浙江省嘉兴市2023-2024学年高二上学期期中数学试题【含答案】

浙江省嘉兴市2023-2024学年高二上学期期中数学试题一、选择题（共8小题，每小题5分，合计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．若直线过两点，，则直线AB的倾斜角为（

）A． B．C．（） D．（）2．已知、，动点满足，则点的轨迹是（

）A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段3．已知点和点，则以线段为直径的圆的标准方程为（

）A． B．C． D．4．若椭圆和双曲线的共同焦点为是两曲线的一个交点，则的面积值为（

）A． B． C． D．85．如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基向量，，表示向量，设，则、、的值分别是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，6．已知定点，点为抛物线上一动点，点到直线的距离为，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（

）A． B．6 C． D．58．已知双曲线（，）的左焦点为F，M，N，P是双曲线C上的点，其中线段MN的中点恰为坐标原点O，且点M在第一象限，若，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题（共4小题，每小题5分，计20分.在每小题给出的四个选项中，多个选项正确.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分.）9．下列说法正确的是（

）A．任意一条直线都有倾斜角和斜率B．点关于直线的对称点为C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为D．过点且圆相切的直线方程是10．已知过抛物线（）的焦点的直线交抛物线C于，两点，且，直线OA和OB的斜率分别为，则（

）A． B．C．线段长的最小值为4 D．11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面ABCD，若，E，F分别为PD，PB的中点，则（

）A．平面PACB．平面EFCC．点到直线的距离为D．AC与平面EFC的所成角的正弦值为12．已知是椭圆（）焦点，且，过点作不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于P，Q两点，当点P为椭圆C的上顶点时，直线l与直线垂直，则下列说法正确的是（

）A．当时，的面积是B．若点，则的最大值为C．若点M，N在x轴上，其中（O为坐标原点），，且点A为直线PN，QM的交点，则点A的横坐标为D．过椭圆的左焦点作直线l的垂线，交椭圆于、两点，当点为椭圆的上顶点时，的周长为三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知双曲线（，）的右焦点到渐近线的距离为，且实轴长为2，则该双曲线左焦点的坐标为．14．圆和的公共弦所在直线方程为．15．已知点，，，则向量与的夹角为．16．已知抛物线，是抛物线上异于原点的两个动点，直线与抛物线相切且交于点，且，值是．四､解答题：本题共有6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤.17．已知直线与（）．(1)若，求的值；(2)若，求直线到的距离．18．已知直线（）和圆交于A，B两点，(1)求证：直线过一定点，并求出定点的坐标；(2)当线段AB的长取最小值时，求的值．19．已知过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且M是AB的中点，(1)求直线的方程；(2)求面积．20．在四棱锥中，平面平面，，，为中点，，．(1)求证：；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.21．已知双曲线过点，它的渐近线方程是．(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线交于两点，直线的倾斜角互补，求直线的斜率．22．已知点，，平面内一动点满足直线与的斜率乘积为．(1)求动点的轨迹的方程；(2)直线交轨迹于两点，若直线的斜率是直线的斜率的倍，求坐标原点到直线的距离的取值范围．1．B【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角即可.【详解】点，，则直线的斜率，直线的倾斜角满足，而，因此，所以直线的倾斜角为.故选：B2．D【分析】由已知可得出，分析可得结果.【详解】因为、，动点满足，所以点的轨迹为线段.故选：D.3．C【分析】求圆心与半径可得标准方程.【详解】因为点和点为直径端点，所以中点，即为圆心，由，则圆的半径，故圆的标准方程为.故选：C.4．A【分析】设点，根据方程组求点P的坐标和焦距，进而可得面积.【详解】对于椭圆可知：半长轴长为5，半短轴长为3，半焦距为4，则，设点，则，解得，所以的面积值为.故选：A.5．D【分析】利用向量的三角形法则及平行四边形法则和向量形式的中点公式即可得出．【详解】、分别是对边、的中点，，．，因此，．故选：D6．C【分析】抛物线的焦点为，设点，则，可得出，分析可知，当点为线段与抛物线的交点时，取最小值，即可得解.【详解】抛物线的焦点为，设点，则，则，当且仅当点为线段与抛物线的交点时，等号成立，故的最小值为.故选：C.7．D【分析】根据给定条件，可得点在平面内，再利用线面、线线平行的判定性质推理计算即得.【详解】在长方体中，由，，得点在矩形及内部，当为中点时，连接，如图，由M是的中点，得，而长方体的对角面是矩形，则，因此，又平面，平面，于是平面，又在过且平行于平面的平面中，故的轨迹为线段即为.而，则，所以动点P的轨迹所形成的轨迹长度是5.故选：D8．B【分析】易证得四边形为矩形，设，结合双曲线定义可表示出，，，，在，中，利用勾股定理可构造方程求得，由此可得渐近线方程．【详解】设双曲线的右焦点为，连接，，，

