湖北省荆州市2023年中考数学试题（附真题答案）

湖北省荆州市2023年中考数学试卷一、选择题（本大题共有10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）1．在实数－1，，，3.14中，无理数是（）A．－1 B． C． D．3.14B【解析】【解答】解：-1、、3.14为有理数，为无理数.

故答案为：B.

2．下列各式运算正确的是（）A． B．C． D．A【解析】【解答】解：A、3a2b3-2a2b3=a2b3，故正确；

B、a2·a3=a5，故错误；

C、a6÷a2=a4，故错误；

D、(a2)3=a6，故错误.

故答案为：A.

3．观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（）A．主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形B．左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形C．俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形D．主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形C【解析】【解答】解：主视图、左视图为轴对称图形，不是中心对称图形；俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形.

故答案为：C.

4．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A)与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（)．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（）A． B．C． D．D【解析】【解答】解：∵I=，

∴I与R为反比例函数关系，且图象位于第一象限.

故答案为：D.

5．已知，则与最接近的整数为（）A．2 B．3 C．4 D．5B【解析】【解答】解：k==·(5-3)=.

∵()2=8，32=9，42=16，且|-3|<|-4|，

∴与k最接近的整数为3.

故答案为：B.

，然后计算出各个数据的平方，据此进行判断.6．为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，x10，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（）A．这组数据的平均数 B．这组数据的方差C．这组数据的众数 D．这组数据的中位数B【解析】【解答】解：方差能反映数据的波动情况，故可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是方差.

故答案为：B.

7．如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，，则图中∠G的度数是（）A． B． C． D．C【解析】【解答】解：延长AB交EG于点M，延长CD交FG于点N，过K作GK∥AB，则GK∥AB∥CD，

∴∠KGM=∠EMB，∠KGN=∠DNF，

∴∠KGM+∠KGN=∠EMB+∠DNF，

∴∠EGF=∠EMB+∠DNF.

∵∠ABE=80°，∠E=47°，

∴∠EMB=∠ABE-∠E=33°.

同理可得∠DNF=33°，

∴∠EGF=∠KGM+∠KGN=∠EMB+∠DNF=33°+33°=66°.

故答案为：C.

∠KGM=∠EMB，∠KGN=∠DNF，则∠EGF=∠EMB+∠DNF，根据外角的性质可得∠EMB、∠DNF的度数，据此计算.8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（）A． B．C． D．A【解析】【解答】解：∵用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺，

∴y=x+4.5.

∵将绳子对折再量木条，木条余1尺，

∴0.5y=x-1，

∴方程组为.

故答案为：A.

用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺可得y=x+4.5；根据将绳子对折再量木条，木条余1尺可得0.5y=x-1，联立即可得到方程组.9．如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（）A．（2，5） B．（3，5）C．（5，2） D．（，2）C【解析】【解答】解：y=x+3，令x=0，得y=3；令y=0，得x=2，

∴A（2，0），B（0，3），

∴OA=2，OB=3.

由旋转的性质可得AC=OA=2，CD=OB=3，

∴OD=OA+CD=2+3=5，

∴D（3，2）.

故答案为：C.

10．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点，OB⊥AC于D.若AC=m，BD=150m，则的长为（）A．m B．m C．m D．mB【解析】【解答】解：∵OB⊥AC，AC=，

∴AD=AC=.

设OB=r，则OD=r-150.

∵OD2+AD2=OA2，

∴(r-150.)2+()2=r2，

解得r=300，

∴sin∠AOD=，

∴∠AOD=60°，

∴∠AOC=2∠AOB=120°，

∴的长为=200π.

故答案为：B.

AD=AC=，设OB=r，则OD=r-150，在Rt△AOD中，利用勾股定理可得r的值，然后求出sin∠AOD的值，得到∠AOD的度数，进而求出∠AOC的度数，然后由弧长公式进行计算.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．若，则=．2【解析】【解答】解：∵|a-1|+(b-3)2=0，

∴a-1=0，b-3=0，

∴a=1，b=3，

∴a+b=4，

∴=2.

故答案为：2.

12．如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若，，则DE=．3【解析】【解答】解：∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，

∴CD=AD=BD.

∵E为AC的中点，

∴AE=CE，DE⊥AC.

∵AC=8，

∴AE=CE=4.

∵CE=4，CD=5，CE2+DE2=CD2，

∴DE==3.

故答案为：3.

CD=AD=BD，根据等腰三角形的性质可得AE=CE=4，DE⊥AC，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理进行计算.13．某校为了解学生对A，B，C，D四类运动的参与情况，随机调查了本校80名学生，让他们从中选择参与最多的一类，得到对应的人数分别是30，20，18，12．若该校有800名学生，则估计有人参与A类运动最多．300【解析】【解答】解：×800=300.

