2022年浙江省宁波市北仑区中考数学一模试卷（解析版）

2022年浙江省宁波市北仑区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.-5的绝对值为（）

11

A.-5B.5C--5D.后

2.接种新冠疫苗不仅可以预防新冠病毒感染，也可以预防重症,降低死亡率.经统计，北

仑区到2022年2月份为止已有约81万人完成新冠疫苗接种.其中81万人用科学记数法

可表示为（）

A.81X104人B.8.1X104人C.8.1X105人D.81X105人

1

3.要使代数式;77W有意义，x的取值应满足（)

A.B.x>1C.x^\D.x#0

4.下列计算正确的是()

A.(x5)2=JC7B.5x-x=4xC.(5%)2=25%D.工2・~=”

5.由5个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是()

丰视方向

6.某校食堂每天中午为学生提供4、8两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两

人选择同款套餐的概率为（）

_1112

A-~2B-~3c-7D-~3

7.在四边形ABC。中，AD//BC,AB=13,BC=5,4。=10,点/是对角线8。的中点,

则CM的长为（）

BC

A.—B.—C.6D.5

22

8.如图，AB是的直径，C,。是。。上的点，NCDB=15°,过点C作OO的切线交

AB的延长线于点E,则sinE的值为（）

不

D.近

A-2B-4C.率2

9.如图，直线y=2x与反比例函数y上（k>0）的图象交于A,8两点，过点A作AC,

X

A8交y轴于点C,若△OAC的面积为5,则氏的值为（）

A.2B.4C.5D.8

10.用面积为1,3,4,8的四张长方形纸片拼成如图所示的一个大长方形，则图中阴影的

面积为（)

二、填空题（每小题5分，共30分）

11.分解因式4/-100=.

12.如图，将线段A8绕点A顺时针旋转45°,得到线段AC,若AB=6,则点B经过的路

径次的长度为

14.北仑梅山所产的草莓柔嫩多汁，芳香味美，深受消费者喜爱.有一草莓种植大户，每天

草莓的采摘量为300千克，当草莓的零售价为22元/千克时，刚好可以全部售完.经调

查发现，零售价每上涨1元，每天的销量就减少30千克，而剩余的草莓可由批发商以18

元/千克的价格统一收购走，则当草莓零售价为元时，该种植户一天的销售收入

最大.

15.如图，在梯形A8CO中，AD//BC,NABC=90°,以48为直径作。O,恰与CD相切

于点E,连结OD,OC,若梯形ABCD的面积是24,OD与OC的长度和为13,则CD

的长为.

16.如图，在矩形A8CZ）中，AB=2,点E是4。的中点，点F是对角线30上一动点，Z

408=30°,连结EF,作点D关于直线EF的对称点P,直线PE交BD于点Q,当4

OE0是直角三角形时，。尸的长为

三、解答题（本大题共8小题，共8（）分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤）

17.（8分）（1）计算：（2x-l）2-（1+2%）（1-2%）；

-x+l〉0

（2）解不等式组：|2X+3、.

^^>-1

0

18.（8分）如图，在边长为1的正方形网格内，点A,B,C,。均在格点处，移动点A,

B,C,D的其中一点，使这点仍落在格点处，把原四边形ABCC变形成一个与它面积相

等的三角形或平行四边形.图（1）变形成三角形，图（2）变形成平行四边形（非矩形）

（1）求抛物线的解析式；

（2）若将上述抛物线向右平移a个单位，此时点A平移到点。，点B平移到点C,连接

AB,BC,CD,若四边形ABCD是菱形，求平移后抛物线的解析式.

y

/。'上

y=mx'+-ymx+n

20.2021年，中国航天人在太空又书写了新的奇迹，为增进学生对航天知识的了解，某校

开展了相关的宣传教育活动.现随机抽取部分学生进行航天知识竞赛活动，并将所得数

据绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图.

（1）本次抽样的样本容量为,“良好”所在扇形的圆心角的度数是：:

（2）补全条形统计图；

（3）若该校共有学生1500人，估计该校学生在这次竞赛中获得良好及以上的学生有多

少人？

21.（8分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观

光桥.如图，该河旁有一座小山，山高BC=100,〃，坡面A8的坡比为1：0.7（注：坡比

是指坡面的铅垂高度与水平宽度的比），点C、A与河岸E,F在同一水平线上，从山顶

8处测得河岸E和对岸F的俯角NOBE,/DBF分别为45°,28°.

