第七章第三节(上)

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。PAGE第页/共页第七章统计量及其分布几个常用统计量的分布在数理统计学中，统计量是对样本举行分析研究的收拾和加工主意，目的是要由加工结果试图对样本所能反咉的总体的分布或数字特征举行判断。这首先需要知道这种统计量工具本身的性质和功能。因此求统计量的分布是数理统计的基本问题之一。普通地说，要决定一个随意总体的随意一个统计量确实切分布是异常复杂和艰难的。有些也是不常用、不需要的。但对于一些异常情形，如对正态总体的一些异常的统计量，决定其分布这样的问题就有容易的主意。因为正态总体是最常见的总体，所以在这里只研究正态总体的常用统计量的分布。正态总体样本的线性函数的分布统计量是样本的函数，常用最容易的函数固然是线性函数。设总体，是来自于的一个样本;(互相自立且与有相同分布,,)则样本的线性函数顺从正态分布，且它的数学期待和方差分离是,，由此可写出它的概率密度和分布函数，进而可算出需要求的概率问题。这里的是不全为零的常数,为常数。上述结论，在概率论中的多维随机变量部分里得到证实(用归纳法或特征函数法证实).异常地，当，,时,线性函数正巧是样本的均值，即顺从正态分布，且,(),()即.由此可见，的均值与总体的均值相等,而方差等于总体方差的分之一.这就是说,越大,越向总体均值扩散.还常常用到如下一些结果：,,,.二、分布上面研究了样本的一次函数的分布，下面将考虑样本的二次函数的分布。定理设互相自立，且都顺从，则随机变量的概率密度为,(7.3)我们称顺从自由度为的分布，记作.对形如，，的随机变量，求其分布函数和概率密度，我们是知道求法的。将这种求法推广到维情形。证实记的分布函数为。因为互相自立，且都顺从，所以的联合概率密度为,，因此，当时，；当时，有,为了计算上述积分，作变换此变换的雅可比行列式为其中是的函数，不包含变量。于是其中令,则因为,可得,代入前面的式子，可得上式两端对求导，即得式（7.3）.图7－1给出了当n＝1,4,10时，分布的密度函数曲线.显然分布函数在上郑重单增,()是一一对应.对于给定的正数，方程,存在唯一的解,即满意.定义对于给定的正数，使满意,的点，称为分布的（下侧）分位点。对于不同的及，的值可在附表四中查到。例如，对于，查得,即.当时，附表中没有列出，此时可用式求出的近似值。式中的是标准正态分布的分位点,.例1、设互相自立，且,（），则有.证因为互相自立且顺从正态分布，故，，…，亦互相自立，且顺从，由分布定义知.定理设总体，是来自于的一个样本,则有.例2设是取自正态总体的容易随机样本，且，若统计量顺从分布，求出的值，并求的自由度。解法一，令，，则。为使，必有，因而注重到，由分离得到。这时，自由度为2。解法二因为X～N(0,2)且互相自立，所以有～，～，故，。为使，必有，。与上面两个顺从标准正态分布的随机变量比较得，即。分布的性质:定理一若,则的数学期待和方差分离是,.证实由条件，知的概率密度为；由数学期待的定义，得,, 于是.设总体,是来自于的一个样本，其中已知，求、。解,,,,因为，所以,由定理一知,,于是.定理二若,，且与互相自立，则有.证设的分布密度为，则有，其中分离为和的概率密度，且,,当时，当时，有则令，，利用，即可得，由此可见，顺从自由度为的分布。定理三设互相自立，且都顺从，则有（1）与互相自立；(2),(7.4)这里的，,.考察一下时的情形，，，令，，，（这是正交变换）则有顺从二维正态分布，与的相关系数为0，与互相自立，从而得与互相自立；，，于是有。为了证实这个定理，我们首先建立下面的引理。引理设为互相自立，且都顺从分布的随机变量，是阶正交矩阵。令,(*)则也互相自立且都顺从正态分布。证实因为互相自立，且都顺从分布，因此具有密度函数，其中，。

（*）式所对应的函数变换是，从而，即，所以，，变换的雅可比行列式是，因为是正交矩阵，所以，由此得到具有密度函数，可见互相自立且都顺从正态分布。下面运用上面的引理来证实定理三。证实作出一个正交矩阵,(1)令,(2)即,(3)，i=2,3，…，n。由上面的引理知互相自立且都顺从正态分布。又，(4)而由正交性，当i=2,3,…，n时，有,（5）,(6)，按照（3）是及上式，有即，(7)在由（5）、（6）、（7）式得。由上面的证实知，互相自立，又由（3）、（7）式，有