2022年东北三省四市教研联合体高考数学模拟试卷（文科）（二）（附答案详解）

2022年东北三省四市教研联合体高考数学模拟试卷(文

科)(二)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.已知集合4=[x\x<2,xGN},B={0,1,2,3},则4nB=()

A.[0,1,2}B.{1,2}C.{2}D.。

2.下列关于复数z=系的四个命题中，错误的是()

A.\z\=V2B.z2=-21

C.z的共辄复数为一1+iD.z的虚部为一1

3.已知向量4=(%,y),b=(1,2)，c=(-1,1),若满足五〃1,b1(a-cV则向量五的

62

BD

-c-

(-55

4.以下三组数据的标准差分别为Si，S2,S3.

5,5,5,5,5,5,5,5,5

3,3,4,4,5,6,6,7,7

2,2,2,2,5,8,8,8,8

则有()

A.s1vs2Vs3B.s2<sr<s3C.S3Vs2<SiD.S3<SiVs2

5.大衍数列来源于娥坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国

传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历

过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题.其前10

项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50,则此数列的第21项是()

A.200B.210C.220D.242

6.已知函数/(%)=2si?ixcos%—gcos2%,则F列结论中正确的是()

A.函数f(%)的最小正周期为27rB.%时/(%)取得最小值

C./(%)关于％=g对称D.x=工时f(为取得最大值

7.多面体的三视图如图，则此多面体各个面中，面积的最大值

为()

A.9V3

B.9

C.18

D.18V3

8."&a>(y”是“log2a<10g2b”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.点M为直线y=-x+4上一点，过点M作圆。：/+丫2=4的切线“p,MQ,切点

分别为P,Q,当四边形MPOQ的面积最小时，直线PQ的方程为()

A.x+y-2=0B.%4-y—V2=0C.%4-y-1=0D.%4-y+l=0

10.将函数f(%)=sin(2x-g)的图象向左平移三个单位长度，再保持所有点的纵坐标不

3o

变，横坐标缩短为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，则使得g(x)单调递增的一个

区间是()

A.(-p0)B.(04C.(-=,=)D.(；,1)

11.已知点F为双曲线捻一，=l(a>0,b>0)的右焦点，过F作双曲线的一条渐近线的

垂线，垂足为4若4。力F(点。为坐标原点)的面积为4,双曲线的离心率ee[V3,V5],

则aZ的取值范围为()

A.[2,2V2]B.[4,4V2]C.咚,1]D.[^,1]

12.下列结论正确的是()

A.设函数f(x)=7+ax+b,其中a,bER,当a=-3,b>2时，函数有两个零点

B.函数f(x)=?(a>0)没有极值点

C.关于万的方程2/一3/+a=0在区间[一2,2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围

为[-4,0)U(1,28]

D.函数/(%)=<0)有两个零点

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

%4-y>2

13.己知实数x,y满足2%一"2,则2=3%—27+1的最大值为.

—y+1>0

14.已知抛物线y2=位的焦点为F,过尸的直线，交抛物线于4,B两点,交抛物线的准

线于C,且满足定=4而，则尸川的长等于.

15.A4BC中，2cos2：cos2C-：=0,若AB=4,则A8边上的高的最大值为____.

224

第2页，共17页

16.正三棱锥S-ABC的顶点都在球。的球面上，底面△4BC的边长为6,当球0的体积

最小时，三棱锥S-4BC的体积为.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.数列｛a"与｛&｝满足a+i-且%=2,瓦=1.

n°n

(I)若｛%｝是等比数列，。=8,求｛即｝的前n项和国;

(II)若｛即｝是各项均为正数的等比数列，前三项和为14,求｛为｝的通项公式.

18.四棱锥P-ABCD,^BAD=90°,AD//BC,AB=BC=1,PA1

底面ABC。，PA=AD=2,E为P。的中点.

(I)证明：PD1BE；

(II)求三棱链P-4BE的体积.

19.北京冬季奥运会于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河

北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同

为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京

冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在

培训结束后进行了一次考核.为了解这次培训活动的效果，从中随机抽取160名志

愿者的考核成绩，根据这160名志愿者的考核成绩，得到的统计图表如表所示.

