2024年高考数学二轮复习第一篇核心专题突破专题四立体几何第4讲空间向量与距离、探究性问题

第一篇专题四第4讲一、单项选择题1.已知点P(5,3,6)，直线l过点A(2,3,1)，且一个方向向量为l＝(1,0，－1)，则点P到直线l的距离为(B)A．2eq\r(2) B．4eq\r(2)C．2eq\r(3) D．4eq\r(3)【解析】∵点P(5,3,6)，直线l过点A(2,3,1)，且一个方向向量为l＝(1,0，－1)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－3,0，－5)，∴cos〈l，eq\o(PA,\s\up6(→))〉＝eq\f(l·\o(PA,\s\up6(→)),|l|·|\o(PA,\s\up6(→))|)＝eq\f(－3＋5,\r(9＋25)·\r(2))＝eq\f(1,\r(17))，∴sin〈l，eq\o(PA,\s\up6(→))〉＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(17))))2)＝eq\f(4,\r(17))，∵|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝eq\r(34)，∴点P到直线l的距离为d＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|sin〈l，eq\o(PA,\s\up6(→))〉＝eq\r(34)·eq\f(4,\r(17))＝4eq\r(2).故选B.2.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，AB的中点，AB＝4，则MN与平面BCC1B1的距离为(C)A．4 B．2eq\r(2)C．2 D．eq\r(2)【解析】如图，连接C1B，则由长方体性质得MN∥BC1，又BC1⊂平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1.∴MN与平面BCC1B1的距离为N到平面BCC1B1的距离．又N到平面BCC1B1的距离为NB＝eq\f(1,2)AB＝2.∴MN与平面BCC1B1的距离为2，故选C.3.(2023·雁塔区校级三模)已知大小为60°的二面角α－l－β棱上有两点A，B，AC⊂α，AC⊥l，BD⊂β，BD⊥l，若AC＝3，BD＝3，AB＝2eq\r(10)，则CD的长为(C)A．22 B．49C．7 D．eq\r(21)【解析】过A作AE∥BD且AE＝BD，连接CE、DE，则四边形ABDE是平行四边形，因为BD⊥AB，所以平行四边形ABDE是矩形，因为BD⊥l，即AE⊥l，而AC⊥l，则∠CAE是二面角α－l－β的平面角，即∠CAE＝60°，因为BD＝AE＝AC＝3，即△ACE为正三角形，所以CE＝3，因为ED⊥AE，l⊥AC，即ED⊥AC，AE∩AC＝A，AE，AC⊂平面AEC，所以ED⊥平面AEC，因为EC⊂平面AEC，所以ED⊥EC，所以在Rt△EDC中，AB＝ED＝2eq\r(10)，所以，CD＝eq\r(CE2＋ED2)＝eq\r(32＋2\r(10)2)＝7.故选C.4.(2023·滁州模拟)《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1，AB＝AD＝2，则点A到平面PBD的距离为(B)A.eq\f(\r(2),3) B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(6),2) D．eq\f(\r(3),3)【解析】设A到平面PBD的距离为h，则三棱锥P－ABD的体积为eq\f(1,3)×S△ABD×PA＝eq\f(1,3)×S△PBD×h，即有eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(3)×h，∴h＝eq\f(\r(6),3).5.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱长为4，E为CD1的中点，则点A1到平面BDE的距离为(D)A.eq\f(3,2) B．2C．eq\f(9,4) D．eq\f(8,3)【解析】如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A1(2,0,4)，B(2,2,0)，E(0,1,2)，所以eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(2,0,4)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0,1,2)，设平面BDE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DB,\s\up6(→))＝2x＋2y＝0，,n·\o(DE,\s\up6(→))＝y＋2z＝0，))令y＝－1，则x＝1，z＝eq\f(1,2)，即n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(1,2)))，则点A1到平面BDE的距离d＝eq\f(|\o(DA1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2＋4×\f(1,2),\r(1＋1＋\f(1,4)))＝eq\f(8,3).6.(2023·小店区校级模拟)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P、Q分别在线段C1D、AC上，则线段PQ长度的最小值是(C)A.eq\f(\r(2),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(\r(5),3)【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，设eq\o(DP,\s\up6(→))＝λeq\o(DC1,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))，(λ，μ∈[0,1])．∴eq\o(DP,\s\up6(→))＝λ(0,1,2)＝(0，λ，2λ)，eq\o(DQ,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋μ(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))＝(1,0,0)＋μ(－1,1,0)＝(1－μ，μ，0)．∴|eq\o(PQ,\s\up6(→))|＝|(1－μ，μ－λ，－2λ)|＝eq\r(1－μ2＋μ－λ2＋4λ2)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(μ,5)))2＋\f(9,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ－\f(5,9)))2＋\f(4,9))≥eq\r(\f(4,9))＝eq\f(2,3)，当且仅当λ＝eq\f(μ,5)，μ＝eq\f(5,9)，即λ＝eq\f(1,9)，μ＝eq\f(5,9)时取等号．∴线段PQ长度的最小值为eq\f(2,3).故选C.二、多项选择题7.