（1）求山脚4到河岸E的距离；

（2）若在此处建桥，试求河宽EF的长度.（结果精确到0.1〃?）

（参考数据：sin28°^0.47,cos28°g0.88,tan28°«»0.53）

22.（12分）甲、乙两地间的直线公路长为600千米，一辆轿车与一辆货车分别沿该公路

从甲、乙两地以各自的速度相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，

停下维修，货车仍继续行驶，1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按

原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）最后两车同时到达甲地，已知两车距各

自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解

答下列问题：

（1）货车的速度是千米/时，f的值是,轿车的速度是千米/

时；

（2）求轿车距其出发地的距离），（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式：

（3）求货车出发多长时间两车相距120千米.

23.（12分）【根底巩固】

（1）如图，在△ABC中，D为AB上一点,ZACD=ZB.求证：AC2^AD-AB.

【尝试应用】

（2）如图2,在菱形ABCD中，E,F分别为8C,OC上的点，且射

线AE交Z）C的延长线于点M,射线A尸交的延长线于点N.若AF=4,CF=2,AM

=10.

求：①CM的长；

②FW的长.

【拓展进步】

(3)如图3,在菱形ABCD中，AB=6,NB=60°,以点B为圆心作半径为3的圆,

其中点P是圆上的动点，请直接写出PQ+/PC的最小值.

图3

24.有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形.

(1)如图1,在等邻边互补四边形ABC。中，AD=CD,H.AD//BC,BC=2AD,则

(2)如图2,在等邻边互补四边形ABCC中，/区4。=90°,且BC=C£>,求证：AB+AD

=五AC.

(3)如图3,四边形A8C。内接于。。，连结。0并延长分别交AC,BC于点E,F,交

。。于点G,若点E是AC的中点，窟=花，tanNABC=券，AC=6,求FG的长.

图1

图2

图3

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.解：-5的绝对值为5,

故选：B.

2.解：81万=810000=8.1X105.

故选：C.

3.解：由题意可得x-1>0,

解得：x>\,

故选：B.

4.解：A、（A5）2=x10,故A不符合题意；

B、5x-x=4x,故8符合题意；

C、（5x）2=25必，故C不符合题意；

D、『口5=/,故。不符合题意；

故选：B.

5.解：从正面可看到从左往右三列小正方形的个数为：1,1,2.

故选：C.

6.解：根据题意画图如下：

开始

甲AB

/\/\

乙ABAB

所有等可能的情况有4种，其中甲乙两人选择同款套餐的有2种,

则甲乙两人选择同款套餐的概率为：?=《；

42

故选：A.

7.解：延长到E使则四边形ABED是平行四边形，

•:BC=5,AD=10,

・・・C是8E的中点，

是2。的中点,

ACM=—DE=—AB=—X13=—.

2222

故选：B.

8.解：连接OC,

AZOC£=90°,

VZCDB=15°,

；.NBOC=2NCOB=30°,

AZE=90°-30°=60°,

.•.sinE=近，

2

故选：D.

9.解：作轴于。，

,：AC1AB,

:.AD2=OD・CD,

•.•直线尸2x与反比例函数尸9(k>0)的图象交于A，B两点,

...设8(/,2D,贝I」A(-f,-2r),

.\AD=t,OD=2t,

2

R

：.OC=—t,

2

•.•△OAC的面积为5,

2X■—/Xt—5t

22

解得f=2(负数舍去)，

；.B(2,4),

."=2X4=8,

10.解：如图，设面积为1的长方形长、宽分别为“、b,则必=1,b=］，

a

面积为3的长方形宽为m长为3,

a

面积为4的长方形和面积为8的长方形的长相等，则宽的比例为4：8=1：2,

4

故面积为4的长方形的宽为士(b3)=f,长为寸=3“，

3a73a—

;阴影部分的面积为△ABO和4BC。面积之和，

阴影部分的面积为，■X(-^--b)Xa+yX(-^--b)X3a—2ab=-^->

故选：A.