女志愿者考核成绩频率分布表

分组频数频率

[75,80)40.050

[80,85)260.325

[85,90)a0.3

[90,95)20m

[95,100)b0.075

若参加这次考核的志愿者考核成绩在［90,100)内，则考核等级为优秀.

(I)求。，b,m的值；

(n)分别求出这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；

(也)补全下面的2x2列联表，在犯错概率不超过0.01的条件下，能否认为考核等级

是否优秀与性别有关.

优秀非优秀合计

男志愿者

女志愿者

合计

n{ad-bc')2

参考公式：K2=其中

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)'71=Q+b+c+d.

参考数据:

P(K2>k0)0.100.050.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

20.已知函数f(x)=(x—2)Znx—x—1.

(I)证明：/(x)存在唯一的极值点；

(n)7n为整数，/(x)>m,求ni的最大值.

21.已知动圆M经过定点a(一1,0),且与圆Q-l)2+y2=8相内切.

(I)求动圆圆心M的轨迹C的方程；

(II)设点7在x=2上，过点7的两条直线分别交轨迹C于4B和P,Q两点，且|兀4|,

\TB\=\TP\■\TQ\,求直线4B的斜率和直线PQ的斜率之和.

22.直线，过点4(-2,-4),倾斜角为会

(I)以平面直角坐标系的原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.过。作

I的垂线，垂足为B,求点8的极坐标(p20,0W。<2兀)；

(II)与曲线C.•俨为参数)交于“，N两点，证明：\AM\,\MN\,|4N|成等

比数列.

关于久的不等式|3x-l|W2nl的解集为[一表1].

(I)求加的值；

(H)若(a—l)(b—l)(c-1)=m,且Q>1,b>1,c>1,证明：Qbc38.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：集合4={x\x<2,xe/V}={0,1,2],8={0,1,2,3},

则AnB={0,1,2).

故选:A.

利用交集定义直接求解.

本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】B

【解析】解：「z：W2(-1)

(T+i)(-I)

\z\=V(-l)2+(-1)2=V2,z2=(-1-i)2=2i,

••.Z的共舸复数为一1+i,z的虚部为一1,故AC。正确，B错误.

故选：B.

根据复数的四则运算，先对z化简，即可依次求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的数量积，平面向量的坐标运算，以及向量垂直和平行的性质，属

于基础题.

根据向量平行和垂直的数量积公式计算可得.

【解答】

解:-a=(x,y),b=(1,2)，且a//b，

2x—y=0,

又下=(—1,1),•*-a—c=(%+1,y—1)

vK1(a—c)»AK-(a—c)=0»

1-(%+1)4-2-(y-1)=0,即%+2y-1=0,

i

二?。解得5

联立2，

5

故«=(?!)

故选：。.

4.【答案】A

【解析】解：第一组数据都相等，极差为0；

第二组的极差为4；

第三组的极差为6；

所以Si<s2<s3,

故选：A.

由于极差和标准差都是衡量数据的离散程度，所以通过计算极差，比较各组的极差，可

得其标准差的大小.

本题考查极差与标准差的概念，是基础题.

5.【答案】C

【解析】解：根据题意，数列的前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50,其

中奇数项为0、4、12、24、40,

=

贝！1有。1=彳^=0,a3—-4>a5~a7——24>...

故其奇数项上的通项公式为册=破二，

712

故a?1=哼i=220,

故选：C.

由数列奇数项的前几项可归纳出奇数项上的通项公式，从而得到答案.

本题考查数列的通项公式，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：易知/'(x)=sin2x-Bcos2x=2sin(2x-)

故7=§=兀，故A错误；

展)=2§呜=旧力-2,故B错误，且x=拙不是原函数的对称轴，故C错误；

/(瑞)=25时=2,取得了最大值，故。正确.

故选：D.

先将函数化简为f(x)=2sin(2x-$的形式，然后结合函数的图象与性质间的联系

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求解.

本题考查了三角函数的图象和性质，属于中档题.

7.【答案】C

【解析】解：由三视图可得该几何体是如图所示的三棱锥，其中44BC=90。，4B=6,

BC=3,

点P在线段AB中点的正上方，所以AC=3y/5,PA=PB=J(3V3)2+32=6,PC=3V5>

所以S448c=wx6x3=9,SAABP=-X6X3A/3=9v5,S4PBe=5x6x3=9,5&「心=

打6x6=18,

所以此多面体各个面中，面积的最大值为18,

故选：C.