已知直线l的方向向量n＝(1,0，－1)，A(2,1，－3)为直线l上一点，若点P(－1,0，－2)为直线l外一点，则点P到直线l上任意一点Q的距离可能为(AB)A．2 B．eq\r(3)C．eq\r(2) D．1【解析】因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－3，－1,1)，n＝(1,0，－1)，所以cosn，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(n·\o(AP,\s\up6(→)),|n||\o(AP,\s\up6(→))|)＝eq\f(－4,\r(2)×\r(11))＝－eq\f(2\r(22),11)，则sinn，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(22),11)))2)＝eq\f(\r(33),11)，所以点P到直线l的距离d＝|eq\o(AP,\s\up6(→))|sinn，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\r(11)×eq\f(\r(33),11)＝eq\r(3)，所以点P到直线l上任意一点Q的距离大于或等于eq\r(3).故选AB.8.(2023·梅河口市校级二模)已知四面体ABCD的棱长均为2，则(AB)A．AB⊥CD B．直线AB与平面BCD所成的角的正弦值为eq\f(\r(6),3)C．点A到平面BCD的距离为eq\f(\r(3),3)D．两相邻侧面夹角的余弦值为eq\f(1,6)【解析】A．取CD中点E，连接AE，BE，因为AC＝AD，CE＝DE，∴AE⊥CD；同理BE⊥CD，又AE∩BE＝E，AE，BE⊂平面ABE，所以CD⊥平面ABE，又AB⊂平面ABE，所以CD⊥AB，所以选项A正确；B.过点A作底面BCD的垂线，垂足为G，则G在BE上，且，则∠ABG就是直线AB与平面BCD所成的角，由题得BE＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，∴BG＝eq\f(2,3)eq\r(3)，所以cos∠ABG＝eq\f(\f(2,3)\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)，∴sin∠ABG＝eq\f(\r(6),3).所以该选项正确；C.由B选项的分析可知，AG＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2)＝eq\f(2\r(6),3)，即点A到平面BCD的距离为eq\f(2\r(6),3)，故该选项错误；D.因为AE⊥CD，BE⊥CD，所以∠AEB就是相邻两侧面的夹角，GE＝eq\f(\r(3),3)，∴cos∠AEB＝eq\f(\f(\r(3),3),\r(3))＝eq\f(1,3)，所以该选项错误；故选AB.三、填空题9.(2023·福建统考一模)已知空间中三点A(1,1，eq\r(3))，B(1，－1,2)，C(0,0,0)，则点A到直线BC的距离为eq\r(3).【解析】∵A(1,1，eq\r(3))，B(1，－1,2)，C(0,0,0)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝(1,1，eq\r(3))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(1，－1,2)，∴|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋12＋\r(3)2)＝eq\r(5)，|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋－12＋22)＝eq\r(6)，∴coseq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(\o(CA,\s\up6(→))·\o(CB,\s\up6(→)),|\o(CA,\s\up6(→))||\o(CB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1×1＋1×－1＋2\r(3),\r(5)×\r(6))＝eq\f(2\r(3),\r(30))＝eq\f(\r(10),5)，∴sineq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\r(1－cos2\o(CA,\s\up6(→))，\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(\r(15),5)，设点A到直线BC的距离为d，则d＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|sineq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\r(5)×eq\f(\r(15),5)＝eq\r(3).10.(2023·浙江温州统考模拟预测)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面AEC1的距离为eq\f(\r(6),6).【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，1))，C1(0,1,1)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，C(0,1,0)，故eq\o(EC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，0))，eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，0))，故eq\o(EC1,\s\up6(→))∥eq\o(FC,\s\up6(→))，而EC1⊂平面AEC1，FC⊄平面AEC1，故FC∥平面AEC1，故直线FC到平面AEC1的距离即为F到平面AEC1的距离．设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1))，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)y＋z＝0，,－x＋\f(1,2)y＝0，))取y＝2，则n＝(1,2，－1)，而eq\o(FE,\s\up6(→))＝(0,0,1)，故F到平面AEC1的距离为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(6))))＝eq\f(\r(6),6).四、解答题11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，E，F分别为D1C1，C1C的中点，求下列问题：(1)求点E到直线AF的距离；(2)求点B1到平面A1BE的距离．【解析】(1)如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，－1))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2)))，则E到直线AF的距离d＝eq\r(\o(EA,\s\up6(→))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(EA,\s\up6(→))·\o(AF,\s\up6(→)),|\o(AF,\s\up6(→))|)))2)＝eq\f(\r(17),6).