，，，又为中点，四边形为矩形；设，则，，，，，，解得：，又，，得，即，所以双曲线的离心率为.故选：B.9．BD【分析】选项A，根据倾斜角和斜率的概念即可判断；选项B，设关于直线对称的点为，得到，再解方程即可判断；选项C，分别讨论直线过原点和不过原点两种情况，即可判断；选项D，先判断点在圆上，再由相切性质求出直线斜率，求出直线方程即可判断.【详解】选项A，任意一条直线都有倾斜角，当倾斜角为时，不存在斜率，故A错误；选项B，设关于直线对称的点为，则，解得，即关于直线对称的点为，故B正确；选项C，当所求直线过原点时，设直线为，因为点在上，所以，所求直线为.当直线不过原点时，设所求直线为，因为点在上，所以，所求直线为.综上，所求直线为或，故C错误；选项D，由，则点在圆上，且直线斜率，设过点且圆相切的直线为，斜率为，由圆心，，得，则，则切线方程为，化简得，故D正确.故选：BD.10．BC【分析】直接由特殊值（）求得，及判断AD，并验证BC选项，然后在斜率存在时，设其方程为，代入抛物线方程得出，由焦点弦长公式得判断C，利用计算后判断C．【详解】当时，，，，，A错；当斜率存在时，设直线方程为，代入抛物线方程得，，解得（负值舍去），焦点为，抛物线方程为，当与轴垂直时，，，可取，此时，，，，D错；，，，，而异号，所以，，B正确；，综上，，当轴时，取得最小值4，C正确，故选：BC．11．AC【分析】利用线面垂直的性质定理和判定定理证明选项A;利用空间向量的坐标运算证明线面位置关系求解选项B；利用空间向量的坐标运算求点到直线的距离求解选项C；利用间向量的坐标运算求解线面夹角的正弦值.【详解】对A，连接，则因为E，F分别为PD，PB的中点，所以,因为平面ABCD，平面ABCD，所以,且平面，所以平面，则平面，A正确；对B，因为平面ABCD，平面ABCD，所以,且,所以以为轴建立空间直角坐标系，如图，设平面的一个法向量为，则有令，则，所以，因为，所以与平面EFC不平行，B错误；对C，设到直线的距离为，则，所以，C正确；设AC与平面EFC的所成角为，,所以，D错误；故选:AC.12．BCD【分析】由题意，利用垂直关系求椭圆的上顶点即求，再利用关系求椭圆的标准方程；利用椭圆的定义和余弦定理联立方程组得，再利用三角形面积公式即可判断A选项；利用椭圆的定义将的最大值转化为的最大值问题，当点在线段的延长线时，的最大值为，进而判断B选项；由的方程与椭圆的方程得到一元二次方程，由韦达定理得系数与根的关系，再根据条件直线PN，QM联立方程组，从而求出它们交点的横坐标，即可判断C选项；由题意，可得直线是线段的垂直平分线，进而利用椭圆的定义可求的周长，即可判断D选项.【详解】因为过点作不与坐标轴垂直的直线l，所以设直线的方程为.因为当点P为椭圆C的上顶点时，直线l与直线垂直，所以，得，此时直线的方程为，椭圆C的上顶点为，即.由得，在椭圆中，所以.故椭圆C的标准方程为.对于A：由椭圆的定义得，取平方得，即①，由得，即②，由①②得，，即..