必修2《点、线、面之间的位置关系2》师用

必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》§直线与平面平行的判定【知识要点】1．定义：直线和平面没有公共点，那么直线和平面平行.2．判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．符号表示为：．图形如右图所示.【例题精讲】【例题1】P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC．证明：设PC的中点为G，连接EG、FG.∵F为PD中点，∴GF∥CD且GF=CD.∵AB∥CD，AB=CD，E为AB中点，∴GF∥AE，GF=AE，四边形AEGF为平行四边形.∴EG∥AF，又∵AF平面PEC，EG平面PEC，∴AF∥平面PEC.【例题2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BB1D1D．证明：连接AC交BD于O，连接OE，那么OE∥DC，OE=DC.∵DC∥D1C1，DC=D1C1，F为D1C1的中点，∴OE∥D1F，OE=D1F，四边形D1FEO为平行四边形.∴EF∥D1O．又∵EF平面BB1D1D，D1O平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.GMFEDCBA【例题3】如图，、、、分别是四面体的棱、、、的中点，求证：∥平面．GMFEDCBA证明：如右图，连结，交于点，连结，在中，、分别是、中点，∴，∵为中点，∴为中点，在中，∵、为、中点，∴，又∵平面，平面，∴∥平面.点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和直线平行就可以了．注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用.【例题4】如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．〔1〕求证：MN//平面PAD；〔2〕假设，，求异面直线PA与MN所成的角的大小.解：〔1〕取PD的中点H，连接AH，由N是PC的中点，∴NH．由M是AB的中点，∴NHAM，即AMNH为平行四边形.∴．由，∴.〔2〕连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，∴OMBC，ONPA，所以就是异面直线PA与MN所成的角，且MO⊥NO.由，，得OM=2，ON=所以，即异面直线PA与MN成30°的角点评：中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行．求两条异面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得.【根底达标】1．直线、，平面α，∥，∥α，那么与平面α的关系是〔〕A．∥αB．αC．∥α或αD．与α相交【C】2．以下说法〔其中a，b表示直线，表示平面〕①假设a∥b，b，那么a∥；②假设a∥，b∥，那么a∥b；③假设a∥b，b∥，那么a∥；④假设a∥，b，那么a∥b．其中正确说法的个数是〔〕 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【A】3．a，b是两条相交直线，a∥，那么b与的位置关系是〔〕A．b∥B．b与相交C．bαD．b∥或b与相交【D】4．如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，那么直线AB和平面的位置关系一定是〔〕A．平行 B．相交C．平行或相交D．AB【C】5．如果点M是两条异面直线外的一点，那么过点M且与a，b都平行的平面〔〕A．只有一个 B．恰有两个 C．或没有，或只有一个 D．有无数个【A】6．P是正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意一点，那么在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的是．DC、D1C1、A1B17．过三棱锥A-BCD的棱AB、BC、CD的中点M、N、P作平面MNP，三棱锥的六条棱中与平面MNP平行的是；假设AC与BD成90°角，AC=6，BD=8，那么截面四边形的面积是．BD、AC；12.【能力提高】DCBEA8．平面与△ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，求证：DCBEA证明：在⊿ABC中，∵AD∶DB=AE∶EC，∴.又∵，∴.9．P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点．〔1〕求证：EO∥平面PCD；〔2〕图中EO还与哪个平面平行?解：〔1〕证明：∵在平行四边形ABCD中，O为AC，BD的交点，∴O为BD的中点．又∵在△PBD中，E为PB的中点，∴EO//PD．∵，∴EO∥平面PCD.〔2〕图中EO还与平面PAD平行.§平面与平面平行的判定【知识要点】面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：.【例题精讲】【例题1】如右图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.证明：连结B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD．又PN不在平面A1BD上，∴PN∥平面A1BD.同理，MN∥平面A1BD．又PN∩MN=N，∴平面PMN∥平面A1BD.【例题2】正方体ABCD—A1B1C1D1中．〔1〕求证：平面A1BD∥平面B1D1C；〔2〕假设E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．证明：〔1〕由B1BDD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C．同理A1D∥平面B1D1C．而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．