2021-2022学年下学期高一数学暑假作业

暑假练习01平面向量

一、单选题.

1.设40,%分别是与4/同向的单位向量，则下列结论中正确的是（）

A.a0=b0B.a0=-b()C.a0//b()D.同+同=2

2.给出下列四个命题，其中正确的命题有（）

A.时间、距离都是向量

B.两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同

C.所有的单位向量都相等

D.共线向量一定在同一直线上

3.下列说法正确的是（）

A.向量通与向量丽是相等向量

B.与实数类似，对于两个向量0,b有a=b，a>b>a<）二种关系

C.两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行

D.若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合

4.已知空间向量SLAB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=la-2b,则一定

共线的三点是（）

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

5.已知平面向量。。满足同=4,网=1，力,则cos〈a,b〉=()

B百

AD

-74-f

6.ti知非零向量满足(a+b)_L(a-b),则()

A.a=bB.|a|=|ft|C.aLbD.a//b

7.已知向量。，方的夹角为120。，同=网=1，c与同向,则卜-,的最小值

为)

A.1B.1C.-D.立

242

8.已知oo的半径为3,圆心为。，点A和点B在°。上，且AB=3，

则()

a11

A.4B.-C.5D.—

22

9.如图，扇形的半径为1,且砺.丽=0,点C在弧A3上运动，若反=%砺+

yOB,则2尤+y的最大值是()

A.-石B.y/5C.1D.2

二、填空题.

10.在边长为4的正方形ABCO中，CE=3ED^则荏.恁=-

11.已知q,e2是两个不共线的向量，而a=22e|+(l-|&)e2，b=2%+3e2是两

个共线向量，则实数左=.

12.已知向量mb满足4=(1,6)，(a-2b)La,贝立在a上的投影为.

13.已知非零向量a,方满足时=J7+1,例=后一1，且卜_耳=4,则|a+]=

三、解答题.

14.已知平面内的三个向量a=(3,2)、8=(—1,2)、c=(l,-l).

(1)若a=Ab+〃c(九〃eR),求九+〃的值；

（2）若向量a+心与向量力-c共线，求实数后的值.

15.已知。=（3,-2）,5=（2,1）,。为坐标原点.

（1）若〃？a+b与a-26的夹角为钝角，求实数，〃的取值范围;

（2）当时,求|a-仍|的取值范围.

16.如图△A3C中，。为的中点，E为A8的中点，AD=3AF,令布=a,

AC-b.

(1)试a、)表示酝；

(2)延长EF交AC于P,设/=x〃，求x的值.

答案与解析

一、单选题.

1.【答案】D

【解析】单位向量的模长为1,故⑷+闻=2,D正确；

题中吗,4分别与a,力同向，而&力方向不确定，故A,B,C错误，

故选D.

2.【答案】B

【解析】对A：时间和距离没有方向，不是向量，故A错误；

对B：两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，故B正确；

对C：所有的单位向量，模长都相等，但方向不一定相同，故C错误；

对D：共线向量可以在同一直线上，也可以不在同一直线上，故D错误，

故选B.

3.【答案】D

【解析】对于A,向量而与向量丽是相反向量，所以A错误；

对于B,因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B

错误；

对于C,当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以

C错误；

对于D,由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，则向量所在的直线

可以平行，也可以重合，所以D正确，

故选D.

4.［答案】A

【解析】对于A中，由向量而=配+函=2a+48,且通=a+2》，

可得同方万，所以而〃而，所以三点共线，所以A正确；

对于B中，向量筋=a+2Z＞，BC=-5a+6b-

一"=1

设通=4就，可得。+加=-5勿+6劝，所以，;，此时方程组无解，

所以A,B,C三点不共线，所以B错误；

对于C中，向量配=_5a+6Z＞，丽=7a-2。，

设阮=〃函，可得—5。+66=7〃。一2〃6,所以17"=-5,此时方程组无解，

"[-2〃=6

所以8,C,。三点不共线，所以C错误；

对于D中，由恁=而+团=-4°+昉且诙=7a-2)，

7m-

设AC=/〃C。,可得T＜i+8b=7/〃a—2/泌,所以，，此时方程组无解,

...[-2m=8

所以A,C,。三点不共线，所以D错误，

故选A.