二、填空题(每小题5分，共30分)

11.解：4x2-100=4(x2-25)=4(x+5)(x-5).

故答案为：4(x+5)(x-5).

12.解：点B经过的路径标的长度=45X]；)X6=等,

故答案为：等.

13.解：去分母得：2x+4=x-1,

解得：x=-5,

检验：把x=-5代入得：x-IWO,

・,•分式方程的解为x=-5.

故答案为：x=-5.

14.解：设草莓的零售价为x元/千克，销售收入为y元，

由题意得,y=x[300-30(x-22)J+18X30(x-22)=-SO^+lSOOx-11880,

当X=-?=-至”=25时，y最大，

所以当草莓的零售价为25元/千克时，种植户一天的销售收入最大.

故答案为：25.

15.解:如图所示：连接。E.

是圆。的切线，

：.OELDC,

在RtAO£C和RtAOBC中，

|OE=OB

loc=oc'

/.RtAOEC^RlAOBC(HL),

；.NBCO=/ECO,

：.ZOCD^—,

2

同理：NE£)O=*,

YADHBC,

：.ZADC+ZDCB=1SO°,

AZOCD+ZEDO=—X180°=90°,

2

：.ZDOC=90Q,

,**S^DEO=S^DAOtS&OCE=S〉COB,

二•S梯形A3C£)=2(S^DOE^SACOE)=2S△©()□=OC,OD=24,

又・・・。。与OC的长度和为13,

：.OD2+OC2=(OQ+OC)2-2OD^OC=\32-2X24=121,

在RtZXC。。中，C£>={“2布02=11,

CD=11,

故答案为：11.

16.解：二•四边形ABC。是矩形，

；.NBAD=90°,

\'AB=2,ZADB=30°.

：.AD=2yf3>

•.•点E是边AO的中点，

:.DE=M，

①如图2,当/DQE=90°时,

:点后是A。的中点，

■:PELBD,乙4。3=30°.

:.NPED=60°,

由对称可得，EF平分NPED,

；.NDEF=NPEF=30°,

...△QEF是等腰三角形,

:.DF=EF,

•：PE_LBD,ZADB=30°,QE=«,

.・・。£=返，

2

\uZPEF=30°,

：.EF=1,

：.DF=EF=2=1；

：.ZPED=\20°，

由对称可得，PF=DF,EP=ED,EF平分NPED,

：.ZDEF=ZPEF=nO°,

：.ZEFD=30°,

・・・△£»是等腰三角形,

♦；PE上BD,

：.QD=QF=^DFf

•：PE_LBD,ZADB=30°.QE=%,

.•.£)尸=2Q£>=3；

的长为1或3；

当NDEQ=90°时，如图4,

E

YEF平分NPED,

：・NDEF=45°,

过点/作尸于点M,设EM=〃，则尸DM=Ma,

,*•=V3，

.〃-3

••Cl——―一--百---»

22

:.DF=3-M，

综上所述，当△OEQ是直角三角形时，OF的长为1或3或3-

故答案为：1或3或3-«.

三、解答题（本大题共8小题，共80分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤）

17.解：（1）原式=4x2-4x+l-1+4/

=8/-4x；

'-x+l》0①

⑵匡>一1②

D

解不等式①，得xWl.

解不等式②，得x>-4.

故原不等式组的解集为：-4<xWl.

18.解：如图1,4BCD'即为所求；如图2,平行四边形AB，C。即为所求.

19.解：⑴将点A(-4,0)和点B(0,3)代入尸蛆2+仔得,

(16m-10m+n=0

ln=31

'.1

解得『一不

n=3

；.y=--x2-—x+3；

24

(2)如图，(-4,0)、B(0,3).

；.OA=4,OB=3,

由勾股定理得，AB=5,

•••四边形ABC。是菱形,

.•.4£>=AB=5,

.'.a=5,

•y=-%—(42+侬

242432

•••向右平移5个单位后，函数解析式为y=-LT)z

24

94

20.解：(1)15・25%=60,—X36O0=144°,

60

故答案为：60,144°；

（2）60-24-15-9=12（人），

补全条形图如下：

估计该校学生在这次竞赛中获得良好及以上的学生有975人.

