2022届旧高考数学（文）开学摸底测试卷8

2022届旧高考数学（文）开学摸底测试卷8

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分）

1.若复数z满足=l+则复数z在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合A=—2<1—x<3},B=W6x},则（6RA）C5=（）.

A.（3,6]B.（2,6]c.{3,4,5,6}D.{4,5,6}

正项等比数列中，则％1的值是（）

3.{a“}%=2,tz4-«6=64,

A.256B.128c.64D.32

4“中国剩余定理”又称“孙子定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020

这2020个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a,,},则此数列的项数为（）

A.167B.168C.169D.170

5.“854=0”是飞皿4=1”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.正三棱柱ABC—AAC中，AB=2，A4,=2,该三棱柱的外接球的体积­为（）

8.已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为0，且。Z+百赤+2反=6，则反•丽的值为（）

1—^3^3—16+16+1

A.-----15.-----。U.

2222

10

9.若直线⑪+切-2=0（。,6>0）始终平分・圆工2+3;2-2%—4/—16=0的周长，则一+—的最小值为

ab

79

A.—B.4c.一D-372

22

10.已知函数/'（x）=|l-4sinxcosX,下列结论错误的是（）

A./（x）的最小正周期为兀B.曲线y=.f（x）关于直线％=一£对称

C.方程〃力=收在1一兀,兀|上有4个不同的实根

11.设“，人为两条不同的直线，a,夕为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若。〃a,b"a,则。〃匕B.若。〃a,则。_£人

C.若々〃a,all/?,则a〃/?D..若a_La,b10,a_L〃，则a〃/?

12.已知△ABC三内角A,8,C的对边分别为a,Z?,c,且GccosA+asinC=0,若角A平分线段3c于

D点,且4）=1，则Z?+c的最小值为（）

A.2B.2百C.4D.3夜

第n卷客观题（共90分）

二、填空题：（每小题5分，共20分）

一,）6的展开式中的常数项是.

13.若

X

14.《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星

象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居

上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取

一数，则其差的绝对值为5的概率为

x>0

00-0-0-0-00

15.设满足约束条件<x+y<3则目标函数z=上-的最大值是.

x+1

x+2y>4

22

16.已知椭圆。：二+2=1（4＞。〉0）的左、右焦点分别为耳，F2,p为第二象限内椭圆上的-

a。b~

点，连接「工交》轴于点N，若所.丽'=0，|耳K|=4|0N],其中0为坐标原点，则该椭圆的离心率为

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，其中22题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤。）

17.（本小题满分12分）

已知等差数列｛4｝的公差北0,且4+4+4=6，a2,a4,4成等比数列，若数列抄,）满足：

b.b、,b1,3

—+^+L+—n!!-=—x3+|——,neN.

a

44n+i22

（1）求数列｛4｝的通项公式；（2）求数列｛d｝的前"项和S”.

18.（本小题满分12分）

某种治疗新型冠状病揖感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，为了提

高产品质量，我国•医疗科研专家攻坚克难，新研发出A、8两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数

量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85时为废品，指标值在

[85,115）为一等品，大于115为特等品.现把测量数据整理如下，其中8配方废品有6件

A配方的•频数分布表

质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)

频数8a36248

(1)求a,Z?的值；(2)试确定A配方和B配方哪一种好？(说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区间

的中点值作为代表)

19.(本小题满分12分)

如图，三棱锥P—A6。，。一BQ9均为底面边长为2石、侧棱长为生8的正棱锥，且四边形A8C0是边

3

长为2百的菱形(点只。在平面ABCD的同侧)，AC,BD

交于点。.

(1)证明：平面PQO_L平面ABC。；，卜-力‘"

(2)求点p到平面QBC的距离.

20.(本小题满分12分)

已知抛物线C:y2=2px(〃>0)的焦点为尸，过点尸且垂直于x轴的直线与C交于A,B两点，4AOB(点O

为坐标原点)的面积为2.

(1)求抛物线C的方程；(2)若过点£(0,a)(a>0)的两直线/,,/2的倾斜角互补，直线/(与抛物线C

交于M,N两点，直线《与抛物线。交于P,。两点，△尸MN与△尸PQ的面积相等，求实数。的取值范围.

21.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=21nx+4ar-x2-1(awR).

(1)当a=0时，试判断函数/(x)的单调性；

(2)若a>0,且当xw(l,+8)时，/(x)W0恒成立.〃力=0有且只有一个实数解，证明:

c3

4

22.（本小题满分10分）

x=2+2cosa

在平面直角坐标系中，P为曲线£：＜1.为参数）上的动点，将尸点纵坐标变为原来

^=—sina

的2倍，横坐标变为原来的一半得到点。，记点。的轨迹为C2，以坐标原点。为极点，》轴非负

半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线G的极坐标方程；

（2）A,B是曲线G上不同于。的两点，且A（0M，B卜，求|。4|一6|。目的取

值范围.