5.【答案】A

【解析】由得(a-」)1=al-12=4xlxcos〈a,Z＞〉-12=o,

解得cos(a,)〉=(,故选A.

6.【答案】B

【解析】：(a+b)_l_(a-b)，(a+b)-(a-b)=O，

.,.”2一/=0,|a|2-|b|2=O,，|4=例，故选B.

7.【答案】D

【解析】•.•同=网=1，向量”，b的夹角为120。，c与a+b同向，

与c的夹角为60。・

又卜一c|=yla2-2ac+c2=Jl-|c|+|c「=+,，故|a-4而=#，

故选D.

8.【答案】B

【解析】由题意得N84O=60。，故而•A^=3X3XCOS6()O=2,故选B.

2

9.【答案】B

【解析】由题意得丽.丽=0，|珂=|得=1,|反卜1,

由反=xH5+y砺，等式两边同时平方,

得|反『=x2|OA|2+J]/2+2孙丽，OB，所以1=/+9,

令ZAOC=a，则1=以”£,y=sina,ae[0,—]»

则2x+y=2cosa+sina=行sin(a+6)，

其中sin”咨cos。邛，同0,9，

因为++所以<Sin(a+6)<1，

所以14V^sinQ+6)<6,即2x+y的最大值为迅,

故选B.

二、填空题.

10.【答案】20

【解析1以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系,

则A（0,0）,£（1,4）,C（4,4）,通=（1,4），恁=（4,4），

所以醺•恁=1x4+4x4=20，

故答案为20.

11.【答案】—2或』（工或一2）

33

【解析】由已知，勺，%是两个不共线的向量，

a-k%]+（1--1^）«2,b=2et+3e2是两个共线向量,

所以3A2=2(1—9&)，解得左=一2或%=1，

23

故答案为-2或L

3

12.【答案】1

【解析】设b=(x,y)，5PJa-2)=(l-2x,G-2y),

a=(1,\/3))(a-2b)±a,

(a-2Z>)-a=0,；.l-2x+石便-2y)=0,：.x=2-6y，

根据投影的概念，〃在a上的投影为例.cos«©，

D/u\abid/八ab(1，6卜(2-6乂丁)

又c°s〈Q0〉=丽'・叶cos(a⑹=R=二=七一，二1,

故答案为1.

13.【答案】4

【解析】..•卜「+例2=("+1『+(近—1『=16=卜—叱，：.a±b>

设AB-a,AD-b,则DB-a—b,

则以AB,A。为邻边可作如图所示的矩形，,/=a+b,

•••四边形ABC。为矩形，前卜|丽|=4,叫a+4=4,

故答案为4.

三、解答题.

14.【答案】(1)13；(2)-21.

【解析】(1)Ab-(-2,22),4c=(〃,一〃)，Ab+juc=(—A,+ju,2A-ju),

.—A+〃=34=5

又a=4)+〃c,，解得

"[2/1-//=2〃=8

••%+〃=13・

(2)•••0+扬=(3—太2+2左)、2b—c=(—3,5),

又a+如与2b—c共线，，5x(3—幻=—3x(2+2幻，解得左=一21・

15.【答案】⑴U(-1,|)；(2)苧，病•

【解析】(1)由。=(3,-2),6=(2,1),

所以w+b=(3m+2,—2加+1),a-2b-(-1,-4),

令(〃以+8>(“一2瓦)<0,即一3加一2+8加一4<0，解得机c'，

当/〃=—"时,〃?a+A=—，a+b,a-2》与〃?“+》方向相反，夹角为平角，不合

22

题意；所以/〃*」，

2

所以若〃?.+/>与a-2)的夹角为钝角，则加的取值范围是(-双-，)U(-L3•

225

(2)•••。一必=(3—2r,—2—力，.-.Ia-tb\=7(3-2r)2+(-2-r)2=75r2-8r+13>

y=5/一8f+13的对称轴为x=[,fe[-1,1],

，尤=1时，Ymin=£；X=T时，％”=26，即苧<6《岳,

二|a-的取值范围为—,726.

