2019年北京初中数学期中汇编：二次函数综合题（教师版）

2019年北京初中数学期中汇编：二次函数综合题

解答题(共22小题)

1.(2019秋•朝阳区校级期中)平面直角坐标系中，过点(趣，-2)的抛物线C可由抛物线y=平移得到，其

对称轴为直线x=l.

2

(1)求抛物线C的解析式;

(2)若平行于x轴的直线与抛物线C交于A、B两点，且以AB为直径的圆恰与x轴相切，求机的值.

1111A

1234x

2.(2019秋•西城区校级期中)已知抛物线y=-必+以+小将抛物线在y轴左侧部分沿x轴翻折，翻折后的部分和

抛物线在y轴右侧部分组成图形G,已知M(-3，1),N(1,1)

(1)求抛物线y=-必+©+〃的对称轴；

(2)当”=0时，

①若点A(-1,m)在图形G上，求机的值；

②直接写出线段MN与图形G的公共点个数.

(3)当〃<0时，若线段例N与图形G恰有两个公共点，直接写出”的取值范围.

3.(2019秋•西城区校级期中)关于x的一元二次方程渥+云+,=()(4>0)有两个不相等且非零的实数根，探究a,

b,c满足的条件.

小华根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小华的探究过程，第一步，设一

元二次方程〃/+法+°=0(a>0)对应的二次函数为y=ax2+%x+c(«>0)；

(2)参考小华的做法，解决问题：

若关于x的一元二次方程(，〃+5)x-2机=0有一个负实根和一个正实根，且负实根大于-1,求实数机的取

值范围.

4.(2019秋•西城区校级期中)定义：对于平面直角坐标系xOy上的点P(a,b)和抛物线丫=/+以+4我们称P

(a,b)是抛物线尸=/+以+匕的相伴点，抛物线y=x2+ax+b是点P(a,b)的相伴抛物线.

如图，已知点A(-2,-2),B(4,-2),C(1,4).

(1)点A的相伴抛物线的解析式为；过A,8两点的抛物线y=x2+ax+b的相伴点坐标

为;

(2)设点P(a,b)在直线AC上运动：

①点尸(a,6)的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线。上，求抛物线。的解析式；

②当点尸(a,b)的相伴抛物线的顶点落在aABC内部时，请直接写出。的取值范围.

5.（2019秋•西城区校级期中）对某一个函数给出如下定义：若存在实数例>0,对于任意的函数值y,都满足-

M0WW,则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值.例如，右图中

的函数是有界函数，其边界值是1.

（1）分别判断函数丫=工（x>0）和y=x+2（-4<x<2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；

x

（2）若函数y=-x+2Ca<x<b,b>a）的边界值是3,且这个函数的最大值也是3,求6的取值范围;

（3）将函数y=N（-\<x<m,m>0）的图象向下平移机个单位，得到的函数的边界值是3

当机在什么范围时，满足旦5江1?

6.（2019秋•西城区校级期中）抛物线Fi：y=ax2+hx-11）与x轴交于点A、B（点A在点8的左侧），与y轴

于点C,已知点4的坐标为（-工，0）,

a

（1）直接写出6=（用含a的代数式表示）；

（2）求点B的坐标；

（3）设抛物线F,的顶点为Pi,将该抛物线平移后得到抛物线B，抛物线F2的顶点B满足P^Pi//BC,并且抛

物线尸2过点8,

①设抛物线尸2与直线8c的另一个交点为。判断线段BC与CD的数量关系（不需证明），并直接写出点。的

坐标;

②求出抛物线尸2与y轴的交点纵坐标的取值范围.

JA

5-

4-

3-

2-

1-

j1__।>

-5-4-3-2-10~12345%

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

7.（2019秋•海淀区期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=f+6x+c与直线y=x+l交于A,B两点，其中点A

在x轴上.

（1）用含有6的代数式表示C；

（2）①若点2在第一象限，且AB=3b,求抛物线的解析式:

②若A生3加，结合函数图象，直接写出h的取值范围.

