高二数学选修2数学归纳法

数学归纳法及其应用举例

数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论:【归纳奠基】〔1〕证明当n取第一个值n0〔如n0=1或2等〕时结论正确〔2〕假设n=k(k≥n0,n∈N*)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确〔3〕由〔1〕、〔2〕得出结论【归纳递推】注意：1、一定要用到归纳假设；2、看清从k到k＋1中间的变化。(1)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.例1:欲用数学归纳法证明2n>n2,试问n的第一个取值应是多少?答:对n=1,2,3,…,逐一尝试,可知初始值为n=5.一、证明中需要注意的问题例2:用数学归纳法证明3n>n2.此题在第二步的证明过程中在假设n=k时,3k>k2成立的基础上,当n=k+1时,要说明此式大于零,则必须k≥2.故在证明的第一步中,初始值应取1和2两个值.更多资源

例2.下面是某同学用数学归纳法证明命题

的过程.你认为他的证法正确吗?为什么

(1).当n=1时,左边=,右边=(2).假设n=k时命题成立即那么n=k+1时,左边

=右边,即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.

(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否那么就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系,造成推理无效.(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差异.弄清应增加的项.1.已知:,则等于()

A:B:

C:D:C练习：分析:找到“递推关系”就等于把握住解决问题的“灵魂”。有几项？

是什么,它比多出了多少，是首要问题。例3．对于n∈N*用数学归纳法证明：事实上f(k+1)不但比f〔k〕多一项，而且前k项中每一项分别比f〔k〕中多了1,2,3,4……kf(k+1)=f(k)+1+2+3+……+k证明：设f(n)=(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立(2)设当n＝k,时等式成立，即则n=k+1时，f(k+1)=1·(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+……+[(k+1)-2]·3+[(k+1)-1]·2+(k+1)=f(k)+1+2+3+……+k+(k+1)∴由〔1〕〔2〕可知当n∈N*时等式都成立。练习:用数学归纳法证明:(n+1)•(n+2)•…•(n+n)=2n•1•3•…•(2n-1)数学归纳法证明几何问题.例4:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.n图形f(n)1234…kK+1f(1)=0f(2)=1=f(1)+1f(3)=3=f(2)+2f(4)=6=f(3)+3f(k)f(k+1)=f(k)+k……证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又f(2)=2•(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立.(2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.另外,因为任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.又因为任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个交点也两两不相同.从而平面内交点的个数是k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2=[(k+1)-1](k+1)/2.这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为:f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2.根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都成立.说明:用数学归纳法证明几何问题,难点是处理好当n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.练习：平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.小结:1.与正整数有关的数学命题可以考虑用数学归纳法证明,但注意不要滥用.并非任何与正整数有关的命题都可以用它来证明。如果命题没有“递推”关系，数学归纳法将会失去其效力。2.掌握数学归纳法的实质与步骤3.数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起的,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等.归纳小结，自我整合,激升思维

思考：数列{an}中前n项和Sn与an满足Sn＝1－nan，试求{an}的通项更多资源

由于数学归纳法是证明与正整数有关的命题，数列是以正整数为定义域的特殊函数，而导数又是研究函数的重要工具，正是这一条知识链注定了数学归纳法必然以数列为背景。深入细致的研究近年来的高考试题，就会印证以上事实。纵观近几年与数学归纳法相关的高考试题，不难得出其命题特点：①很少单独命制大题，往往作为解答题中某一小问的形式出现，重在表达它的工具性作用。且常与数列结合去考查，有时还与函数、导数、不等式等内容相关联，以表达“在知识交汇处设计试题”的命题原那么。②试题特别注重加强对不完全归纳法的考查