2022届旧高考数学（文）开学摸底测试卷8

一、选择题:

题号123456789101112

选项DCAcBADACcBD

1.【参考答案】D

【题目解析】•••（z-l"=l+i,1+,（i+川，，复数z在复平面内对应的

/.Z=------F1=--+1=2-/

ii2

点（2,-1）在第四象限，故选D

2.【参考答案】C

【题目解析】•••A={x|—2<l—x<3}={x[—2<x<3},

B={xeN|x2<6x}={0,1,2,3,4,5,6},

：.dRA^[x\x<-2^x>3],：.（金A）c8={3,4,5,6}.故选C.

3.【参考答案】A

【题目解析】设正项等比数列{%}的公比为4,%=2，%4=64,

2

atq=2,aJ/=64,解得夕?=4,

则空区=.=256.

q+a2

4.【参考答案】C

【题目解析】由题意得，能被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数，所以,

20311

nwN*,由4<2020,B|J12n-ll<2020,所以〃4——=169+-,由“wN*,所以此数列

124

的项数为169.

故选C

5.【参考答案】B

【题目解析】cosA=0,sinA=±l,若sinA=l,则cosA=（）,

所以“cosA=0”是“sinA=1”的必要不充分条件.

6.【参考答案】A

【题目解析】函数/(同=三等的定义域为(F,0)"0,”)，且〃x)=，等，

/(_力=咋4=."2所以，函数“X)为偶函数，排除BC选项；

2I2-2I2

当0<x<l时，Inx<0,则-<o,排除D选项.故选A.

八'2X+2-X2X+2-X

7.参考答案】D

【题目解析】外接球的球心在上下底面重心的连接线段的中点上，底面重心到棱柱顶点

的距离为球心距底面的重心的距离为1,外接球的,半径R=、国m=@,

3V33

所以该三棱柱的体积V=&无代=型叵.

327

8.【参考答案】A

ULI_UUUUUU1

【题目解析】由题设。4+605=-20C，两边平方可得=所以

OA，G而，2鸵构成直角三角形.方，无夹角,，0B，反夹角军，

50

UUUUUUUUUUUUUUU1UU15兀2711—y)3If、川

OC,AB-OC•OB—OC,OA=coscos—=-------.p/J2tA

632

9.【参考答案】C

【题目解析】•.•直线双+力—2=0(a,b>0)始终平分圆/+/一2%一4y—16=()的周长，

直线⑪+切-2=0过圆心(1,2),

：.a+2b-2^Q,即a+2Z?=2,

a>0,b>0,

\ba9

L2JL2）…=l（i+竺+生+4）/+空三+2.—x—

ab2ab2ab2ab2ah2

10.【参考答案】c

l-2sin2x,sin2x<—

【题目解析】f(-^)=|1-4sinxcosx\=|1-2sin2x\=<；

2sin2x-l,sin2x>—

作出/(x)在[-兀，句上的图象(先作出y=-2sin2尤的图象，

再利用平移变换和翻折变换得到y=|l-2sin2x|的图象)，如图所示，

由图可知A、B、D正确，C错误.

11.【参考答案】B

【题目解析】由。，b为两条不同的直线，a,£为两个不同的平面,

在A中，若a"a,b//a,则。与相交、平行或异面，故A错误;

在B中，若。〃々，)J_a,则a_L。，故B正确；

在C中，若a〃a,a///3,则a与夕相交或平行，故C错误；.

在D中，若。，。，bL[3,aA.b,则由面面垂直的判定定理得aJ•尸，故D错误.

12.【参考答案】D

【题目解析】由及正弦定理，WV3sinCcosA+sinAsinC=0,

因Ce(0,兀)，sinCVO,所以GeosA+sinA=0,即tanA=-8,

又Ac(Oi),所以A=127c.如图，

60°

D

^△ABC=S仆ABD+SAACD，

所以10c-sinl20o=Lc.i.sin600+L0lsin60°,

222

所以bc=/?+c,即』+'=1,

bc

(11\be[h­c

/.(/?+c)--d•—=2+—+—22+2J—x—=4,当且仅当c=〃，bc=b+c,即c=〃=2时，

\bc)cbyeb

等号成立，所以6+c的最小值为4.故选D.

二、填空题：

13.【参考答案】整

16

【题目解析】(手-g)6的展开式中的常数项是C：1g；(-1)2=j|

14.【参考答案】—

【题目解析】..•阳数为1,3,5,7,9；阴数为2,4,6,8,10,

从阳数和阴数中各取一数的所有组合共有5x5=25个，

满足差的绝对值为5的有(L6),(3,8),(5,10),(7,2),(9,4)共5个，

51

贝小〃=五'

15.【参考答案】3

【题目解析】画出可行域如下图阴影部分所示，目标函数2=匕=看彳，表示可行域

A+1X-(T)

内的点和点A(-l,0)连线的斜率，由图可知，其最大值为原°=3

y

【参考答案】叵

3

【题目解析】因为所「至=0,所以NKP玛=90。，由题意可得△KONSAKP/"则

|尸制IONI

闸门网’

因为.厉闾.=.4|.QV|,所以|O西N|=51,所以\PF.局\=|O局N|=51•因为.忸制.+,1尸,段=2%所以

阀|若,I叫哼，所以附|，附「=府,可得茅+号=4,2,解得

三、解答题：

【参考答案】（1）a,=n.（2）S“=竿

【题目解析】（1）因为4+%+%=6,所以由等差数列的性质得34=6,即%=2,

因为%,色，G成等比数列，所以。2a8=4，

即〃2（。2+6"）=（。2+2d1，

又d工0,a2=29所以4=1,4=1,

所以4=〃.