16.【答案】(1)EF--—a+—b-(2)x=L

364

【解析】⑴AF=-AD=-(AB+AC),

36

__1_.______1_.1—.11

又AE=—A8,:.EF^AF-AE=--AB+-AC-一一a+-b.

23636

(2)AF=-A£j=-(AB+AC)=-AE+—AP,

3636x

又.薪'=：.AF-AE=t(AP-AE),

—.―,一111

/.AF=tAP+(1—t)AEf「・—l-1,.0.x——•

36x4

暑假练习02平面向量的应用

一、单选题.

1.△ABC的三个内角A、。满足sinA:sin3:sin(7=2:3:4,贝lJcosA=

()

A.-B.-C.叵D.叵

9884

2.若平面四边形ABC。满足：AB+CD=a，(AB-AD)AC=0,则该四边形一

定是（）

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形

3.在△ABC中，已知S+c、-a）S+c+a）=3hc,且2cosBsinC=sinA,则

△ABC的形状为（）

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

JT

4.在△A8C中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若6=10,A=—,且AABC

6

有唯一解，则。的取值情况是（）

A.a=5B.a=5或者心10

C.5<a<10D.不确定

5.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若（a+8）（sinA-sin8）

=（O+c）sinC,“=7,则该三角形的外接圆直径为（)

D.应I

A.14B.7C.—

33

6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、若tanA=一百,

△ABC的面积为有a,则从•的最小值为（）

A.16B.16GC.48D.2473

二、多选题.

7.在△ABC中，角A,B,C所对的对边分别为“，b,c,下列命题中正确

的是()

A.若A>B>C,则sinA>sin5>sinC

B.若a=40,b=20,B=25。，则满足条件的△ABC有且仅有一个

C.若a="cosC,则AABC是直角三角形

D.若△A6C为锐角三角形，Kcos2A-V3sinA+2=0.若b+c=6^，则AABC

外接圆面积的最小值为9万

8.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且(a+0):(a+c):

(》+c)=9:10:ll,则下列结论正确的是()

A.sinA:sin5:sinC=4:5:6B.△ABC是钝角三角形

C.当c=6时，△ABC的面积D.若c=6,则a+A=9

4

三、填空题.

9.已知b=(/M),若Q与》的夹角a为钝角，求4的取值范围为

10.如图，某中学校园中央有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高该学生先

在钟楼的正西方点C处测得钟楼顶部的仰角为45。，然后从点。处沿南偏东30。

方向前进60m到达点。处，在。处测得钟楼顶部的仰角为30。，则钟楼的

高度是m.

11.在△ABC中，cosZBAC=-1,AC=2,。是边BC上的点，且8D=20C,

AD=DC,则45等于.

四、解答题.

12.证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知：平行四

边形ABCD求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.

13.如图所示，在海岸A处发现北偏东45。方向，距A处石-1海里的8处有一

艘走私船，在A处北偏西75。方向，距A处2海里的。处的我方缉私船，奉命以

2()6海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以20海里/小时的速度，从8

处向北偏东30。方向逃窜.问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船?

并求出所需时间.

A

14.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=atanB,且A为钝角.

7T

(1)证明：A—8=耳；

(2)求2sin5+sinC的取值范围.

15.在△ABC中，a,“c分别是内角A,B,C所对的边，向量/«=9,氐)与

〃=(cos3,sinA)共线.

