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文档简介
《垂直于弦的直径》河图中学李国忠1.进一步认识圆,了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论,并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.(重点)3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.(难点)学习目标折一折:你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗?圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.导入新课在折的过程中你有何发现?讲授新课圆的对称轴一(1)圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?(2)你是怎么得出结论的?圆的对称性:用折叠的方法●O说一说圆是轴对称图形,任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.问题1:如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下:把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,点A与点B重合,AE与BE重合,AC和BC,AD与BD重合.⌒⌒⌒⌒·OABDEC垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵
CD是直径,CD⊥AB,∴
AE=BE,⌒⌒AC
=BC,⌒⌒AD=BD.推导格式:温馨提示:垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.归纳总结想一想:下列图形是否具备垂径定理的条件?如果不是,请说明为什么?是不是,因为没有垂直是不是,因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE垂径定理的几个基本图形:ABOCDEABOEDABO
DCABOC归纳总结问题2:你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?解:如图,用AB表示主桥拱,设AB所在圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D,与弧AB交于点C,则D是AB的中点,C是弧AB的中点,CD就是拱高.∴AB=37m,CD=7.23m.解得R≈27.3(m).即主桥拱半径约为27.3m.=18.52+(R-7.23)2
∴AD=AB=18.5m,OD=OC-CD=R-7.23.∴OA2=AD2+OD2
·OABDCP已知:在☉O中,CD是直径,AB是弦(不是直径),与CD交于点P,且P是AB的中点.求证:AB⊥CD,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.试一试证明:连接OA、OB,则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵P是AB的中点,∴AB⊥CD.∵CD是直径,CD⊥AB,∴⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.思考:“不是直径”这个条件能去掉吗?如果不能,请举出反例.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.垂径定理的推论·OABCD特别说明:圆的两条直径是互相平分的.归纳总结1.如图,OE⊥AB于E,若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=
cm.·OABE解析:连接OA,∵OE⊥AB,∴AB=2AE=16cm.16∴cm.课堂练习2
如图,
⊙
O的弦AB=8cm
,直径CE⊥AB于D,DC=2cm,求半径OC的长.·OABECD解:连接OA,∵
CE⊥AB于D,∴设OC=xcm,则OD=x-2,根据勾股定理,得解得x=5,即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2,3.如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证四边形ADOE是正方形.D·OABCE证明:∴四边形ADOE为矩形,又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.∵OE⊥ACOD⊥ABAB⊥AC垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(不是直径);④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论(“知二推三”)垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两条辅助线:连半径,作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形课堂小结1.已知⊙O中,弦AB=8cm,圆心到AB的距离为3cm,则此圆的半径为
.5cm·OABE课后作业2.已知:⊙O中弦AB∥CD,求证:AC=BD.⌒⌒.MCDABON证明:作直径MN⊥AB.∵AB∥CD,∴MN⊥CD.则AM=BM,CM=DM(垂直平分弦的直径平分弦所对的弧)
AM-CM=BM-DM∴AC=BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒
3.已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点。你认为AC和BD有什么关系?为什么?证明:过O作OE⊥AB,垂足为E,
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