【浅析解析函数的收敛性质5500字（论文）】

浅析解析函数的收敛性质目录TOC\o"1-2"\h\u20070解析函数的收敛性质 1261851.解析函数 1217431.1复变函数的导数与微分 170401.2解析函数及其简单性质 3122741.3柯西-黎曼方程下的解析函数 46944变为 5320532.解析函数项级数 7【摘要】解析函数是一类特殊的函数,它是多项式的推广，有其独特的性质,特别是它的收敛性与数学分析研究的函数的收敛性不同，本课题研究解析函数的各种收敛性，并与数学分析的各种收敛性质进行比较.【关键词】解析函数收敛内闭一致收敛内闭一致有界解析函数在复变函数论里，它主要是在研究解析函数的相关性质和具体的应用，我们发现它是一种具有某种特性的可微函数.开始学习时，我们会探究柯西-黎曼方程，并且将其用来判断函数的可微性、解析性…；接下来，我们会将实数域内所熟知的初等函数逐步进行推广，尤其是它们在复数域上的各种性质的研究.关于导数的定义，复变函数与数学分析中给出了相近意义的定义.由此，关于在复变函数论的求导运算的基本公式中，基本上都可以由微分学中的公式直接得到，也就是适用于微分学的求导公式同样适用于复变函数论的解析函数上.复变函数的导数与微分定义1设函数w=fz在区域D(点∆w如果当z采取任意方式趋近，则∆z按任意方式趋于零，∆w∆z的极限是实在的，同时该值还是有限的，则称这样形式的极限是函数fzf'(z这时称在点z0处函数可导和导数的情形进行了比较，复变函数关于微分的定义，形式上与实变函数在微分上的定义偏差不大，是一致的.设函数w=fz.，从而，∆w=.称是关于在点处的微分，记为dw或dfz,此时也可称fz在点z.dw=f'z∆z.特别，当.于是（2）式变化成dw=ff'由上可知：fz在点z可微可以说是fz在点z在上，函数关于点是可微的，由此可得到函数关于点是连续的，如果将可微和连续换个顺序结论就不一定成立了.所以,我们可以知道函数的可微是函数连续的充分不必要条件条件.然而在复变函数范围内，处处连续又确定处处不可微的函数就比在实变函数范围内常见多了，例如及Z，…关于在实变函数范围内进行比较，这种函数不在时简单的条件就可以存在的了。.试证：函数，且ddzzn=证明:设z是随意固定的点，我们有.解析函数及其简单性质定义2如果函数w=fz在D内，则有函数fz是区域D内的或叫做fz在D内，从定义角度出发：区域D内的函数fz通常是与同时存在的，不能区域而单独谈.同时，我们通常所说的函数fz在（指fz在该点的内）；说函数fz在D上，其意义是指fz在包含定义3若函数fz在点z0不，并不是z0的内fz的都不，而是在z0的内总有f例如，w=1z在z平面以z=0通常指代的的是允许存在的，并不存在一个在没有的，它在上必有，所以像z这种处处的函数不在此列.是研究的，它又存在很多性质.如，函数在一点所在的（注意，只是在该点的范围内！）由此可知其各阶也会在该，并且由此可以展成.这种规律在的上是绝对不可能存在的，是因为关于的性质并不具有关于所具有的特性，甚至不可能由.例2设函数fzf=20=40对于实变复值函数zt=xt+iytz't柯西-黎曼方程下的解析函数若复变元z=x+iy定义在区域D的函数为w=fz=ux,y+ivx,y，且是由二元实变函数ux,y及vx,y来确定具体大小的的.通常情况下，若函数ux,y及vx,y对x与y的所有都，则函数ux,y、vx,y，具有这样特点的函数f若fz=ux,ylim∆z→0f∆u=ux+∆变为lim∆x→0,∆y∆z=∆x+i∆y无论选择什么方式向原点时，（4）式总是成立的.先设∆x→0,∆y=0，即变成z+∆z沿的方向向点z，此时（4lim于是知∂u∂u∂x+相似地，设∆x=0,∆y→0,即变点z+∆z沿的方向向点z逼近，此时（4−i故知∂u∂y−i∂u比较(5)和（6）得出∂u∂x=∂v∂y,∂u∂y=−∂v∂x,这是关于定理1（）设函数fz=ux,y+iv(x,y)在内有定义，则在内一点可微的是ux,y，vx,y在点x,y关于定理2设在区域D内ux,y，vx,y有，则定理3ux,y，vx定理4函数fz=uxux，ux,y，vx,y在点x,y例3讨论函数fz解：因ux,yu所以uy=0=−vx，若要满足2x=ux=vy=−1,必须存在x=12.由上可知只有在x=12上，C.-R.解析函数项级数由解析函数而组成的级数称之为解析函数项级数，是级数组成部分里面一类特殊的函数项级数.