izc=（200×203/12＋200×20×552）＋（20×2003/12＋200×20×552）

=37.67×106mm45555zyCzCC1z1ⅡⅠ由对称性，形心位于对称轴上。1.求形心位置C2z2例20五、转轴公式

坐标原点不变，坐标轴旋转，图形对轴的惯性矩和惯性积的变化。α角：自y

轴正向逆时针转动为正。新旧坐标转换关系：

y1=ycosα＋zsinαz1=zcosα－ysinαyzyzOdAαz1y1y1z1α

整理后得讨论：Iy1,Iz1,Iy1z1

都是α角的有界周期函数；

Iy1＋

Iz1

=Iy＋

Iz

=Ip=常数六、形心主惯性轴形心主惯性矩

1.主惯性轴若

Iy1z1=0,则y1,z1

轴称为主惯性轴。其位置可由下式确定：

α0

为主惯性轴与y轴的夹角,有两个解，正交。2.形心主惯性轴

通过形心的主惯性轴称形心主惯性轴。对称轴必为形心主惯性轴。形心主惯性轴zyCzyCzyC3.主惯性矩

图形对主惯性轴的惯性矩，称主惯性矩。当图形对任意两个互相垂直坐标轴y,z的惯性矩Iy,Iz

和惯性积Iyz已知时，将解出的α0

代入Iy1,Iz1公式，其主惯性矩可由下式计算：Iy0IZ0主惯性矩的意义

对求导即

所以，主惯性轴就是使得图形的惯性矩取得极值的坐标轴；

而主惯性矩就是图形对通过一点的所有坐标轴的惯性矩中的最大值或最小值。4.形心主惯性矩

图形对形心主惯性轴的惯性矩。形心主惯性矩对梁的应力分布和变形计算起着十分重要的作用。

计算步骤：确定形心；确定对任意形心轴的惯性矩和惯性积；计算形心主惯性矩。例题

求形心主惯性矩2.求形心解:1.选坐标yoz,2020zO100100yC2C1C（yc,zc）例题

3.求Iyc,Izc,Iyczc2020zO100100yC2C1C（40,30）zCyC2020例题2020zO100100yC2C1C（40,30）zCyC30302020zO100100yC2C1C（40,30）zCyC303020例题20

Iyczc

=100×20×（－30×20)+100×20×（－20×30)=－2.4×106mm4

4.求形心主惯性矩

Iy0Iz0={6.93×106mm41.73×106mm45.形心主惯性轴2020zO100