故答案为：300.

14．如图，∠AOB=60o，点C在OB上，OC=，P为∠AOB内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为．1【解析】【解答】解：设AP的延长线与OB交于点E.

由作图可得PE垂直平分OC，OP为∠AOB的平分线，则P到OA的距离等于P到OB的距离，

∴OE=OC=.

∵∠AOB=60°，

∴∠POC=30°，

∴PE=OE·tan30°=×=1，

∴P到OA的距离为1.

故答案为：1.

OC=，由角平分线的概念可得∠POC=30°，利用三角函数的概念可得PE，据此解答.15．如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30o，底部C的俯角为60o，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为m．（，结果精确到0.1）13.8【解析】【解答】解：∵∠BAD=30°，AD=6，

∴BD=AD·tan30°=6×=.

∵∠DAC=60°，AD=6，

∴CD=AD·tan60°=，

∴BC=BD+CD=+=≈13.8.

故答案为：13.8.

16．如图，点A（2，2）在双曲线上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C.若BC=2，则点C的坐标是．（，）【解析】【解答】解：∵A（2，2）在y=上，

∴k=4，

∴y=.

作AD⊥x轴，CH⊥x轴，BG⊥CH，

∵A（2，2），

∴AD=OD，

∴∠AOD=45°.

∵OA∥BC，

∴∠CBG=45°，

∴∠CBG=∠BCG.

∵BC=2，

∴BG=CG=，

∴点C的横坐标为.

将x=代入y=中可得y=，

∴C（，）.

故答案为：（，）.

中可得k的值，据此可得反比例函数的解析式，作AD⊥x轴，CH⊥x轴，BG⊥CH，由点A的坐标可得AD=OD，则∠AOD=45°，根据平移的性质以及平行线的性质可得∠CBG=45°，则BG=CG=，将x=代入y=中求出y的值，据此可得点C的坐标.三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17．先化简，再求值：，其中解：原式===原式=.【解析】18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）当时，用配方法解方程．（1）解：依题意得：（2）解：当k=1时，原方程变为：，则有：【解析】△=b2-4ac>0，代入求解可得k的范围；

（2）当k=1时，方程为x2-6x-5=0，然后利用配方法进行求解.19．如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD=CE．证明：如图，

BD为等边△ABC的中线

，

BD=DE⸫∠E=∠3=CD=CE【解析】20．首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）．组别身高分组人数A155≤x＜1603B160≤x＜1652C165≤x＜170mD170≤x＜1755E175≤x＜1804根据以上信息回答：（1）这次被调查身高的志愿者有人，表中的，扇形统计图中α的度数是；（2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．（1）20；6；54°（2）解：画树状图为：共有12种等可能结果，其中抽中两名女志愿者的结果有2种P（抽中两名女志愿者）=.【解析】【解答】解：（1）由扇形统计图可得A、B、D、E所占的比例之和为1-30%=70%，

由条形统计图可得A、B、D、E的人数之和为3+2+5+4=14，

∴这次被调查身高的志愿者有14÷70%=20人，m=20-14=6，

扇形统计图中α的度数为3÷20×360°=54°.

故答案为：20、6.

（2）画出树状图，找出总情况数以及抽中两名女志愿者的情况数，然后利用概率公式进行计算.21．如图，在菱形ABCD中，于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF．（1）求证：①CD是⊙O的切线；②△DEF∽△DBA；（2）若AB=5，DB=6，求．（1）证明：①四边形ABCD是菱形AB∥CDDH⊥AB∠CDH=∠DHA=，则CD⊥OD又D为⊙O的半径的外端点CD是⊙O的切线.②连接HF，则有：∠DEF=∠DHFDH为⊙O直径，∠DFH=，而∠DHB=∠DHF=∠DBA=∠DEF又∠EDF=∠BDA△DEF∽△DBA.（2）解：连接AC交BD于G.菱形ABCD，BD=6，AC⊥BD，AG=GC，DG=GB=3在Rt△AGB中，AG==4AC=2AG=8，在Rt△ADH中，由△DEF∽△DBA得：【解析】①由菱形的性质可得AB∥CD，由已知条件可知DH⊥AB，根据平行线的性质可得∠CDH=∠DHA=90°，据此证明；