对于解析函数列，是否收敛重要，但更重要的是整体性质和它的极限函数所具有性质的探究.例如：如果解析函数序列fnz的每一项都具有某种性质，由，是否可以直接确定它的极限函数、导函数也拥有相同的性质.关于这一问题的研究，仅仅只是解析函数列关于数集收敛是不够的，单纯的收敛不能解决问题，需要添加其他的附加条件.比如：一致收敛的解析函数列的极限仍是一个解析函数，我们应该如何对这一序列的极限函数在区域内加以考虑.关于逐项求导，函数项级数所需要的远远要比解析函数项级数所需要的条件更为严苛一些.同时在复分析里，魏尔斯特拉斯定理对此有相应的介绍.定理1设是定义域内的解析函数，序列在域内收敛于极限函数,而且在任意紧致子集上一致收敛，那么必在内解析，并且在任意紧致子集上一致收敛于.REF_Ref19675\r\h[9]这一定理在解析函数项级数中的运用具有重要意义，可以将上述定理简单表述成：若级数的每一项都是解析函数，并且这一级数在域的每个紧致子集上一致收敛，则在上一定收敛，且级数可以逐项微分.定理2设（1）函数在区域D内解析；（2）n=1∞fn(z则函数f(z)f(p)n=1∞fnpz幂级数是最简单的一类解析函数项级数，它可以看作是在一个圆形状的范围内收敛，十分规则，便于性质的探究.除了理论外，它的应用同样也具有十分重要的价值，同时阿贝尔（Abel）定理为它性质的研究提供了可行方向.形如n=0∞cn的复函数项级数佳作幂级数，其中.若用替换进行变形，则以上还可以表示成如下（把依旧写作）:n=0定理3若在某点z1（≠a)幂级数（1）是收敛的，则（1）式在区域（以为圆心，为半径的圆形范围）内一定是绝对收敛并且且内闭一致收敛.证：设z是所述圆K内的任意，因为n=0∞cn(z1−a)ncn这样一来，即有cn注意到z−为.因而n=0∞cn(其次，对K内任一闭圆Kρ：cn故n=0∞cn(z−a)n在由可得，此级数在圆K内.内闭一致收敛的解析函数列，具有很多重要性质.比如：内闭一致收敛的解析函数列的极限函数仍是极限函数，导函数也具有相同的性质-内闭一致收敛…然而在实际有关解析函数列的问题中，我们可以将内闭一致收敛条件进行弱化，条件改为内闭一致有界，同样也可以得到理想的结果.下面做了相关讨论：定义1定义在区域D上的fnz,对E⊂D,如果有常数M>0,使对一切自然数n及z∈E,都适合fn(z)<M定义2设fnz(n∈N)是D内的,如果它在D内的任一紧集E上是(即对于任意紧集E⊂D,都存在一个与E有关的M,使得fnz≤M对于一切n和E的z恒成立),则称fn(z)在D；如果fnz在D定义3定义在点集E上的函数列fnz,如果任给ε>0存在δ>0,对任意的z1,z2∈E,只要z1−z2<δ,就有fnz1−fn(z2)<ε,则称fnz在E上是等度连续.(等度连续：定义在集E上的函数列fnz,如果对任意给定的ε>0,均存在δ(ε)>0,当定义4若区域D内的解析函数列fnzn∈z在D内的E上fnz定理4设解析函数列在区域上内闭一致有界,则它在上.REF_Ref12227\r\h[4]证明：:对任一闭集E⊂D,记d=minz'1−z'2,其中,的边界,取闭曲线γ,使γ所围区域G⊂由Cauchy积分公式:，有,上述中.对任意ε>0，存在δ=mind4,dε4M.当z1−定理5若解析函数列内闭一直有界，它的导函数具有形同的性质.REF_Ref12227\r\h[4]证明：:设对任意闭集E⊂D,取闭曲线C,使C所围区域G⊂D,且E⊂G.由Cauchy积分公式:fn'z=12πicfn(ξ)ξ−z2dξz∈E;n=1,2,⋯又因为fn(z)在C上一致有界，所以存在常数M>0,定理6收敛的内闭一致有界的解析函数列，一定是内闭一致收敛的.REF_Ref12227\r\h[4]证明：:设对任意闭集E⊂D,根据有限覆盖定理将有有限个半径为r的圆域kj:z−zj<r,r覆盖住E,且使kj⊂Dj=1,2,⋯,p,对任z∈D,必有kj,使z∈kfn当取N=max⁡(N1,Nf又由定理1知fn(z)在E上内闭等度连续.所以当f于是只要r<δ就有∀ε>0，∃Nεfn所以fn(z)在参考文献钟玉泉，复变函数论，第四版，北京，高等教育出版社，2013，08.华东师范大学数学系，数学分析下，第四版，北京，高等教育出版社，2010.06.刘江蓉,浅论函数列的一致收敛性[J].高等数学研究,2009,49-50,49-50.杨景飞,关于一类解析函数列的定理及其证明[J].成都理工大学学报(自然科学版),2007,108-1