8.【概念认识】

城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.可

以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy,对两点A（xi，yi）和8（范，”），用以下方式定义两点

间距离：d（A,B）=ki-刈+M-

【数学理解】

(1)①已知点A(-2,1),则dCO,A)=.

②函数y=-2x+4(0。a2)的图象如图①所示，B是图象上一点，d(O,B)=3,则点8的坐标是

(2)函数>=匹(x>0)的图象如图②所示.求证：该函数的图象上不存在点C,使d(0,C)=3.

x

(3)函数>=炉-5/7(x>0)的图象如图③所示，。是图象上一点，求"(0,D)的最小值及对应的点。的坐

标.

【问题解决】

(4)某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直

角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？(要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由)

9.(2019•门头沟区二模)在平面直角坐标系X。)，中，抛物线>=加-2依-3〃(存0)顶点为P,且该抛物线与x轴

交于48两点(点A在点B的左侧).我们规定：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”(不包含边界);

横、纵坐标都是整数的点称为整点.

(1)求抛物线了=,4-2ax-3〃顶点P的坐标(用含a的代数式表示)；

(2)如果抛物线y=ar2-2ax-3a经过(1,3).

①求a的值；

②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的个数.

(3)如果抛物线yna/Tax-3a在“G区域”内有4个整点，直接写出”的取值范围.

10.（2019春•昌平区期中）学习函数知识后，可以借助函数的知识解决方程或不等式的相关问题，如“解方程：2x-

2=0"，既可以直接解方程求解，也可以用函数的知识进行求解，解题思路如下：方程Zt-2=0可以看成是函数

y=2x-2的函数值y=0的情况，该方程的解则是对应的自变量x的取值，解为x=l：该问题也可以借助函数图

象解决，如图1,方程2%-2=0的解对应的是函数y=2x-2的图象与x轴交点（点A）的横坐标所以x=I.

同样，不等式的问题也可以借助函数知识解决，如“解不等式2x-2>0"，既可以直接解不等式进行求解，也可以

把不等式微-2>0看成是函数y=2x-2的函数值y>0的情况，该不等式的解集就是对应的自变量x的取值范

围，所以x>l：借助函数图象，如图1,不等式2x-2>0的解集对应的是函数y=2x-2的图象在x轴上方的部

分点的横坐标取值范围，所以该不等式的解集是x>l请解决如下问题：

（1）函数尸加（〃人"为常数）的图象如图2所示，请回答：

①方程mx-n=0的解为；

②不等式mx-n>3的解集为；

（2）函数y=/-左的图象如图3所示，请回答：

①方程N-版=0的解为；

②不等式炉-2r>0的解集为；

③不等式x2-2%-3<0的解集为；

（3）知不等式（标+1）犬+3>0的解集是x>-2,请在图4中画出y=）》+3的图象.

11.在平面直角坐标系xO)，中，直线y=fcr+匕(原0)与抛物线-4or+3a的对称轴交于点A(m,7),点A

关于x轴的对称点恰为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的对称轴及a的值；

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记直线(厚0)与抛物线围成的封闭区域(不含边界)为W.

①当％=1时，直接写出区域卬内的整点个数；

②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求〃的取值范围.

12.在平面直角坐标系，中，点A(-4,-2),将点A向右平移6个单位长度，得到点B.

(1)直接写出点B的坐标；

(2)若抛物线y=+版+c经过点A,B,求抛物线的表达式；

(3)若抛物线y=+法+c的顶点在直线y=x+2上移动，当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时，求抛物

线顶点横坐标f的取值范围.

珞

5-

4-

3-

2-

1-

1IIIIIII11,

-5-4-3-2-1012345x

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

13.在平面直角坐标系x。)，中，已知抛物线-4or+3a.