(2)由(1)可得eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，0))，eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，设n＝(x，y，z)为平面A1BE的一个法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1E,\s\up6(→))＝0，,n·\o(A1B,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,2)y＝0，,y－z＝0，))取x＝1，得平面A1BE的一个法向量为n＝(1,2,2)．又eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝(0,1,0)，得B1到平面A1BE的距离为d＝eq\f(|\o(A1B1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,3).12.(2023·鼓楼区校级模拟)如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝eq\f(2π,3)，E为BC的中点，F为AB上一点，且EF⊥AB.将△BEF沿EF翻折到△B′EF的位置，如图2.(1)当AB′＝eq\r(2)时，证明：平面B′AE⊥平面ABC；(2)已知二面角B′－EF－A的大小为eq\f(π,4)，边AC上是否存在点M，使得直线B′E与平面B′MF所成角的正弦值为eq\f(\r(10),10)？若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由．【解析】(1)证明：因为在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝eq\f(2π,3)，E为BC的中点，所以AE⊥BC，∠B＝∠C＝30°，AE＝1，BE＝eq\r(3)，因为EF⊥AB，BE＝eq\r(3)，∠B＝30°，所以EF＝eq\f(\r(3),2)，BF＝eq\r(BE2－EF2)＝eq\f(3,2)，因为AB＝2，所以AF＝AB－BF＝2－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)，由折叠可知B′F＝eq\f(3,2)，B′E＝eq\r(3)，EF⊥AB，EF⊥B′F，又AB∩B′F＝F，所以EF⊥面AFB′，又AB′⊂面AFB′，所以EF⊥AB′，因为AB′＝eq\r(2)，AE＝1，B′E＝eq\r(3)，所以AB′2＋AE2＝B′E2，所以AB′⊥AE，又EF⊥AB′，AE∩EF＝E，所以AB′⊥面ABC，又AB′⊂面B′AE，所以面B′AE⊥面ABC.(2)由(1)知EF⊥AF，EF⊥B′F，所以∠AFB′＝eq\f(π,4)，以F为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0，0))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，0))，F(0,0,0)，B′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(2),4)，0，\f(3\r(2),4)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\r(3)，0))，eq\o(B′E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(3),2)，－\f(3\r(2),4)))，假设AC上是存在点M，使得直线B′E与平面B′MF所成角的正弦值为eq\f(\r(10),10)，设eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ＞0)，使得直线B′E与平面B′MF的法向量所成角的余弦值为eq\f(\r(10),10)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－λ，\r(3)λ，0))，所以eq\o(B′M,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－λ＋\f(3\r(2),4)，\r(3)λ，－\f(3\r(2),4)))，eq\o(B′F,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，0，－\f(3\r(2),4)))，设平面B′MF的法向量为m＝(x，y，z)，∴m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\f(1,2)＋λ,\r(3)λ)，1))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(B′M,\s\up6(→))＝0，,m·\o(B′F,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－λ＋\f(3\r(2),4)))x＋\r(3)λy－\f(3\r(2),4)z＝0，,\f(3\r(2),4)x－\f(3\r(2),4)z＝0，))令x＝1，则z＝1，y＝eq\f(\f(1,2)＋λ,\r(3)λ)，所以cosm，eq\o(B′E,\s\up6(→))＝eq\f(m·\o(B′E,\s\up6(→)),|m||\o(B′E,\s\up6(→))|)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\f(1,2)＋λ,\r(3)λ)，1))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(3),2)，－\f(3\r(2),4))),\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(1,2)＋λ,\r(3)λ)))2＋12)\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(2),4)))2))＝eq\f(\r(10),10)，解得λ＝eq\f(1,2)，所以当M是AC中点时，能使得直线B′E与平面B′MF所成角的正弦值为eq\f(\r(10),10).13.(2023·历下区校级模拟)矩形ABCD所在平面与等腰梯形ACEF所在平面互相垂直，EF∥AC，EF＝eq\f(1,2)AC，直线AF与平面ABCD所成角为60°，EF＝AB＝2.(1)求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值；(2)线段AF上任意一点到平面BDE的距离是否为定值？如果是，则求出定值，否则说明理由．【解析】(1)过点F作FG⊥AC于点G，如图所示：∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，FG⊂平面ACEF，∴FG⊥平面ABCD，则∠FAG为直线AF与平面ABCD所成角，即∠FAG＝60°，过