(1)求角B的大小；

(2)若a+c=5,△ABC外接圆面积为等，求△ABC在AC边上的高.

16.如图，在圆内接四边形ABC。中，AB=2,BC=4,且NAC5,NCR4,N区4c

依次成等差数列.

(1)求边AC的长；

(2)求四边形A5CO周长的最大值.

答案与解析

一、单选题.

1.【答案】B

【解析】因为。：）：c=sinA:sin3:sinC=2:3:4,

可设〃=2人力=3攵,0=4女（攵>0）,

由余弦定理可得cosA="+02-1=（3%）丁（4%）—（2Z）=1,故选B.

2hc2-3k-4k8

2.【答案】B

【解析】-.AB+Cb=Q,,-.AB=DC，所以四边形A3CO为平行四边形，

•.•（而—诟）•/=（）,DBAC=Q>

所以3。垂直AC,所以四边形A3C0为菱形，故选B.

3.【答案】B

【解析】由题意，sinA=sin（71-A）=sin（B+C）=sini?cosC+sinCcosB,

则2cosfisinC=sinBcosC+sinCcosJ?<=>sinBcosC-cos5sinC=sin（S-C）=0,

又一兀<B—C<兀,则6=C,

由S+c-a）（b+c+a）=3hc,可得（b+cp-/=3A，BPb2+c2-a2=bc,

b2+c2-a2

所以cosA=

2bc2

由0<A<TT,知4=百，

综上可知，△ABC的形状是等边三角形，故选B.

4.【答案】B

【解析】由正弦定理得〃=妇”=三，

sinBsmB

由△回（?有唯一解，当sin3=l时，即N3=90。，△钿（?唯一，符合条件，可

得a=5；

当sin8e（g,l,寸，ZB有两个值，△ABC不唯一，不符合条件；

当sinBe(0，2时，a=-^—>b,故NBWNA,△ABC唯一，符合条件，可得

I2Jsin8

«>10,

故选B.

5.【答案】D

【解析】由己知，(a+b)(sinA-sinB)=(b+c)sinC,

由正弦定理可得(4+矶。一。)=0+。)〜化简得02+。2一/=_灰，

b~+c2-a~_-be_1

所以cosA

2bc~~2b^~~2

2兀

又因为△ABC中，Ae(0,兀)，所以A=T，

所以sinA=sin—=

32

设三角形的外接圆半径为r,

由正弦定理可得2r=，一=二=处

sinAV33

T

所以该三角形的外接圆直径为也8,故选D.

3

6.【答案】C

【解析】因为0<A<不且tanA=—G，则4=彳，

因为S2BC=(反sinA=be=,所以a=z，

由余弦定理可得（"'）=。2=b°+c2-2Z?ccosA-b2+c2+be>3bc>所以be248,

16

当且仅当b=c=46时，等号成立,

故儿的最小值为48,故选C.

二、多选题.

7.【答案】ACD

【解析】对于A,若A>B>C,则a>b>c,

cihc

由正弦定理可得一^-=—=—7小则sinA>sinB>sinC,故A正确；

sinAsinBsine

对于B,若a=40,匕=20,8=25°,

贝U40sin25°<40sin30°=20,a>h,

因此满足条件的△ABC有两个，故B错误；

2122

对于C,a=bcosC,则"/+'—C,整理得。2+。2=从，

2ab

故△A3C为直角三角形，故C正确；

对于D,由cos2A-QsinA+2=0，可得l—2sin?A-GsinA+2=0,

.・・(sinA+V3)(2sinA-V3)=0,

n

又sinA>0,sinA=——,

2

7T

又为锐角三角形，.•.A=§,

a2=b2+c2-2bccosA=(b+cj—3bc>(/>+c)2-3

=&©_=竺§=27,当且仅当h=c时，取等号，

44

:.aN3上，

CLhC

由正弦定理可得，='G=2R,(R为外接圆半径)

sinAsinBsinC

可得/?=£~r=4之3,

2sinAV3

...△ABC外接圆面积的最小值为9不，故D正确，

故选ACD.