〔2〕由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．【例题3】四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M、N、Q分别在PA、BD、PD上，且PM：MA=BN：ND=PQ：QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．NNMPDCQBA证明：PM：MA=BN：ND=PQ：QD．∴MQ//AD，NQ//BP，而BP平面PBC，NQ平面PBC，∴NQ//平面PBC.又ABCD为平行四边形，BC//AD，∴MQ//BC，而BC平面PBC，MQ平面PBC，∴MQ//平面PBC.由MQNQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理，∴平面MNQ∥平面PBC.点评：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行．一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.【例题4】直四棱柱中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、C1D1的中点．〔1〕求证：平面AMN∥平面EFDB；〔2〕求平面AMN与平面EFDB的距离．证：〔1〕连接，分别交MN、EF于P、Q．连接AC交BD于O，连接AP、OQ.由可得，∴.由可得，且.∴，∴．∴平面AMN∥平面EFDB.解：〔2〕过作平面AMN与平面EFDB的垂线，垂足为H、H’，易得.由，根据，那么，解得．所以，平面AMN与平面EFDB的距离为.点评：第〔1〕问证面面平行，转化途径为“线线平行→线面平行→面面平行”．第〔2〕问求面面距离，巧妙将中间两个平面的距离，转化为平面另一侧某点到平面距离的比例，然后利用等体积法求距离．等价转化的思想在此题中十分突出，我们可以用同样的转化思维，将此例中的两个平面的距离，转化为求点B到平面AB’C的距离.【根底达标】1．以下说法正确的选项是〔〕A．一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行B．平行于同一平面的两条直线平行C．如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行D．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行【D】2．在以下条件中，可判断平面α与β平行的是〔〕A．α、β都平行于直线lB．α内存在不共线的三点到β的距离相等C．l、m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β【D】3．以下说法正确的选项是〔〕A．垂直于同一条直线的两条直线平行B．平行于同一个平面的两条直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．平行于同一个平面的两个平面平行【D】4．经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作〔〕A．0个 B．1个 C．0个或1个 D．1个或2个【C】5．不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且Aα，那么〔〕A．α∥平面ABCB．△ABC中至少有一边平行于αC．△ABC中至多有两边平行于αD．△ABC中只可能有一条边与α平行【B】6．直线a、b，平面α、β，且a//b，a//α，α//β，那么直线b与平面β的位置关系为．直线b//平面β或直线b在平面β内7．a、b、c是三条不重合直线，、、是三个不重合的平面，以下说法中：⑴a∥c，b∥ca∥b；⑵a∥，b∥a∥b；⑶c∥，c∥∥；⑷∥，∥∥；⑸a∥c，∥ca∥；⑹a∥，∥a∥.其中正确的说法依次是．〔1〕、〔4〕.【能力提高】8．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q分别是棱A1A，A1B1，A1D1，CB，CC1，CD的中点，求证：平面EFG∥平面MNQ．证明：由EF∥AB1，AB1∥DC1，DC1∥QN，EF∥QN，同理FG∥MQ，所以，平面EFG∥平面MNQ.9．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，过M作MH⊥AB于H，求证：〔1〕平面MNH//平面BCE；〔2〕MN∥平面BCE.证明：〔1〕∵正方形ABCD中，MH⊥AB，∴那么MH∥BC，∴.连结NH，由BF=AC，FN=AM，得，∴NH//AF//BE.由MH//BC，NH//BE，∴平面MNH//平面BCE．〔2〕∵平面MNH，平面MNH//平面BCE，∴MN∥平面BCE.§直线与平面平行的性质【知识要点】β线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.即：.β【例题精讲】【例题1】经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：E1E∥B1B．证明：∵，∴.又，∴.那么.【例题2】如图，，，，，求证：.ββABCD证明：连结，∵，∴直线和可以确定一个平面，记为，∵，，∴，∵，，∴，又∵，∴四边形为平行四边形，∴.【例题3】如右图，平行四边形EFGH的分别在空间四边形ABCD各边上，求证：BD//平面EFGH.证明：∵，平面，平面，∴.又∵，，∴.又∵，，∴.点评：转化思维链是“由线线平行→线面平行→线线平行→线面平行”．此题属于教材〔必修②人教A版〕中第64页的3题的演变，同样还可证平面._b_a【例题4】直线∥平面α，直线∥平面β，平面α平面β=，求证．_b_a证明：经过作两个平面和，与平面α和β分别相交于直线和，∵∥平面α，∥平面β，∴∥，∥，∴∥，又∵平面β，平面β，∴∥平面β，又平面α，平面α∩平面β=，_b_a∴∥，∵∥，∴∥_b_a点评：利用公理4，寻求一条直线分别与a，b均平行，从而到达a∥b的目的，这里借用条件中的a∥α及a∥β来实现．证线线平行，可由公理4进行平行传递，也可以由线面平行的性质及后面的面面平行的性质得到线线平行．这里采用作辅助平面，利用线面平行的性质得到线线平行.