(1)求抛物线的对称轴；

(2)当。>0时，设抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧)，顶点为C,若△ABC为等边三角形，求

。的值；

(3)过T(0,f)(其中-IS合2)且垂直y轴的直线/与抛物线交于M,N两点.若对于满足条件的任意“直,

线段的长都不小于1,结合函数图象，直接写出”的取值范围.

5-

4-

3-

2-

1-

।।।।।______।।।।।»

-5-4-3-2-1O12345x

-1-

-2-

-3-

-4-

14.在平面直角坐标系xOy中，抛物线>=〃上一4nx+4〃-1(〃邦)，与无轴交于点C,。(点。在点。的左侧)，与

y轴交于点A.

(1)求抛物线顶点M的坐标；

(2)若点A的坐标为(0,3),A3〃x轴，交抛物线于点3,求点3的坐标；

(3)在(2)的条件下，将抛物线在B,C两点之间的部分沿y轴翻折，翻折后的图象记为G,若直线y='+〃?

与图象G有一个交点，结合函数的图象，求机的取值范围.

15.定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差_y-x称为P点的“坐标差”,

而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”.

(1)①点A(1,3)的“坐标差”为；

②抛物线y=-/+3x+3的“特征值”为；

(2)某二次函数y=-必+bx+c(c¥0)的“特征值''为-1,点8(m,0)与点C分别是此二次函数的图象与x轴

和y轴的交点，且点8与点C的“坐标差”相等.

①直接写出〃2=；(用含c的式子表示)

②求此二次函数的表达式.

(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，以M(2,3)为圆心，2为半径的圆与直线y=x相交于点£＞、E,请直

接写出。M的“特征值”为.

16.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx1-4mx+4m+3的顶点为A.

(1)求点A的坐标；

(2)将线段04沿x轴向右平移2个单位长度得到线段OW.

①直接写出点。，和的坐标；

②若抛物线尸如2-4〃?x+4m+3与四边形AOO4有且只有两个公共点，结合函数的图象，求皿的取值范围.

'x-y（当x>y时）

17.在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x,y）,如果点Q（x,的纵坐标满足？=<

.y-x（当x〈yB寸）

称点Q为点P的“关联点

（1）请直接写出点（3,5）的“关联点”的坐标；

（2）如果点P在函数y=x-2的图象上，其“关联点”。与点P重合，求点P的坐标；

（3）如果点例0”，n）的“关联点"N在函数y二源的图象上，当把团立时、求线段MN的最大值.

18.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-炉+，加+”与x轴交于点A,8（A在8的左侧）.

（1）抛物线的对称轴为直线x=-3,AB=4.求抛物线的表达式；

（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点0,且与x正半轴交于点C,记平移后的抛物线顶点为P,

若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；

（3）当初=4时，抛物线上有两点M（xi,yi）和N（必以），若无i<2,及>2,XI+^2>4,试判断yi与”的大

小，并说明理由.

19.阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该

点的“特征线”.例如，点M（1,3）的特征线有：x=l,y=3,y=x+2,y=-x+4.

问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形04BC,点8在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物

线yn3x-m)24n经过B、C两点，顶点。在正方形内部.

(1)直接写出点。(机，")所有的特征线；

(2)若点。有一条特征线是y=x+l,求此抛物线的解析式；

(3)点P是A8边上除点A外的任意一点，连接0P,将△0A尸沿着0P折叠，点A落在点4的位置，当点A，

在平行于坐标轴的。点的特征线上时，满足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？

20.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=--/疼+1的对称轴是直线x=l.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点。(“，》)，E(3,丫2)在抛物线上，若%＜以，请直接写出〃的取值范围；

(3)设点M(p,1?)为抛物线上的一个动点，当时，点M关于y轴的对称点都在直线y=fcc-4的上

方，求k的取值范围.