8.【答案】ACD

【解析】由(a+》)：(a+c)：(O+c)=9:lO:ll,得a:Z?:c=4:5:6,

在△A3C中，由正弦定理得sinA:sin5:sinC=a:b:c=4:5:6,A正确;

依题意，角C是最大角，cosC="/2+/?2~C-=->0,

2ab8

则。是锐角，△ABC是锐角三角形，B不正确；

当c=6时，a=4,h=5,sinC=A/1-COS2C=,

8

z_i/AtBoCe=42〃〃sinC="4,。+匕=9,c,D者B正确,

故选ACD.

三、填空题.

9.【答案】U)

【解析】。与方的夹角a为钝角，所以。功<0且。与。不共线，

由“包=(1,一1>(/1,1)=；1一1<0,得几<1,

由。与b不共线，1-(-2)^0,./H—I,

所以几的取值范围为(9,T)U(T/)，

故答案为(f,-l)U(T，l).

10.【答案】30

【解析】由题意知：ZACB=45°,ZBCD=60°,ZADB=30°,CD=60,

AQARl

设/W=x,则BC=------=x,DB=------=瓜,

tan45°tan30°

jr

BD2=CD2+CB2-2CD-CB-cos-,

3

BP3x2=3600+x2-2x60xxxl,解得x=30或—60(舍去)，

故答案为30.

11.【答案】3

【解析】设。C=x,A8=y,

因为BD=2OC,AD=DC,所以BC=3x,A£)=£)C=x,

在△4)C中，由余弦定理可知cosC=—3=4+『7-=

2AC-DC4xx

2

“AAnx--r+t1+A-rA-ncAC~+CB~~A.B~4+9x~~y

在△ABC中，由1余弦定理可知cosC=---------------=........—,

2ACBC12x

于是有4+"一=-=>9x2-j；2=8(1),

12xx

,A.…-伸f.AB2+C^-CB-/+4-9x21

在△ABC中，由余弦定理可知cosA=­一；—-=-―-----=

2ABAC4y3

=>27x2-3/-4y=i2(2),把⑴代入⑵中得，y=3,

故答案为3.

四、解答题.

12.【答案】证明见解析.

【解析】证明：不妨设A月=a，AZ5=Z＞，则4C=a+＞，DB^a-b，

洞2=同2,„=时，M|AC|2=XC-XC=(a+6)-(a+Z＞)=|a|2+|6|'+2a.&®

同理忸月『=DBDB=(a-b)(a-b)=|a「+时-2a-b@,

①+②得：

22=2(+\bf)=2(|2+12222

|AC|+|DB|时画而()=|AS|+|AD|+|BC|+|CD|,

所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和，得证.

13.【答案】缉私船应沿北偏东60。的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需

要远小时.

20

【解析】设缉私船应沿co方向行驶，小时，才能最快截获(在。点)走私船,

贝I」CD=2()村海里，3。=20/海里.

在△ABC中，由余弦定理，

BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosA=(y/3-l)2+22-2(43=6,

则Bc=m.

，s…C=2xs%2°°=也

sinABACsinZABC瓜2

/.ZABC=45°,故8点在C点的正东方向上.

...NCBD=900+30°=120°,

BDCD

在△BCD中，由正弦定理得

sinZBCDsinNCBD

.BD-sinNCBD20?-sin120°1

sinABCD=-----------------=---------------=—,

CD20后2

.../BCD=30。，则缉私船应沿北偏东60。的方向行驶.

又在△88中，NCBD=120,ZDCB=30°,

：.ZCDB=30,BD=CB=&,BD=20t=屈,解得r=如，

20

故缉私船应沿北偏东60。的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要迈小时.

20

14.【答案】(1)证明见解析；(2)I1,|.