【根底达标】1．直线l//平面α，m为平面α内任一直线，那么直线l与直线m的位置关系是〔〕A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面【D】2．梯形ABCD中AB//CD，AB平面α，CD平面α，那么直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是〔〕A．平行B．平行和异面C．平行和相交D．异面和相交【B】3．〔〕A．异面 B．相交 C．平行 D．不能确定【C】4．假设直线、b均平行于平面α，那么与b的关系是〔〕A．平行B．相交C．异面D．平行或相交或异面【D】5．l是过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，以下结论错误的选项是〔〕A．D1B1∥lB．BD//平面AD1B1C．l∥平面A1D1B1D．l⊥B1C1【D】6．正方体的棱长为1，点P是的面的中心，点Q是面的对角线上一点，且平面，那么线段的长为．7．设不同的直线a，b和不同的平面α，β，γ，给出以下四个说法：①a∥α，b∥α，那么a∥b；②a∥α，a∥β，那么α∥β；③α∥γ，β∥γ，那么α∥β；④a∥b，bα，那么a∥α．其中说法正确的序号依次是．③FDBCFDBCHGEA8．如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形．〔1〕求证：CD∥平面EFGH；〔2〕如果AB⊥CD，AB=a，CD=b是定值，求截面EFGH的面积.解：〔1〕证明：∵EFGH是平行四边形，∴EF//GH，又∵EF平面BDC，GH平面BDC，∴EH//平面BDC.∵EF平面ADC，平面ADC∩平面BDC=DC，∴EF//DC，∴CD∥平面EFGH.〔2〕截面EFGH的面积为.9．如右图，直线和是异面直线，，，，，求证：.AABCDMN证明：如图，连结交平面于点，连结、.，，∴.10．如以下图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.〔1〕求证：EM∥平面A1B1C1D1；〔2〕设截面A1BMN把该正四棱柱截成两个几何体的体积分别为V1、V2〔V1＜V2，求V1∶V2的值.解：〔1〕证明：设A1B1的中点为F，连结EF、FC1.∵E为A1B的中点，∴EFB1B．又C1MB1B，∴EFMC1.∴四边形EMC1F为平行四边形.∴EM∥FC1.∵EM平面A1B1C1D1，FC1平面A1B1C1D1，∴EM∥平面A1B1C1D1.〔2〕延长A1N与B1C1交于P，那么P∈平面A1BMN，且P∈平面BB1C1C.又∵平面A1BMN∩平面BB1C1C=BM，∴P∈BM，即直线A1N、B1C1、BM交于一点P.又∵平面MNC1∥平面BA1B1，∴几何体MNC1—BA1B1为棱台．∵S=·2a·a=a2，S=·a·a=a2，棱台MNC1—BA1B1的高为B1C1=2a，V1=·2a·〔a2++a2〕=a3，∴V2=2a·2a·a－a3=a3．∴=.§平面与平面平行的性质【知识要点】1．面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．用符号语言表示为：.2．其它性质：①；②；③夹在平行平面间的平行线段相等.【例题精讲】αβABCDMN【例题1】如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈αβABCDMN证明：连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE，那么ME∥AC，∴ME∥平面α，又NE∥BD，∴NE∥β，又ME∩NE=E，∴平面MEN∥平面α，∵MN平面MEN，∴MN∥α．【例题2】如图，A，B，C，D四点都在平面，β外，它们在内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在β内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形．证明：∵A，B，C，D四点在内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，∴A，B，C，D四点共面．又A，B，C，D四点在内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1．∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线．∴AB∥CD．同理AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形．【例题3】如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F、G是侧面对角线上的点，且，求证：平面EFG∥平面ABC.证明：作于P，连接PF．在正三棱柱ABC—A1B1C1的侧面中，易知，又，所以．∴，平面ABC.又∵，，∴，∴，那么平面ABC.∵，∴平面PEF//平面ABC.∵平面PEF，∴EF//平面ABC．同理，GF//平面ABC.∵，∴平面EFG//平面ABC.点评：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线，并抓住一些平面图形的几何性质，如比例线段等．此题通过巧作垂线，得到所作平面与底面平行，由性质易得线面平行，进而转化出待证的面面平行，突出了平行问题中转化思想.【例题4】如图，正方体中，面对角线，上分别有两点E、F，且．求证：EF∥平面ABCD.证明：过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN.∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN，∵AB1=BC1，B1E=C1F，∴AE=BF，又∠B1AB=∠C1BC=45°，∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM=FN．∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN．又MN平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．证法二：过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF，∴，，，∴，∴FG∥B1C1∥BC．又∵EG=G，ABBC=B，∴平面EFG∥平面ABCD．b又EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD．点评：在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平行问题的证明，紧紧抓住“线线平行线面平行面面平行”之间的互相转化而完成证明．【根底达标】1．以下说法正确的选项是〔〕A．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行【C】2．∥，那么在内过点B的所有直线中〔〕A．不一定存在与平行的直线B．只有两条与平行的直线C．存在无数条与平行的直线D．存在唯一一条与平行的直线【D】3．以下说法正确的选项是〔〕A．直线外一点有且只有一个平面与直线平行B．经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行C．经过平面外一点有且只有一条直线与平面平行D．经过平面外一点有且只有一个平面与平面平行【D】4．在正方体中，以下四对截面中，彼此平行的一对截面是〔〕A．B．C．D．【B】5．平面平面，是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且，，，那么的长为〔〕A.B．或C．D．【B】6．平面α∥β，，有以下说法：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．其中正确的序号依次是．②7．设平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，假设AS=18，BS=9，CD=34，那么SC=__．68或【能力提高】8．如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，且A、C∈α，B、D∈β，AC⊥BD，AC=6，BD=8．M是AB的中点，过点M作一个平面γ，交CD与N，且，求线段MN的长．αβABCDMN解：连接BC，与平面γ交于点EαβABCDMN易知平面MEN//平面α，平面MEN//平面β.由于平面ABC、平面BDC分别与三个平行平面相交，所以，ME//AC，EN//BD.∵M是AB的中点，∴E、N分别是BC、CD的中点.∴，，又∵AC⊥BD，∴ME⊥EN，所以.§直线与平面垂直的判定【知识要点】1．定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线与平面互相垂直，记作．：平面的垂线，：直线的垂面，它们的唯一公共点叫做垂足.〔线线垂直线面垂直〕2．判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直．符号语言表示为：假设⊥，⊥，∩＝B，，，那么⊥3．斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角．求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作〔作出线面角〕→证〔证所作为所求〕→求〔解直角三角形〕”．通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.【例题精讲】【例题1】棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值.解：取CD的中点F，连接EF交平面于O，连AO.由正方体，易知平面，所以为所求.在中，，，.所以直线AE与平面所成的角的正弦值为.【例题2】三棱锥中，，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的垂心.证明：连接OA、OB、OC，∵平面ABC，∴.又∵，∴，得，∴O为底面△ABC的垂心.点评：此例可以变式为“，求证”，其思路是接着利用射影是垂心的结论得到后进行证明．三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出._C_B_A【例题3】，斜边BC//平面，AB，AC分别与平面成30°和45°的角，BC=6，求BC到平面的距离._C_B_A解：作于，于，那么由，得，且就是BC到平面的距离，设，连结，那么，∴，在中，，∴，∴，即BC到平面的距离为．点评：由直线与平面的平行，直接作平面的垂线段即为线面距离．此题通过两条垂线段把所的线面角同时作出，利用解直角三角形的知识和方程思想容易解决问题.【根底达标】1．假设三条直线OA，OB，OC两两垂直，那么直线OA垂直于〔〕A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC【C】2．假设直线平面，直线，那么〔〕A． B．l可能和m平行 C．l和m相交 D．l和m不相交G2FEG2FEG3G1S3．在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合为点G，那么有〔〕A．SG⊥面EFGB．EG⊥面SEFC．GF⊥面SEFD．SG⊥面SEF【A】4．直线a⊥直线b，b⊥平面，那么a与β的关系是〔 〕A．a⊥ B．a∥β C． D．a或a∥【D】5．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为〔〕A．90°B．60°C．45°D．30°【C】6．在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件时，有A1C⊥B1D1〔注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形〕．AC⊥BD7．设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下说法：①假设，，那么是垂心；②假设两两互相垂直，那么是垂心；③假设，是的中点，那么；④假设，那么是的外心.其中正确说法的序号依次是．