由三视图还原该结合体，然后算出各个面的面积作比较即可.

本题考查了利用三视图求几何体的表面积问题，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：由G)a>G)b等价于a<b,

由avb,不能得到log2。<logzb，如。=一2,b=-1,此时对数无意义；

由log2a<log2b可得0<a<bf

故"©尸>G"”是“log2a<log2》'的必要不充分条件.

故选：B.

由G)a>G)b可得a<b，再举例说明由a<b,不能得到log2a<1咤2d再说明由log2a<

log2b可得0<a<b,即可判断.

本题考查了充分条件、必要条件、充要条件的判断，属于基础题.

9【答案】A

【解析】解：因为直线MP、MQ与圆。：x2+y2=4

相切，切点为P、Q,

所以。PJ.MP,0Q1MQ,MQ=MP，

所以四边形MPOQ的面积为S=S&OMP+S^OMQ=

^OQ-QM+^0P-MP=2MP,

义MP=<OM2-OP2=70M2-4,

所以S=2VOM2-4>

所以当OM取最小值时，四边形MPOQ的面积最小，

又当且仅当OM与直线y=-％+4垂直时，OM取最小值，

所以当OM与直线y=-x+4垂直时，四边形MPOQ的面积最小；

此时直线OM的方程为y=x,

由《二x+4,解得所以点M的坐标为(2,2).

因为OP1MP,OQ1MQ,

所以。、P、M、Q四点共圆，圆的直径为。M,该圆的圆心为(1,1),半径为我,

所以该圆的方程为：(x—1)2+0—1)2=2,

又因为P、Q在圆。：x2+y2=4±,所以PQ为两圆的公共弦，

所以PQ的方程为(x-I)2+(y-l)2-x2-y2=2-4,即为x+y-2=0.

故选：A.

由题意确定四边形MPOQ面积最小值点M的位置，结合圆与圆的位置关系求出直线PQ的

方程.

本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.

10.【答案】C

【解析】解：将函数/(x)=sin(2x-g)的图象向左平移£个单位长度,

DO

得y-sin[2(x+-)—-]=sin2x,

63

再保持所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的:倍，

得到函数g(%)=sin4x,

由2k"-5V4x<2k?r+5，解得f—三,

NN282o

令k=0,得一

oo

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故g⑺单调递增的一个区间是(/*),

故选：C.

根据函数的图象的平移，伸缩变换求出g(x)的解析式，求出g(x)单调递增的一个区间即

可.

本题考查了三角函数的图象的变换，考查函数的单调性问题，是基础题.

11.【答案】B

【解析】解：取双曲线的渐近线为y=即04的方程为y=?x,

••・F(c,0),••.直线AF的方程为y=-：(x-c),

联立I；二(x_c)'解得A(9，B)'

•••S^OAF=-=4,即ab=8,

2

2d,b[।64

v=14--2=1+—,

aQ4

又e6[V3,>/5]»•，-3<14-<5,

解得：4<a2<472.

・,・小的取值范围为[4,4立].

故选：B.

取双曲线的渐近线为y=^x,可得直线4F的方程为y=-c),联立解得4的坐标，

代入三角形面积公式可得a与b的关系，再由双曲线离心率的范围求得a2的取值范围.

本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题.

12.【答案】C

【解析】解：对于4当a=-3,b>2时，f'(x)=3x2-3=3(x+1)(%-1),

易知函数/。)在(一8,-1),(1,+8)上单调递增，在(一1,1)上单调递减，

则-0)饯小值="1)=b-2>0,则此时函数/(%)仅有一个零点，选项A错误；

对于B,r(%)=竺*=竺笠9>0),

易知函数f(x)在(一8,0),(0,1)单调递减，在(1,+8)上单调递增，则/'(x)在x=l处取

得极小值，选项B错误；

对于C,由2炉—3x2+a=0可得a=-2x3+3x2,令g(x)=-2x3+3x2,x6[—2,2],

则g'(%)=—6x2+6%=-6x(%—1),

易知函数g(x)在[—2,0],[1,2]上单调递减，在(0,1)单调递增,且g(-2)=28,g(0)=0,

g(i)=1，g(2)=-4,

依题意，直线y=a与函数y=g(%)的图象仅有一个交点，则aE[-4,0)U(1,28],选项

C正确；

对于D,令f(%)=0,则%—ae*=0,即。=卷,令九(%)=卷，则九'(%)=詈，

易知函数h(x)在(-8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

且九(1)=%当％<0时，/i(x)<0,当％>0时，/i(x)>0,%7+8时，九(%)T0,

故当aVO时，Q=*仅有一个解，选项。错误.