【解析】(1)-.•h-atanB,sinB=sinA-tan£?=sinA-S^n

cosB

1sinA.,「

1=------,sinA=cosB,

cos8

因为A为钝角，sinA=sin(>-A)=cos6=sin-6J,

因为均为锐角，故乃—A=g—8,即A—8=].

71JtJt

(2)'：A-B=-,：.A=-+B,C=»-(A+B)=——2B.

222

2sinB+sinC=2sinB+sinl—-2BI=2sinB+cos2B=2sinB+l-2sin2B,

冗JTJTy

0<B<—,0<C=——2B<—,：.0<B<—,sinBe0,——

22242

13

当sin8=z时，2sin3+sinC取得最大值为,；

当sinB=O时，2sinb+sinC取得最小值1,

所以sin8e[o，¥4寸，2sin3+sinC的取值范围为卜,|.

15.【答案】(1)£；(2)地.

38

【解析】(1)解：因为机与〃=(cos8,sinA)共线，

**•bsinA=Gacos8,.#•sinBsinA=GsinAcosB,

sinAw0,sinB=V3cosB,即tan8=g,

71

•；OvB<7T,:.B=一.

3

(2)1•△ABC外接圆面积为冬，.•.△ABC外接圆半径为逑,

33

b

=2x正,解得〃=4,

sin33

又a+c=5,

根据余弦定理得。2-cr4-c2-2accosB=a2+c2-ac=^a+c)2-3ac,

16=25—3ac,得ac=3,

AABC的面积为,acsinB=-x3x^-=3A,

2224

设△ABC在AC边上的高为//,则1x4力=述，解得力=生叵.

248

16.【答案】(1)2石；(2)10.

【解析】(1)因为ZACB,NCBA,NBAC依次成等差数列,

所以ZACB+ABAC=2ZCBA,

7T

又ZAC8+NBAC+NCBA=»,所以NCBA=一,

又AB=2,BC=4,

则由余弦定理得：

AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZCBA=4+l6-2x2x4x-=l2,

2

所以AC=2百.

7T771

（2）由圆内接四边形性质及NC6A=w，知NAOC=w，

在△ADC中，由余弦定理得

AC2=AD2+DC2-2AD-DCcosZCDA=（AD+DC）2-ADDC,

又因为AD.DCW（AD+*）（当且仅当A。=DC时』”成立）,

4

所以W（AD+OC）KAC2=12,BPA£>+DC<4,

则四边形ABCD周长最大值2+4+4=10.

暑假练习03复数

一、单选题.

设复数一二的实部与虚部分别为b,则=（

1.a,)

-3-1

A.-2B.-1C.1D.2

•2021

2.—=()

1-i

A.-+-iB.----iC.--+-iD--

222222

3.设z=l+2i,则在复平面内z的共辄复数I对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.已知复数z满足z（l-i）2=6+8i,其中i为虚数单位，则|z|=（）

A.10B.5C.V10D.275

5.下列命题正确的是（）

①若复数z满足Z2WR，则ZWR；

②若复数z满足士eR,则z是纯虚数；

Z

③若复数Z1,Z2满足闵=%|,则Z]=±Z2；

④若复数Z1,Z2满足平2=卜]『且Z|H0,则㈤=闫.

A.①③B.②④C.①④D.②③

6.棣莫弗公式（cosx+isior）"=cosnx+isinnx（其中i为虚数单位）是由法国数学

/、7

家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cos看+isin^j

在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.向量西，区分别对应非零复数z.z2,若西_L近，则五是（）

Z2

A.负实数B.纯虚数

C.正实数D.虚数。+初（a,bGR,a，0）

二、多选题.

8.已知复数z=2-3i,其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（）

z的模等于13B.z在复平面内对应的点位于第四象限

z的共轨复数为-2-3iD.若z（m+4i）是纯虚数，则加=-6

9.已知复数z满足|z|=|z-l|=l,且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正

确的是（）

113

A.复数z的虚部为正i—=-----1

2z22

D.复数z的共也复数为-』+@i

Z=z-1

三、填空题.