（2）因为2+%+L+互=；乂3"+|一白，

。2。3。〃+122

区=2==3

所以当〃=1时，。222,所以4=6

久+殳+L+红=lx3,,+13

a22

当〃22时，由＜2

b,b-,,h„,13

,+工+L+a=—x3”——

a2a3an22

b1313

得」n-干3〃+]_±_±X3〃+2=3〃

an+\2222

所以或=(〃+1)3",

所以S“=4+&+L+d=2x3+3x3?+L+5+1)3”,

3s“=2x3?+3x3?+L+(〃+1)3向,

所以

32n+l

-25„=2X3+32+33+L+3"—5+1)3'用=6+-(n+l)3n+,=---—x

2H+1„I3

所以S“X3+

44

18.【参考答案】（1）24，0.026；（2）B配方好些，详见题目解析.

【题目解析】（1）依题意，A,5配方样本容量相同，设为“，

又8配方废品有6件，由8配方的频频率分布直方图,

得废品的频率为9=0.006x10,解得〃=100,

n

.••“=100—(8+36+24+8)=24.

由(0.006+b+0.038+0.022+0.008)x10=1,解得力=0.026,

因此人的值分别为24,0.026.

（2）由（1）及A配方的频数分布表得,

80x8+90x24+100x36+110x24+120x8

A配方质量指标值的样本平均数为1

100

200x8+200x24+100x36

--------------------------=10()

100

质量指标值的样本方差为:

2222

=_1_[(_20)X8+(-10)X24+0X36+10X24+20X8]=112；

由8配方的频频率分布直方图得，

B配方质量指标值的样本平均数为：

=80x0.06+90x0.26+100x0.38+110x0.22+120x0.08=100>

质量指标值的样本方差为：

5_~

S；=Z(X,一x)Pi=(-20)2X0.06+(-10)2x0.26+OxO.38+lO2x0.22+202x0.08=104,

/'=1

综上XA=XB'SA>'

即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A配方质量指标值不够稳定，

所以选择8配方比较好.

19.【题目解析】(1)如图所示，连接PO,OQ,PQ,

因为PB=PD，。为8。的中点，所以

同理可得

又由POnOQ=。，PO,OQu平面尸OQ,所以8。，平面POQ.

又因为BDu平面48C。，所以平面POQ，平面ABCD(5分)

(2)如图所示，分别过尸，。作平面ABC。的垂线，垂足分别为。一。2,

则。一。2在AC上，且。，。2分别为A。，OC的三等分点，

且「0"/。。2，PO,=QO”POJO02,所以四边形尸。。2。为矩形，

所以PQ//AC,且PQ=O02=2xgAO=|AO='x*x2^=2,

所以=JA尸一Aoj=JAP?-00；=竽-4=孚，

取8C的中点E,则QE=JQB2_8£2=

又由（1）得平面POQ，平面ABC。,

而平面POQCI平面A3CE>=AC,BO1AC,所以30,平面PQC,

设点P到平面QBC的距离为d,则由V'-QBC=^H-PQCi可得，S4Q8c•d――S4Poe•80,

即LQE.BE.dJxLpQ.POjBO,即叵*岛=2x2x空x6,

332323

解得d=冬夕，点P到平面QBC的距离为2互.（12分）

77

20.【题目解析】（1）因为焦点尸[5,0卜所以点AB的坐标分别为1日,pj,U,-p

所以S*=；・2p£=2,故p=2.

故抛物线C的方程为丁=4x.（4分）

（2）由题意可知直线4,4的斜率存在，且不为0,设直线4：x=/（y-a）.

点M（X，y），N

[y2=4x

联立方程可得./、，消去x,可得/一4。+4〃=0.

贝见=16r-16G>0.

因为%+%=401%=4成,

所以|MN|=71+r|X-%I=J1+产J16,2_af）=4\!\+r\Jt2-at,

焦点/到直线4的距离d=唯驾，

J1+尸

所以kFMN=[x4Vn彳庐Kx早驾=2庐K|l+S|.

25+『

设直线l2：x=-t（y-a）,与抛物线方程联立可得A2=16『+16G〉0,

将f用T替换，可得甘△FPQ=2jj+〃M—l|

由S&FMN=S&FPQ可得2ylit。-at|1+-2>/厂+at卜a—1|，

即士=竺三，两边平方并化简可得『=不二，

Vt-ata-\2一。

所以2-〃>0,解得O<a<0.

又由4>0且4>0得，<一。或，>a，可知”>。2,

所以丁二〉/,即*1）〉o,所以

2-。2-a2

所以实数。的取值范围是（0,l）U（l,忘）.（12分）

21.【题目解析】/