故选：C.

对于4对函数/(%)求导，判断函数/(%)的单调性，求出其极小值即可得出结论；对于B,

求导后判断单调性，即可得到极值情况；对于C,令g(%)=—2/+3/,XG[-2,2],

判断函数y=g(x)的图象与直线y=Q的交点个数即可;对于D,令/(%)=0,可得a=

令九(x)=方，判断函数y=/i(x)的图象与直线y=a(a<0)的交点个数即可.

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值,考查函数零点与方程根的关系，考

查运算求解能力，属于中档题.

13.【答案】y

【解析】解：画出线性约束条件所表示的可行域，如图，

•4/H产2

2c

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由z=3x—2y+l,得y=|x_'L由仁；?]2'得[y_I'

由图可知，目标函数所代表的直线过点4c,|）时，Z的值最大，月.Zmax=3xg—2x|+

1

3

故答案为：-y.

首先根据线性约束条件画出可行域，然后把目标函数化为y=|x-U，利用图象即可

求出z的最大值.

本题主要考查线性规划求最值的方法，属于基础题.

14.【答案】|

【解析】解：过4F,8作抛物线准线的垂线，垂足依次为M,B],

则|FM|=p=2,|44|=|4用，=

由降=提=3,."的=叫.

故答案为：|.

过4F,B作抛物线准线的垂线，垂足依次为公,M,B],利用抛物线的定义及相似可

得答案.

本题考查了抛物线的性质，属于基础题.

15.【答案】2V3

【解析】解：由2cos2：—：cos2C—[=0,得1+cosC—：(2cos2c—1)—(=0,

整理得：(cosC—1)2—0,即cosC=；.

■JI

v0<C<7T,•••C=-,

[*Ir_、，2+BC2TB224cBe-16

、-2-2ACBC_2ACBC'

解得4c•BCM16,当且仅当AC=BC时取等号，

S«ABC=-ACBC-sinC=—AC-BC<4百，

24

又S&ABC=,h<4^3,：.h<2技

即4B边上的高的最大值为26.

故答案为：2K.

把已知等式变形，求得cosC,再由余弦定理与基本不等式求得4c-BC的最大值，结合

三角形面积公式求解.

本题考查三角函数的恒等变换应用，考查三角形的解法，训练了利用基本不等式求最值,

是中档题.

16.【答案】18

【解析】解：由题意，底面AABC是边长为6的

正三角形，

所以AABC的外接圆的半径r=：x裔=2次,

即截面圆的半径r=2V3，

设球心。与截面圆的圆心。之间的距离为d,球

的半径为R,根据球的性质有肥二产+八，

所以当球。的体积最小，即球的半径R最小时，

d=0,

此时R=r=2V3>所以此时正二棱锥S—ABC的同）九=R=2-/3>

2

所以三棱锥S—ABC的体积V=|SAXBCX/I=^X^X6x2-73=18,

故答案为：18.

根据球的性质有R2=d2+",所以球。的体积最小时，d=0,此时R=r=2遮，正

三棱锥S-4BC的高h=R=2值，从而根据三棱锥的体积公式即可求解.

本题考查了几何体的外接球以及体积的计算，属于中档题.

3

17.【答案】解:(1)设｛%｝的公比为勺，b4=biq=8,.•.<?=2,

即+1—an=2,

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2

•••数列｛6｝是等差数列，且公差d=2,前n项和又=nax+巧%d=n+n；

（口）设｛6｝的公比为「，则2+2p+2P2=14,且p>0,

n

得p=2,0n=2,

即如=2",

On

bn=瓦X会X-X粤=2仔5>2）.

bi®n-i

瓦=1符合上式，

*•bji—22*

【解析】（I）直接根据等比数列的定义求得｛与｝的通项公式,进而得到｛an｝的通项公式，

即可求得结论，

（n）根据已知条件求得｛即｝的通项公式，进而求得｛小｝的通项公式.