10.已知i是虚数单位，则⑴2°2][=J=.

11.已知复数2=8$。+1411仍为虚数单位），则|Z-1|的最大值为.

12.若复数z满足|z-i|=3,则复数Z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为

四、解答题.

13.在复平面内，若复数Z=（加2一加一2）+（4一3相+2）i对应的点满足下列条

件.分别求实数〃，的取值范围.

（1）在虚轴上；

（2）在第二象限；

（3）在直线y=x上.

14.已知复数z满足|z|=0,z的虚部为2.

（1）求复数z；

（2）设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A、B、C,求△ABC的面积.

15.已知复数z和它的共粗复数5满足2z+Z=3+2i.

（1）求z；

（2）若z是关于x的方程d+px+4=0（p，4€R）的一个根，求复数,+（q_4）i

的模.

答案与解析

一、单选题.

1.【答案】A

-5(3-i)-15+5i

【解析】

-3-i(3+i)(3-i)10

a—b——2,故选A.

2.【答案】C

山+i)11.

【解析】有-+-1,故选C.

1-i(l-i)(l+i)

3.【答案】D

【解析】因为z=l+2i,所以W=l-2i，

故复数W对应的点为（1，-2）,该点在第四象限，故选D.

4.【答案】B

【解析】（1一i）2=l-2i+i?=—2i,

所以目=户存7=5,故选B.

5.【答案】B

【解析】对于①，令复数z=i满足z2=-leR，而zeR,①不正确；

对于②,令复数z=a+bi,a,bGR,a2+b2^0,

-i=---i--=----i（-。--一--历--）----=-b--+--a-i--=----b-----\----a----i

z〃+/?i（。+历）（。-历）a2+h2a2+/?2a2+h2'

因LeR,则1^=0,即。=0,。工0,所以z是纯虚数，②正确；

za+b

对于③，令Z[=2+i,Z2=2—i满足团=22|=行，显然Z]HZ2且Z|H-Z2,

③不正确；

对于④，令复数4=c+di,c,deR,c2+d2*0,

由ZR=|小得％='=3=S'+解)—闻=叱+?)(；*)—,

Z|c+di(c+di)(c-di)c~+d~

则㈤=Jc?+d?=|zj,④正确，

故选B.

6.【答案】C

【解析】由己知得cos—+isin—=cos—+isin—

I66j66

(7l\..(71..71V31.

I6jI6j6622

/、7(rz

二复数cos三+isin三在复平面内所对应的点的坐标为一一，-7，位于第三

I66)[22)

象限，

故选C.

7.【答案】B

【解析】由题意得,设复数Z[=4(cos8]+isinq),z2=r2(cos02+isin02),

由西，运，得4=4+90°或4=2-90°,

Z]r(cos6>,+isin6>.)r.....

r[COS/Z(12)+1Sm(/Zl1n2)J

t^(coS^isin.2)^'

='[cos(±90。)+isin(±90。)]=土'i,

rirz

z.

所以」•为纯虚数，故选B.

Z2

二、多选题.

8.【答案】BD

【解析】由题意得：

对于选项A：目="行=而，故A错误;

对于选项B：z在复平面内对应的点的坐标表示为(2,-3),位于第四象限,

故B正确；

对于选项C：根据共腕复数的定义z的共加复数为I=2+3i，故C错误;

对于选项D：z(/w+4i)=(2—3i)(w+4i)=2m+12+(8—3m)i,

若z(m+4i)是纯虚数，贝lj2m+12=0,解得加=-6,故D正确，

故选BD.

9.【答案】BC

【解析】设复数z=a+8i(a,OeR).

因为|z|=|z-l|=l,且复数z对应的点在第一象限，

院+/=1L=1

7

所以9解得

a>0,b>0/?=—

2

即Z」+乌.