故A选项错误；对于B：；当不共线时，根据三角形两边之差小于第三边，得到，当点在线段的延长线时，得到，所以，因此，故的最大值为，B选项正确；对于C：由题意，设直线的方程与椭圆有两个交点，所以，即，设两个交点，由韦达定理可得③，④；由点M，N在x轴上，其中（O为坐标原点），可得，直线的方程为：⑤，直线的方程为：⑥，把⑤代入⑥得，，即，化简得，把③④代入得，，即，得，故直线PN，QM的交点的横坐标为，C选项正确；对于D：设过椭圆的左焦点作直线l的垂线，垂足为，当点为椭圆的上顶点时，，此时为等边三角形，所以为线段的中点，进而可得为线段的垂直平分线，所以.因此，的周长等于.故的周长为，D选项为正确.故选：BCD.13．【分析】根据给定的双曲线求出渐近线的方程，再借助点到直线距离求出即可作答.【详解】双曲线的渐近线方程为，即，令的半焦距为c，由到渐近线的距离为，得，而，因此，所以该双曲线左焦点的坐标为.故答案为：14．【分析】根据公共弦直线方程的求解方法求解.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，所以圆心距，所以两圆相交，有公共弦，由，可得即为公共弦所在直线方程，故答案为：.15．【分析】先求向量的坐标，再利用向量的数量积坐标运算求夹角.【详解】由，，，则，则，所以向量与的夹角为.故答案为：.16．【分析】设，，切线方程为，由直线与抛物线相切求得，同理得，从而由得，然后计算即可得．【详解】设，，切线方程为，由得，，，即，，同理切线的斜率为，因为，所以，即，，故答案为：．17．(1)(2)【分析】（1）根据直线的垂直的充要条件求解；（2）由直线平行的条件求出，再检验后，根据平行线间距离公式求解.【详解】（1）因为，所以，解得.（2）因为,所以，解得或，当时，与平行，当时，与重合，不符合题意，故，此时，直线到的距离.18．(1)证明见解析，；(2)【分析】（1）根据给定的直线方程求出定点坐标即可.（2）确定定点与圆的位置关系，求出过定点的圆的直径斜率即可得解.【详解】（1）直线，由，得，显然无论取什么实数，直线都过点，所以直线过定点，点的坐标为.（2）由（1）知，点，显然点在圆内，而圆的圆心，由圆的性质知，当时，弦AB的长取最小值，又直线的斜率，所以.19．(1)(2)【分析】（1）设，代入椭圆方程相减得合中点坐标直线得斜率，从而得直线方程；（2）直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得，由弦长公式得弦长，再求得原点到直线的距离后可得三角形面积．【详解】（1），点在椭圆内部，设，则，由，得，，所以直线方程为，即；（2）由得，，，，又原点到直线的距离为，所以．20．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法证明线线垂直；（2）用空间向量法求二面角．【详解】（1）因为为中点，，所以，又平面平面，平面，所以平面，以为轴，过与平行的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，所以，即；（2）由（1），又，设平面的一个法向量是，则，取，则，，即，设平面的一个法向量是，则，取，得，又，所以，，所以平面与平面的夹角的余弦值为．21．(1)(2)【分析】（1）根据双曲线经过的点和渐近线方程列方程求解；（2）将直线的倾斜角互补转化为，再利用韦达定理求解.【详解】（1）若双曲线焦点在轴上，设方程为，则有，解得，所以双曲线方程为；若双曲线焦点在轴上，设方程为，则有，无解；综