本题主要考查等比数列以及等差数列性质的应用，属于基础题目.

18.【答案】证明：（1）因为融1平面48。0,ABu平面4BCD,

所以2414B,

又4BAD=90°,所以4B1AD,

PA,4。<=平面P40,PAdAD=D,

所以力BJJFilfPAD,又PCu平面P4D,

所以4B1PD,

因为PA=4D=2,E为PD的中点，

所以4EJLP。，AE,ABu平面ABE,AEAB=A,

所以PD1平面ABE,BEu平面ABE,

所以1BE；

解：（II）由（I）AB_L平面PAD,

所以Vp-4BE=^B-PAE—.SAPAEAB，

又SAPAE=_S&PAD-22XA。—1,又力B=1,

所以Vp-4BE=.xlxl=],

所以Vp-4BE=j-

【解析】（I）先由线面垂直判定定理PD_L平面ABE,再证明P01BE；（II）由锥体体积

公式可得三棱锥P-ABE的体积等于三棱锥P-4BD的体积的一半，再由体积公式求体

积即可.

本题考查了线线垂直的证明和三棱锥的体积计算，属于中档题.

19.【答案】解：(I)因为0.050+0.325+0.3+m+0.075=1,所以m=0.25,

女志愿者总人数为施=80人，

a=80x0.3=24,

b=80x0.075=6；

(n)这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为(160-80)x(0.015+0.010)x5=

10；

这次培训考核等级为优秀的女志愿者人数为20+6=26；

(HI)2x2列联表，

优秀非优秀合计

男志愿者107080

女志愿者265480

合计36124160

“2160(10X54-26X70)22560c仃

"=--------------=----«9.176>6,635,

36X124X80X80279

所以在犯错概率不超过0.01的条件下，能够认为考核等级是否优秀与性别有关.

【解析】(I)根据频率和为1可算出m，然后计算出女志愿者总人数，再根据频率分别

计算a,bi

(II)考核等级为优秀的男志愿者人数可从频率分布直方图中算出，考核等级为优秀的女

志愿者人数可从频率分布表中直接相加得出；

(皿)先由题意补充列联表，然后计算卡方，再解释成实际意义即可.

本题考查了频率分布直方图、独立性检验的知识，属于基础题.

20.【答案】(I)证明：/(x)=/nx-|,xG(0,4-03),

显然f'(x)在xe(0,+8)上单调递增，

又/''(2)=加2—1<0,尸(3)=加3—|>1一|>0,

所以北oe(2,3)使得/⑶=0,

当％E(O,%o)时，/'(%)<0,/(%)单调递减，

当xWQo，+8)时，>0,/(%)单调递增，

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所以/(%)在XG(0,+8)上存在唯一的极小值点.

(n)解：f(X)>m等价于f(x)min>如

由⑴知，f(X)min=f(.X0)=(XO-2)》出一%。-1=(%。-2)，&-1=1一("

沏)，

且%o6(2,3),

又因为函数y=X+拉乂€(2,3)上单调递增，所以/(&)e(-y,-3),

又因为meZ,所以m„1a、=-4,整数m的最大值为-4.

【解析】(I)求导，判断导函数的单调性，然后利用零点存在定理证明导函数在定义域

内有唯一变号零点，从而证明函数f(x)存在唯一的极值点；

(n)先将命题转化为f(x)min>巾，然后计算的取值范围，据此求出整数小的最

大值.

本题主要考查利用导数研究函数的极值，利用导数研究不等式问题，利用导数求函数的

最值等知识，属于中等题.

21.【答案】解：(I)设动圆圆心M(x,y),半径为r,

由题意得:喘，,

得|M0|+\MF2\=2V2>I&F2I=2,

所以圆心M的轨迹是以尸2为焦点的椭圆，且a=四,c=b=1,

2

故轨迹C方程为上+y2=1；

2J

(II)设7(2"),((/,%),B(x2,y2),A8直线方程为y-t=的(％-2),

P(>3，y3)，Q(%4，y4)，PQ直线方程为y-1=心0-2),1万+'-1，

ly—t=—2)

(,8好—42

%1+X=--

联立相消得(2代+1)/+4kl(t-2k^x+2(t-232_2=0,42