22

对于A：复数z的虚部为无，故A错误；

2

17s.

------1

对于B•-=-----------------=--—i,故B正确；

.z°22

〔22人22J

对于C：因为z?=—+-^-i-——+—工,173.

一1,z-1=---1---1

I22J2222

所以z2=z—1，故C正确；

对于D：复数z的共粗复数为1-立i,

故D错误，

22

故选BC.

三、填空题.

10.【答案】A/2

【解析】因为⑴2°2=i,

产：产二,一，

Ll-iJ［(l-i)(l+i)_|I2J

/.\2022_____

所以(i严言1J=|-i+i|=VTTT=V2,

故答案为④.

11.【答案】2

【解析】由题意知，|z-1|=|cos-1+isin^|=^(cos^-l)2+sin20=>/2-2cos^>

当cos6=T时，|Z-LX=2,

故答案为2.

12.【答案】9兀

【解析】由条件知lz-i|=3,所以点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心，以3为半径

的圆，

故其面积为S=9K,

故答案为97r.

四、解答题.

13.【答案】(1)机=2或加=一1；(2)-1</?/<1；(3)m=2.

［解析］(1)•••复数z=(小一加一2)+(加一3m+2)i对应的点为

irr-m-2,nr-3m+2),

由题意得〃，一加一2=0，解得加=2或m=一1.

-m-2<0-1<m<2

(2)由题意得

-3m+2>0m<1或根>2

(3)由题得77?—加一2=m2—3加+2,m=2.

14.【答案】(1)z=l+i或z=—l—i；(2)1.

【解析】(1)^z=x+yi(x,^eR),收+尸=血,/+9=2①,

Z2=%2-9+2书4的虚部为2,所以2孙=2,孙=1②,

X=1V=—1

由①②解得(，或「，，

y=]1x=_]

所以z=l+i或z=-1—i.

(2)当z=l+i时，z?=2i，z—z2=l—i，

所以4(1,1),网0,2),。(1,一1),|4。=2,

所以三角形ABC的面积为gxlx2=l；

当z=-1—i时，z2=2i»z—z2=-1—3i,

所以A(-1,-1),B(O,2),C(-l,-3),\AC\=2,

所以三角形ABC的面积为gx2xl=l.

15.【答案】(1)z=l+2i；(2)1.

【解析】(1)设2=4+0(a,/eR),则Z=a—历，

2z+z=2(a+/?i)+(Q-bi)=3Q+历=3+2i,

3a=3fa=1

所以Lc，即Lc，

b=2[b=2

所以z=l+2i.

(2)将z=l+2i代入已知方程可得(l+2iy+p(l+2i)+q=(),

整理可得(2p+4)i+(p+9-3)=0,所以„_3=o,解得|；=5

zl+2i(l+2i)(-2-i)-5i

fijr以---------=-----=-....------=--=—1.

见4)i-2+i(-2+i)(-2-i)5'

,,z

又卜i|=l，所以复数万而』的模为1.

暑假练习04立体几何（一）

一、单选题.

i.下列说法中正确的个数为（）

①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；

②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥；

③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；

④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥.

A.4B.3C.2D.1

2.一个正四棱锥的侧棱长为10,底面边长为60，该四棱锥截去一个小四棱锥

后得到一个正四棱台，正四棱台的侧棱长为5,则正四棱台的高为（）

A.5B.4C.3D.2

3.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且

077=2,则原平面图形的周长为（）

A.4拒+4B.4x/6+4

C.8夜D.8

4.己知某圆锥的母线长为3,底面圆的半径为2,则圆锥的表面积为（）

A.10乃B.12"C.14万D.16乃

5.如图，圆锥P。的底面直径和高均为4,过P。的中点0'作平行于底面的截

面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是（）

6.已知三棱锥的三条侧棱长均为2,侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰

三角形底上的高为石，则这个三棱锥的表面积为（