①②③④【能力提高】8．如图，在正方体中，E是的中点，F是AC，BD的交点，求证：．证明：∵，∴.又∵，∴，得.取BC中点G，连结，∴.∵，∴.又∵正方形中，E，G分别为的中点，∴，∴，得．又∵，∴9．如图，是矩形，平面，，是线段上的点，是线段上的点，且．求直线与平面所成角的正弦值．解:平面，过作于，那么平面，连，那么为直线与平面所成的角.．在中，．∴．10．如图，平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，〔1〕证明：C1C⊥BD；〔2〕当的值为多少时，可使A1C⊥面C1BD?解：〔1〕证明：连结A1C1、AC，AC和BD交于点O，连结C1O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C是公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B=C1D∵DO=OB，∴C1O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C1O=O∴BD⊥平面AC1，又C1C平面AC1，∴C1C⊥BD.〔2〕由(1)知BD⊥平面AC1，∵A1O平面AC1，∴BD⊥A1C，当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC1⊥A1C，又∵BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD.§平面与平面垂直的判定【知识要点】1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角〔dihedralangle〕．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．记作二面角．〔简记〕2．二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线和，那么射线和构成的叫做二面角的平面角．范围：.3．定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．记作.4．判定：一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．〔线面垂直面面垂直〕【例题精讲】【例题1】正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.〔1〕求证：AP⊥EF；〔2〕求证：平面APE⊥平面APF.证明：〔1〕如右图，∵∠APE=∠APF=90°，PE∩PF=P，∴PA⊥平面PEF．∵EF平面PEF，∴PA⊥EF.〔2〕∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，∴PE⊥平面APF.又PE平面PAE，∴平面APE⊥平面APF.【例题2】如图，在空间四边形ABCD中，分别是的中点，求证：平面平面．证明：为AC中点，所以.同理可证∴面BGD．又易知EF//AC，那么面BGD.又因为面BEF，所以平面平面.【例题3】如图，在正方体中，E是的中点，求证：．证明：连接AC，交BD于F，连接，EF，，.由正方体，易得，，F是BD的中点，所以，得到是二面角的平面角.设正方体的棱长为2，那么，，.∴，即，所以.点评：要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角，这也是证两平面垂直的常用方法．此题由几何图形的特征，作出待证的两个垂直平面所成二面角的平面角是解决问题的关键．【例题4】正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2AB，D、E分别是侧棱BB1、CC1上的点，且EC=BC=2BD，过A、D、E作一截面，求：〔1〕截面与底面所成的角；〔2〕截面将三棱柱分成两局部的体积之比.解：〔1〕延长ED交CB延长线于F，，∴，.∵，∴为截面与底面所成二面角的平面角．在Rt△AEC中，EC=AC，故得∠EAC=45°.〔2〕设AB=a，那么，．∴.点评：截面问题的研究，需注意结合截面的性质．如何作出截面，是解决问题的关键，然后把截面的看成一个平面图形．求二面角时，抓住二面角的平面角定义〔两线垂棱〕，找出其平面角，解直角三角形．【根底达标】1．对于直线、和平面、，的一个条件是〔〕A．，，B．C．D．，，【C】2．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP=AB，那么平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是〔〕A．30° B．45° C．60° D．90°【B】3．在三棱锥A—BCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么〔〕A．平面ABD⊥平面ADCB．平面ABD⊥平面ABCC．平面BCD⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BCD【C】4．在直二面角棱AB上取一点P，过P分别在平面内作与棱成45°角的斜线PC、PD，那么∠CPD的大小是〔〕A．45° B．60° C．120°D．60°或120°【D】5．下面四个说法：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线和平面垂直；③垂直同一平面的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直．其中正确的说法个数是〔〕A.1B．2C．3D．4【C】6．E是正方形ABCD的AB边中点，将△ADE与△BCE沿DE、CE向上折起，使得A、B重合为点P，那么二面角D—PE—C的大小为．60°7．空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E是AC的中点，那么平面BDE与平面ABC的位置关系是．垂直【能力提高】8．如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于、．将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M．