21.对于二次函数y=/-3x+2和一次函数y=-2r+4,把丫=，(x2-3x+2)+(1-r)(-2r+4)称为这两个函数的

“再生二次函数”，其中，是不为零的实数，其图象记作抛物线L.现有点A(2,0)和抛物线L上的点8(-1,

〃)，请完成下列任务：

【尝试】

(1)当t—2时，抛物线y—t(x2-3x+2)+(1-r)(-2x+4)的顶点坐标为

(2)判断点A是否在抛物线L上；

(3)求〃的值;

【发现】

通过(2)和(3)的演算可知，对于r取任何不为零的实数，抛物线乙总过定点，坐标为

【应用】

二次函数y=-3/+5x+2是二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求

出，的值；如果不是，说明理由.

22.已知：〃?、〃是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且mV",抛物线y=-x2+fov+c的图象经过点A(,〃，0)、B

(0,M).

(1)求这个抛物线的解析式；

(2)设(1)中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为O,试求出点C、。的坐标和△BCD的面积；

(3)P是线段OC上的一点，过点尸作轴，与抛物线交于4点，若直线BC把△「＜?//分成面积之比为

2：3的两部分，请求出P点的坐标.

2019年北京初中数学期中汇编：二次函数综合题

参考答案与试题解析

解答题（共22小题）

1.（2019秋•朝阳区校级期中）平面直角坐标系中，过点（尚，-2）的抛物线C可由抛物线y=平移得到，其

对称轴为直线

2

（1）求抛物线C的解析式；

（2）若平行于x轴的直线＞=，"与抛物线C交于A、8两点，且以AB为直径的圆恰与x轴相切，求机的值.

【分析】⑴设抛物线C的解析式为尸-（x-1）2+%,将点-2）代入解析式，可求解;

（2）可设圆心M坐标为（工，机），可得点A（工+口,机），代入解析式可求解.

22

【解答】解：⑴设抛物线C的解析式为y=-（x-1）^+k,过点（,，-2）,

...-2=-（0-』）2+k,

22

:*k=2.

...抛物线C的解析式为y=-（X-2）2+2；

2

（2）设AB为直径的圆的圆心为点M，则点M在对称轴上,

.,.点M（A,〃?），

2

V以AB为直径的圆恰与x轴相切,

，点A(―+/M,m),

2

•••点A在抛物线C上,

.".m—-（,—+m-—）2+2,

22

•'•mi—~2,m2—1.

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质等知识，要充分运用抛物线及圆

的对称性解答本题.

2.（2019秋•西城区校级期中）已知抛物线y=-/+4X+小将抛物线在），轴左侧部分沿x轴翻折，翻折后的部分和

抛物线在y轴右侧部分组成图形G,已知1）,N（-1,1）

（1）求抛物线y=-炉+4》+”的对称轴；

（2）当〃=0时，

①若点A（-1,机）在图形G上，求机的值;

②直接写出线段与图形G的公共点个数.

（3）当〃<0时，若线段MN与图形G恰有两个公共点，直接写出〃的取值范围.

【分析】（1）由对称轴公式直接可求;

（2）①由函数的对称性可知，点A（-1,小）在图形G上，则点（-1,-m）在）=-/+4x上；②画出图象，

可知线段与图形G的公共点有三个；

（3）y—x2-4x-〃与y轴的交点在y轴的正半轴上，当（0,1）在y=/-4x-n上时，，n=-1,止匕时-r+氧-

1=1时N-我+2=0解得》=2+我，x=2-a，此时-4x-〃与线段A8有两个不同的交点；当-r+4》+”

=1,即/-©+1-"=0,△=16-4（1-〃）=12+4〃=0时，此时G与线段A8有一个交点，则可确定在这两

种情况之间时，G与线段A8有两个不同的交点.