②连接HF，由圆周角定理可得∠DEF=∠DHF，∠DFH=90°，进而推出∠DHF=∠DBA=∠DEF，然后由相似三角形的判定定理进行证明；

（2）连接AC交BD于G，由菱形的性质可得AC⊥BD，AG=GC，DG=GB=3，由勾股定理可得AG，然后求出AC，由菱形的面积公式可得DH的值，由相似三角形的性质可得∠DFE=∠DAH，然后利用三角函数的概念进行计算.22．荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，①求x的取值范围；②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．（1）解：设A种饰品每件的进价为元，则B种饰品每件的进价为由题意得：解得：经检验，是所列方程的根，且符合题意.A种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元（2）解：①根据题意得：解得：购进A种饰品件数的取值范围为：②设采购A种饰品件时的总利润为元.当时，即，随的增大而减小. 当时，有最大值3480.当时，整理得：3>0，随的增大而增大.当时，有最大值3630.，w的最大值为3630，此时.即当采购A种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元.【解析】1400元采购A种的件数为，630元采购B种件数为，然后根据1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍建立方程，求解即可；

（2）①由题意可得：采购B种(600-x)件，根据采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍可得关于x的不等式组，联立即可求出x的范围；

②设采购A种饰品x件时的总利润为W元，当120≤x≤150时，根据售价×总件数-A的进价×件数-B的进价×件数=总利润可得W与x的关系式，然后利用一次函数的性质进行解答；当150<x≤210时，根据售价×总件数-[A的进价×150+A的进价÷60%×(x-150)]-B的进价×件数=总利润可得W与x的关系式，然后利用一次函数的性质进行解答.23．如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．（1）如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；（2）如图3，在Rt△APC中，∠A=90°，，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP：PB=1：2，BF=k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．（1）解：作图（2）解：①△PCF是等腰直角三角形.理由为：如图，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于N.由折叠得AC=CM，∠CMP=∠CME=∠A=90o，∠1=∠2AC=AB，∠A=∠PBD=∠N=90o四边形ABNC为正方形CN=AC=CM又CE=CERt△CME≌Rt△CNE（HL）∠3=∠4而∠1+∠2+∠3+∠4=90o，∠CPF=90o∠PCF=∠2+∠3=∠CFP=45o△PCF是等腰直角三角形.②过点F作FQ⊥BE于Q，FR⊥PB交PB的延长线于R，则∠R=∠A=90o.∠1+∠5=∠5+∠6=90o∠1=∠6由△PCF是等腰直角三角形知：PC=PF△APC≌△RFP（AAS）AP=FR，AC=PR，而AC=ABAP=BR=FR在Rt△BRF中，BR2+FR2=BF2，BF=kAP=BR=FR=kPB=2AP=2kAB=AP+PB=BN=3k由BR=FR，∠QBR=∠R=∠FQB=90o知：四边形BRFQ为正方形，BQ=QF=k由FQ⊥BN，CN⊥BN得：FQ//CN，而QE=BN-NE-BQ=3k-NE-k=2k-NE即，解得：NE=由①知：PM=AP=k，ME=NE=PE=PM+ME=.【解析】

（2）①过点C作CN⊥BE交BE的延长线于N，由折叠得AC=CM，∠CMP=∠CME=∠A=90o，∠1=∠2，易得四边形ABNC为正方形，则CN=AC=CM，利用HL证明Rt△CME≌Rt△CNE，得到∠3=∠4，进而得到∠PCF=∠2+∠3=∠CFP=45°，据此判断；

②过点F作FQ⊥BE于Q，FR⊥PB交PB的延长线于R，则∠R=∠A=90°，由同角的余角相等可得∠1=∠6，由等腰直角三角形的性质可得：PC=PF，利用AAS证明△APC≌△RFP，得到AP=FR，AC=PR，进而推出AP=BR=FR，由勾股定理可得BF=k，则AP=BR=FR=k，PB=2AP=2k，AB=AP+PB=BN=3k，易得四边形BRFQ为正方形，则BQ=QF=k，根据平行线分线段成比例的性质可得，表示出NE，由①知：PM=AP=k，ME=NE=k，然后根据PE=PM+ME进行计算.24．已知：y关于x的函数．（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则a的值是；（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（-2，0），B（4，0），并与动直线l：交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为，△CDE的面积为．①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；②探究直线l在运动过程中，－是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．（1）0或2或（2）解：①如图，设直线l与BC交于点F.依题意得：，解得：抛物线的解析式为：y=.可知P(1，9)，C(0，8).由B(4，0)，C(0，8)得直线BC的解析式为F(1，6），则PF=9-6=3②－存在最大值，理由如下：如图，设直线交轴于H.由①得：OB=4，AO=2，AB=6，OC=8，AH=2+m