试求二面角的大小.解：连接AG、GM、A1G．∵G是正ΔABC的中心，M是BC的中点，∴A、G、M三点共线，且AG:GM=2:1，AM⊥BC.∵，∴，即，，∴为二面角的的平面角.∵M是点在平面上的射影，即平面，∴.在中，由，得.即二面角的大小是60°.9．如图，棱长为的正方体中，分别为棱和的中点，为棱的中点．求证：〔1〕平面；〔2〕平面平面．证明：〔1〕∵底面为正方形，∴，又，∴.∵，∴面，又∵、分别为、的中点，∴，∴平面.〔2〕∵为正方形，、分别为所在边的中点，∴，∴，∴，又平面，∴，又∵=，∴平面.又∵面，∴平面平面.10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．〔1〕求证：CD⊥PD；〔2〕求证：EF∥平面PAD；〔3〕当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD?解：〔1〕证明：∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD，CD⊥平面PAD．∴CD⊥PD.〔2〕证明：取CD中点G，连EG、FG，∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD．∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD.〔3〕当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD.证明：G为CD中点，那么EG⊥CD，由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角.即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP.由Rt△PAE≌Rt△CBE，得PE=CE．又F是PC的中点，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD.§线面、面面垂直的性质【知识要点】1．线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．〔线面垂直线线平行〕2．面面垂直性质定理：两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号语言表示为：假设，，，，那么.〔面面垂直线面垂直〕【例题精讲】【例题1】把直角三角板ABC的直角边BC放置于桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，假设斜边AB与a垂直，那么BC是否与a垂直?解：注：假设BC与a垂直，同理可得AB与a也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程表达了一种重要的数学转化思想方法：“线线垂直→线面垂直→线线垂直”.【例题2】如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．〔1〕求证：平面PAC⊥平面PBC；〔2〕假设D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．解：〔1〕证明：∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径，∴BC⊥AC.又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC．∵BC平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC.〔2〕平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD.【例题3】三棱锥中，，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的外心.证明：连接OA、OB、OC，∵平面ABC，∴.在△PAO、△PBO、△PCO中，，，PO边公共.∴．∴，所以，O为底面△ABC的外心.点评：假设三条侧棱与底面所成角相等时，即，按同样的方法“证全等”可以证出．上述结论对一般棱锥也成立，即棱锥的侧棱均相等或侧棱与底面所成的角均相等，那么顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.【例题4】三棱锥中，三个侧面与底面所成的二面角相等，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的内心.【证】作于D，于E，于F，连接OD、OE、OF.∵平面ABC，∴，.又∵，∴.得，∴为三个侧面与底面所成的二面角的平面角．即得，∵PO边公共，∴，得，又∵．∴O为底面△ABC的内心.点评：这里用到了证明垂直问题的转化思想，即“线线垂直→线面垂直→线线垂直”．上述结论对于一般棱锥也成立，即棱锥的各侧面与底面所成二面角均相等，或棱锥的顶点到底面各边的距离相等，那么顶点在底面上的射影为底面多边形的内切圆的圆心.【根底达标】1．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A、B的任一点，那么以下关系不正确的选项是〔〕A．PA⊥BCB．BC⊥平面PAC C．AC⊥PB D．PC⊥BC【C】2．在以下说法中，错误的选项是〔〕A．假设平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，那么α⊥βB．假设平面α内任一直线平行于平面β，那么α∥βC．假设平面α⊥平面β，任取直线lα，那么必有l⊥βD．假设平面α∥平面β，任取直线lα，那么必有l∥β【C】3．给出以下说法：①直线上有两点到平面的距离相等，那么此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线m⊥平面α，直线n⊥m，那么n∥α；④a、b是异面直线，那么存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等．其中正确的两个说法是〔〕A．①② B．②③ C．③④ D．②④【D】4．