【解答】解：（1）y=-r+4x+〃的对称轴为1=2；

(2)当〃=0时，y=-N+4x,

①点A(-1,m)在图形G上，则点(-1,-机)在产-x2+4x±,

-m=-1-4=-5,

7W=5；

②画出图象，可知线段MN与图形G的公共点有三个；

（3）抛物线y=-/+4x+〃的左侧沿x轴翻折后的解析式为丫=3-4x-

V/t<0,

・•・-7?>0,

・・.y=/-4x-九与y轴的交点在y轴的正半轴上，

如图1：当(0,1)在y=x2-Ax-n上时，n=-1,

此时-x2+4x-1=1时/-4x+2=0,

解得x=2+&,x=2-V2>

/.y=x2-4x-n与线段AB有两个不同的交点，

如图2：当-x2+4x+n—1>BR%2-4x+l-n—0,

△=16-4(1-«)=12+4〃=0时，

n--3,

此时G与线段AB有一个交点,

A-3<n<-1时线段MN与图形G恰有两个公共点.

【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键.

3.（2019秋•西城区校级期中）关于x的一元二次方程渥+云+,=（）（4>0）有两个不相等且非零的实数根，探究a,

b,c满足的条件.

小华根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小华的探究过程，第一步，设一

元二次方程+匕x+c=o（«>0）对应的二次函数为y=ox2+/；x+c（«>0）；

第二步：借助二次函数图象.可以得到相应的一元二次方程中a,b,c满足的条件，列表如下:

方程两根的情况对应的二次函数的大致图象a,b,c满足的条件

方程有两个不相等的负实根'a>0

A=b2_4ac^>0

4。

Na

c>0

①方程有两个异号的实数根'a>0

*

c<0

方程有两个不相等的正实根'a>0

△>0

③「书〉0—

2a

②―1c〉0

（1）请帮助小华将上述表格补充完整;

（2）参考小华的做法，解决问题：

若关于x的一元二次方程（〃计5）x-2m=0有一个负实根和一个正实根，且负实根大于-1,求实数机的取

值范围.

【分析】（1）有题意即可求解；

（2）由讨论中的第二种情况，可得：c>0,且x=-l时;y>0,即可求解.

【解答】解：（1）有题意得：①答案为：方程有两个异号的实数根；

②答案如图所示；

③答案为：a>0,A>0,一旦>0,c>0；

2a

(2)由讨论中的第二种情况，可得：c<0,且x=-l时，y>0,

即-2mV0且y=l+(〃?+5)-2m>0,

解得：0<%<6.

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，主要考查的是函数的基本性质，关键在于理解题意，按照题设的思路

和逻辑求解即可.

4.(2019秋•西城区校级期中)定义：对于平面直角坐标系X。了上的点尸(a,b)和抛物线y=x2+nx+Z>,我们称P

(a>b)是抛物线产好+"+方的相伴点，抛物线y=x2+ax+b是点P(a,b)的相伴抛物线.

如图，已知点A(-2,-2),B(4,-2),C(1,4).

(1)点A的相伴抛物线的解析式为y=♦-2x-2；过A,2两点的抛物线y=/+or+8的相伴点坐标为—上

2,-10)；

(2)设点P(a,b)在直线AC上运动：

①点尸(«,b)的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线。上，求抛物线。的解析式；

②当点P(«,h)的相伴抛物线的顶点落在aABC内部时，请直接写出a的取值范围.

【分析】(1)a=h=-2,故抛物线的表达式为：y=/-2x-2,故答案为：y=/-2x-2：将点A、8坐标代入

y—x2+ax+h并解得：a=-2,b=-10；

(2)①直线AC的表达式为：y=2x+2,设点P(m,2m+2),则抛物线的表达式为：y=x2+ntx+2m+2,顶点为：

(--m,--W2+2/M+2),即可求解；

24

②如图所示，。抛物线落在△ABC内部为EF段，即可求解.