21.解：（1）由题意得：

跑=」一，BC=100机，

AC0.7

.•.AC=0.78C=70（m）,

在中，ZBEC=45°,

；.CE=一双k=100(w),

tan45

：.AE=CE-AC=3Q(m),

・・・山脚A到河岸E的距离为30/72；

(2)在RtZ\5CF中，ZBFC=28°,

_BC=-^也-七(加)

CF=188.68

tan280.53

：.EF=CF-CE=188.68-100««88.7(w)，

...河宽EF的长度为88.7〃?.

22.解：（1）由图象可得，

货车的速度为：60+1=60（千米/时），

t=(6004-60-1-1)+2=4,

轿车的速度为：360+4=90（千米/时），

故答案为：60,4,90；

（2）当0WxW4时，设轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的

函数表达式是y—kx,

•.•点（4,360）在该函数图象上，

，4-360,

解得左=90,

即当时，轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表

达式是y=90x；

当4Vx<5时，y=360；

当5<xW9时，设轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间%（小时）之间的函数表

达式是y—mx+n,

•.,点（5,360）,（9,0）在该函数图象上,

(5m+n=360

19m+n=0

fm=-90

解得

ln=810

即当5<xW9时，轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表

达式是y=-90x+8I0,

由上可得，轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式是

'90x（0<x<4）

y=-360（4<x45）；

-90x+810（5<x<9）

（3）设货车出发〃小时时两车相距120千米，

两车相遇之前：60a+90（a-1）=600-120,

解得4=3.8,

73.8-1=2.8<4,

.•・。=3.8时符合题意；

两车相遇之后且轿车维修好之前：60a+90（Q-1）=600+120,

解得a=5.4,

V5.4-1=4.4>4,

.\a=5.4不符合题意,

.\60«+90X4=600+120,

解得4=6,

当a=6时，6-1=5,此时轿车刚刚维修好，符合题意；

轿车维修好之后：由上可知，当货车行驶6小时时，两车相距120千米，又因为轿车速

度大于货车速度，故两车越来越近，距离不可能是120千米；

由上可得，货车出发3.8小时或6小时时两车相距120千米.

23.(1)证明：如图1,

A

.AD-AC

•♦而一初

：.AC2^AD-AB.

图2

连接4C,

•.•四边形ABCD是菱形，

J.AB//CD,ZBAC^ZCAD=—ZBAD,

2

•：ZEAF^—ZBAD,

2

NBAC=NEAF,

即ZBAM+ZMAC=ZMAC+ZCAF,

：.ZBAM=ZCAF,

*：AB//CDf

：.ZBAM=/M,

：.ZCAF=ZMt

*.•ZAFC=ZMFAf

AAFAC^AFMA,

.AF=FM=AH

**CF-AF-AC，

VAF=4,CF=2,4M=10,

•至一_^一而，

；.FM=8,AC=5,

:.CM=FM-CF=8-2=6,

②•・•四边形ABC。是菱形，

：.ADB//BC,ZBAC=ZCAD=—ZBAD

29

*.•ZEAF=—ZBAD,

2

：.ZCAD=ZEAFf

即/DAN+/NAC=NNAC+NCAM,

：.ZDAN=ZCAMf

*：AD//BC,

:・/DAN=/N,

:"CAM=4N,

由①知：ZCAF=ZMf

•••△M4cs△4MC,

.ACAN日n5AN

CMAM610

：.AN=—,

3

9513

・・・FN=AN-AF=—-4=—；

33

(3)如图3,

AD

图3

在BC上截取BE=斗,

2

..BE_BP_1

'BP'BC"2ZPBE=ZCBE,

:.△PBEs^CBP,

.PE_PB_1

••而而为

得PC，

/.PD+—PC^PD+PE,

2

,当。、P、E共线时，PD+PE最小=£>E,此时P在P'处,

作。FL8C,交8c的延长线于F,

在Rt^CD/中，CD=BC=6,NDCF=60°,

/.CF=6•cos60°=3,£>F=6*sin60°=3，^,

在RtzXOEF中，DF=3V3，EF=CE+CF=6-多+3=寺,