在中，，AB=8，，PC面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，那么PM的最小值为〔〕A．B．C．D．【A】5．m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有以下说法：①假设mα，n∥α，那么m∥n；②假设m∥α，m∥β，那么α∥β；③假设α∩β=n，m∥n，那么m∥α且m∥β；④假设m⊥α，m⊥β，那么α∥β.其中正确说法的个数是〔〕A．0B．1C．2D．3【B】6．两个平面垂直，给出以下一些说法：=1\*GB3①一个平面内直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；=2\*GB3②一个平面内的直线必垂直于另一个平面的无数条直线；=3\*GB3③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；=4\*GB3④过一个平面内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于另一个平面.其中正确的说法的序号依次是．②④7．P是△ABC所在平面α外一点，O是P在平面α内的射影．假设P到△ABC的三个顶点距离相等，那么O是△ABC的_______心；假设P到△ABC的三边的距离相等，那么O是△ABC的_______心；假设PA，PB，PC两两垂直，那么O是△ABC的_______心．外，内，垂【能力提高】8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．求证：〔1〕B1D⊥平面A1C1B；〔2〕B1D与平面A1C1B的交点设为O，那么点O是△A1C1B的垂心．证明：〔1〕连接B1D1，那么A1C1⊥B1D1．又有DD1⊥A1C1，∴A1C1⊥平面B1DD1，从而A1C1⊥B1D．同理可证：A1B⊥B1D．∴B1D⊥平面A1C1B．〔2〕连接BO，A1O，C1O．由BB1⊥A1C1，B1O⊥A1C1，得到A1C1⊥平面BB1O．∴A1C1⊥BO．同理，A1B⊥C1O，BC1⊥A1O．故点O是△A1C1B的垂心．9．如图，A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是AC中点.〔1〕证明：AB1∥平面DBC1；〔2〕假设AB1⊥BC1，BC＝2，求线段AB1在侧面B1BCC1上的射影长.解：〔1〕证明：由A1B1C1—ABC是三棱柱，∴四边形B1BCC1是矩形.连B1C与BC1交于E，那么E为B1C的中点，连DE，D是AC的中点.∴ED∥AB1，又ED平面BDC1，AB1平面BDC1，所以AB1∥平面BDC1.〔2〕解：作AF⊥BC，垂足为F．∵面ABC⊥面B1BCC1，∴AF⊥面B1BCC1.连B1F，那么B1F是AB1在平面B1BCC1内的射影.∵BC1⊥AB1，∴BC1⊥B1F．∵四边形B1BCC1是矩形，∴∠B1BF＝∠BCC1＝90°，又∠FB1B＝∠C1BC，∴△B1BF∽△BCC1．∴．又F为正三角形ABC的BC边的中点．因而B1B2＝BF·BC＝1×2＝2，于是B1F2＝B1B2＋BF2＝3∴B1F＝，即线段AB1在平面B1BCC1内的射影长为.10．在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.〔1〕假设D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；〔2〕过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，假设AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；〔3〕如果截面MBC1⊥平面BB1C1C，那么AM=MA1吗?请你表达判断理由.解：〔1〕证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C，∴AD⊥CC1.〔2〕证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1N.∵AM=MA1，∴NA1=A1B1．∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1．∴C1N⊥C1B1.∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C.∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C，∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.〔3〕过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C，∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面.∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE．∵CC1⊥AD，∴DE∥CC1.∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点．∴AM=DE=AA1，∴AM=MA1.第二章《点、线、面之间的位置关系》复习【例题精讲】【例题1】如图，在棱长为1的正方体中，M、N分别在其面的对角线A1B、AC上运动，且A1M=AN，求MN的最小值．解：设AN=，作NG⊥AB于G点，连MG．∵BC⊥AB，∴NG∥BC，又由A1M=AN可得MG⊥AB，∴MG∥B1B．由等角定理知∠MGN=∠B1BC=90°，∴NG=NA=，MG=BM=.∴MN2=NG2+MG2=.∴当=时，MN2有最小值，MN有最小值.【例题2】正三棱锥的体积为，侧面与底面所成的二面角的大小为.ABCP〔1〕证明：；〔2〕求底面中心到侧面的距离ABCP解：〔1〕证明：取边的中点，连接、，那么，，故平面．∴.〔2〕由题意可知点在上，．过点作为垂足，连接．∵平面，∴，又有，∴平面，即为点到侧面的距离.∵，，∴是侧面与底面所成二面角的平面角，即.设=，那么，，，.∴，由体积，解得，即底面中心到侧面的距离为3．点评：立体几何中的证明，我