【解答】解：⑴a=b=-2,故抛物线的表达式为：y=N-2x-2,

故答案为：y=x2-2x-2；

将点A、8坐标代入y=/+ar+b并解得：a—-2,b--10,

故答案为:(-2,-10)；

(2)①由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=2x+2,

设点PCm,2m+2),则抛物线的表达式为：y=x2+mx+2m+2,

顶点为：--m2+2m+2),

24

令x=--in,则m--2x,

2

则y=--m2+2m+2=-x2-4x+2,

4

即抛物线。的解析式为：y=-/-4x+2；

抛物线与直线AC的交点为点E(0,2)；

当y=-2时，即y=-/-4x+2=-2,解得：x=-2±2«,

故点尸(-2+2加，-2)；

故0<x<-2+2&,由①知：a=m=-2x,

故：4-4^/2<«<0.

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，这种新定义类题目，通常按照

题设的顺序逐次求解.

5.(2019秋•西城区校级期中)对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0,对于任意的函数值y,都满足-

则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值.例如，右图中

的函数是有界函数，其边界值是1.

(1)分别判断函数>=工(x>0)和)，=x+2(-4<x<2)是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；

x

(2)若函数y=-x+2(a<x<b,b>a')的边界值是3,且这个函数的最大值也是3,求b的取值范围；

(3)将函数y=/(-i<x<m,,„>0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是

当，〃在什么范围时，满足旦W曰？

4

【分析】⑴在x的取值范围内，尸工(x>0)的y无最大值，不是有界函数；y=x+2(-4<x<2)是有界函数，

x

其边界值是4；

(2)由一次函数的增减性，可得当x=“时，加3=3,当x=6时，y=-6+2,由边界值定义可列出不等式，即

可求解；

(3)先设m>1,函数向下平移机个单位后，x=0时.，y=-m<-\,此时边界值与题意不符，故，

判断出函数所过的点，结合平移，可求04m4［或

【解答】解：(1)；y,(x>0)的y无最大值，

了。不是有界函数；

•・〉=x+2(-4<x<2)是有界函数，

当x=-4时，y=-2,

当x=2时，y=4,

对于-4心2时，任意函数值都满足-4〈产4,

・,•边界值为4；

(2)・.・y=-x+2,y随工的增大而减小，

・••当x=a时，％皿=3,当x=Z?时，y=-b+2,

・・•边界值是3,b>a9

：.-3<-b+2<3

：.-l<b<5

（3）若m>\,图象向下平移m个单位后，x=0时，y=-m<-1,此时函数的边界值,不合题意，故m<\.

函数y=X^（-1夕3^，〃?20），当X=-1时，y〃iax=1，当X—0时，ymin=0

，向下平移m个单位后，为加=1-6，ymin=~m

・・•边界值

1-irtC1或-1<-irtC停

1q

。411144或了^1^r

【点评】本题考查了二次函数综合题，结合新定义，弄清函数边界值的定义，同时要熟悉平移变换的性质.

6.（2019秋•西城区校级期中）抛物线>=以2+法-1（°>1）与x轴交于点A、3（点A在点8的左侧），与），轴

于点C,已知点A的坐标为（-工，0）,

a

（1）直接写出6=1-a（用含。的代数式表示）；

（2）求点B的坐标；

（3）设抛物线R的顶点为P,将该抛物线平移后得到抛物线尸2,抛物线Fi的顶点P2满足P\Pi〃BC,并且抛

物线尸2过点B,

①设抛物线尸2与直线BC的另一个交点为£>,判断线段BC与CD的数量关系（不需证明），并直接写出点。的

坐标；

②求出抛物线B与y轴的交点纵坐标的取值范围.

端

5-

4-

3-

2-

1-

j-------1_।----->

-5-4-3-2-10~12345x

-1-

-2-

-3-

-4-

【分析】(1)点A的坐标为(-卫，0),将点A的坐标代入抛物线表达式并整理得：b=\-a,即可求解；

a

(2)抛物线的表达式为：y=ajc2+(1-a)x-1,令y=0,贝ljx=l或-工，故点8(1,0)；

a

(3)①从图象可以看出：BC=BD,即CQ=2BC；

②平移后的图象过点8(1,0),点。(2,I),将点8、D的坐标代入抛物线表达式：y=ar2+〃x+c得：c=2a>

1,即可求解.

【解答】解：(1)点A的坐标为(-工，0),

a

将点4的坐标代入抛物线表达式并整理得：b=l-a,

故答案为：1-4；

(2)抛物线的表达式为：丫=加+(I-6f)X-1

令y=0,贝!]x=l或-工，

a

故点8(1,0)；

(3)①从图象可以看出：BC=BD,即CZ)=2BC；

则点8是C、。的中点，由中点公式得：点0(2,1)；

②平移后的图象过点8(1,0),点。(2,1),

将点8、。的坐标代入抛物线表达式：尸加+〃x+c得：Ja+b'+c=0,

14a+2b'+c=l

解得：c=2a>2,

抛物线尸2与y轴的交点纵坐标的取值范围为：c>2.

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象的平移等，其中(3)②，解题的关键是利用

中点公式求出点。的坐标，进而求解.

7.（2019秋嗨淀区期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线丫=炉+公+。与直线y=x+l交于A,B两点，其中点4

在x轴上.

（1）用含有b的代数式表示c；

（2）①若点2在第一象限，且A8=3点,求抛物线的解析式；

②若A生3加，结合函数图象，直接写出力的取值范围.

4-

3-

2-

1-

iiii11111A

-4-3-2-1012345x

-1-

【分析】（1）由题意直线y=x+l与x轴交于点A,可得点A坐标为（-1,0）,将点A坐标（-1,0）代入抛物

线解析式，即可求解；

（2）①设y=x+l与y轴交于点C,可得：A（-1,0）,C（0,1）,ZOAC=45°,90°,则点B的坐

标为（2,3）,即可求解；

②（I）当点B在点A右侧时，如上图所示，A8=3近,则%=0,AB>3正时，抛物线对称轴从x=0随4B的

增加向右侧移动，抛物线的对称轴x=-山->0,则6<0,

2a

故厄0；（II）当点8在点A的左侧，同理可得：b>6,即可求解.

【解答】解：（1）由题意直线y=x+l与x轴交于点A

可得点A坐标为（-1,0）,

抛物线y=x2+bx+c经过点A

所以将点A坐标（-1,0）代入抛物线解析式可得

1-6+c=0,B|1c=b-1.

（2）①设y=x+l与），轴交于点C,可得：

A(-1,0),C(0,1).

可知OA=OC=].

又因NAOC=90°,

所以N。4c=45。.

如图，已知AB=3J5，过B作轴于点Q,

则/A£>B=90。.

又因NBAO=45。，48=3料，

所以4D=BO=3.

所以点B的坐标为（2,3）.

将点B的坐标（2,3）代入抛物线丁=炉+法+'的解析式可得26+c=-1.

9h+r=—1

{c=b-l.

解得严，

Ic=_l.

得抛物线的解析式为〉=始-1；

②（I）当点3在点A右侧时，

如上图所示，AB=3«,贝!Ib=0,

A8>3y历时，抛物线对称轴从x=0随A8的增加向右侧移动，

抛物线的对称轴x=-旦>0,则b<0,

2a

故后0；

（II）当点B在点A的左侧,

当48=3加时,

同理可得：抛物线的表达式为：y=/+6x+5,

故：6=6,

故A生3M时，h>6；

综上，后0或佗6.

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰直角三角形的性质等，其中(2)②，要注意

分类求解，避免遗漏.

8.【概念认识】

城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.可

以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy,对两点A(M，yi)和B(X2,>2)，用以下方式定义两点

间距离：d(A,B)=ki-刈+M-冽.

【数学理解】

(1)①已知点A(-2,1),则d(。，A)=3.

②函数y=-2x+4(0<x<2)的图象如图①所示，B是图象上一点，d(0,B)=3,则点B的坐标是(1,2)

(2)函数>=且(x>0)的图象如图②所示.求证：该函数的图象上不存在点C,使d(O,C)=3.

x

(3)函数y=/-5x+7(x>0)的图象如图③所示，。是图象上一点，求d(0,D)的最小值及对应的点。的坐

标.

【问题解决】

(4)某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直

角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？(要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由)

【分析】(1)①根据定义可求出d(0,A)=|0+2|+|0-1|=2+1=3；②由两点间距离:d(A,B)=ln-x2|+|yi-

"I及点8是函数y=-2JC+4的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点8的坐标；

(2)由条件知x>0,根据题意得x+鱼=3,整理得f-3x+4=0,由AVO可证得该函数的图象上不存在点C,

x

使4(。，C)=3.

(3)根据条件可得国+M-5X+7],去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；

(4)以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,将函数y=-x的图象沿了轴正方向平移，

直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E,过点E作EH_LMN,垂足为“，修建方案是：先沿MN

方向修建到“处，再沿方向修建到E处，可由d(。，P)>d(0,E)证明结论即可.

【解答】解：(1)①由题意得：d(O,A)=|0+2|+|0-1|=2+1=3；

②设8(x,y),由定义两点间的距离可得：|0-x|+|0-y|=3,

V0<x<2,

3,

.•什3,

ly=-2x+4

解得：卜=1,

1y=2

：.B(1,2),

故答案为：3,(1,2)；

(2)假设函数y=生(x>0)的图象上存在点C(x,>)使4(0,C)=3,

根据题意，得|x-0|+|?-0|=3，

Vx>0,

.•.且>0，|x-0|+|--0|=x+-^)

XXX

x-^=3,

x

.*.x2+4=3x,

Ax2-3x+4=0,

.•.△=按-4ac=-7<0,

•方程N-3尤+4=0没有实数根,

，该函数的图象上不存在点C,使d(O,C)=3.

(3)设。(x,y),

根据题意得，"(O,D)=|x-0|+k2-5x+7-0|=卜|+廿-5x+7|,

•'X2-5X+7=(X4)2+^-〉0，

24

又xK),

：.dCO,D)=因+4-5x+7|=x+N-5x+7=/-4x+7=(x-2)2+3,

.,.当x=2时，cl(O,D)有最小值3,此时点。的坐标是(2,1).

(4)如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xO»将函数y=-x的图象沿y轴正方向

平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，

设交点为E,过点E作EH1MN,垂足为H,修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E

处.

理由：设过点E的直线人与x轴相交于点F.在景观湖边界所在曲线上任取一点P,过点P作直线/2〃伍/2与x

,：ZEFH=45°,

：.EH=HF,dCO,E)=OH+EH=OF,

同理d(O,P)=0G,

'：OG>OF,

：.d(O,P)>d(O,E),

•••上述方案修建的道路最短.

【点评】考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有新定义，解方程(组)，二次函数的性质等.

9.(2019•门头沟区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线>=加-2依-34加)顶点为P,且该抛物线与x轴

交于A,8两点(点4在点8的左侧).我们规定：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”(不包含边界);

横、纵坐标都是整数的点称为整点.

(1)求抛物线y=ax2-2*-3”顶点P的坐标(用含a的代数式表示)；

(2)如果抛物线、=浸-2以-3a经过(1,3).

①求«的值；

②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的个数.

(3)如果抛物线〉=加-2公-34在“6区域”内有4个整点，直接写出。的取值范围.

【分析】(1)利用配方法将抛物线的解析式变形为顶点式，由此即可得出顶点P的坐标；

(2)将点(1,3)代入抛物线解析式中，即可求出〃值，再分析当》=0、1、2时，在“G区域”内整数点的坐标,

由此即可得出结论；

(3)分〃<0及两种情况考虑，依照题意画出图形，结合图形找出关于a的不等式组，解之即可得出结论.

【解答】解：(1)'."y=ax2-lax-3a=a(x+1)(x-3)=a(x-1)2-4a,

顶点P的坐标为(1,-4a).

(2):抛物线y=a(x+1)(x-3)经过(1,3),

；.3=a