2020~2021学年高一数学下学期期末考点必杀200题07（解答题-基础20题）人教A版解析版

专练07（解答题-基础-20题）

1.某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分

别记录抽查数据如下（单位：kg）：

甲：10210199981039899

乙：110115908575115110

试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定.

【答案】甲车间的平均数为100,方差为乙车间的平均数为100,方差为一，甲车间产品比较稳

定.

【分析】

分别计算甲、乙车间的平均数和方差即可得到答案.

【详解】

102+101+99+98+103+98+99…

甲的平均数片=--------------------------------=100,

7

甲的方差为s：=1[(102-100)2+(101-100)2+(99-100)2+(98-100)2

24

+2

7

110+115+90+85+75+115+110…

乙的平均数元2=---------------------------------=100,

7

=1[(110-100)2+(115-100)2+(90-100)2+(85-100)2

乙的方差为$2?

21600

因为%=冗2，$]<$2，所以甲车间产品比较稳定.

2.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品,

保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质

量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分

成以下六组：[40,50）,[50,60）,[60,70）,…，[90,100],得到如下频率分布直方图.

(1)求出直方图中加的值；

(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数(同一组中的数据

用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01).

【答案】(1)m=0.030：(2)平均数为71,中位数为73.33.

【分析】

(1)利用频率之和等于1进行求解即可

(2)利用平均数和中位数的计算公式进行求解即可

【详解】

(1)由10x(0.010+0.015+0.015+/〃+0.025+0.05)=1,得7/7=O.O3O.

(2)平均数为亍=45x0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.05=71,

770

设中位数为“，则0.1+(M5+0.15+(〃-70)x0.03=0.5,=—«73.33.

故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71,中位数为73.33.

3.随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:

年份20132014201520162017

时间代号f12345

储蓄存款y/千亿元567810

(1)求》关于，的线性回归方程〉=G+a；

(2)用所求回归方程预测该地区2019年“=7)的人民币储蓄存款.

EU-J)(X-7)1＞戊一〃》

(附：ba=y-bx＜其中x，y为样本平均值)

fa一可

/=1

【答案】⑴y=12+3.6(2)12

【分析】

(1)利用公式求出a,5代入线性回归方程y=R+a即可.

(2)将47,代入回归方程，即可预测该地区今年的人民币储蓄存款.

【详解】

-1+2+3+4+5

(1)根据题意得：5

-5+6+7+8+10—

y=-----------------=7.2,

2'出=1x5+2x6+3x7+4x8+5x10=120,

^r,2=12+22+32+42+52=55,

_120-108_12

升55—45

。=亍一区=7.2—1.2x3=36，所以＞关于，的线性回归方程y=1.2r+3.6

(2)当=7时，y=l.2x7+36=12(千亿元).

【点睛】

本题主要考查了线性回归方程，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.

4.某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),

[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.

（2）求理科综合分数的平均数；

【答案】（1）0.0075；（2）225.6.

【分析】

（I）根据各矩形的面积和为1可求》的值.

（2）利用组中值可求理科综合分数的平均数.

【详解】

（1）由频率分布直方图可得

20x（0.002+0.0095+0.011+0.0125+X+0.005+0.0025）=1,

解得：x=0.0075.

（2）理科综合分数的平均数为：

20x(170x0.002+190x0.0095+210x0.011

+230x0.0125+250x0.0075+270x0.005+290x0.0025=225.6.

【点睛】

本题考查频率分布直方图的应用，注意直方图中各矩形面积的和为1,求平均值时注意利用组中值来计算,

本题属于基础题.

5.下表提供了某厂节能降耗技术发行后，生产甲产品过程中记录的产量X（吨）与相应的生产能耗），（吨标准

煤）的几组对应数据.

X3456

y2.5344.5

（1）求线性回归方程=hx+a所表示的直线必经过的点；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=+

并预测生产1000吨甲产品的生产能耗多少吨标准煤？

（参考：6---------,6=歹一位）

£片一机2

/=1

【答案】（1）线性回归方程前=盛京卦荡’所表示的直线必经过的点（4.535）

（2）预测生产1000吨甲产品的生产能耗700.35吨

【解析】

试题分析：（1）又=4.5,7=3.5，

线性回归方程亲=5法和家,所表示的直线必经过的点（45,3.5）

（2）邕■圜=豳支名鬻=曾在解外铲注淼=豳，又又=4.5，P=3.5

66.5-4x4.5x3.566.5-63

所以2==0.7；

86—4x4S86-81

4=P—诙=3.5—0.7x4.5=0.35

所求的回心方程为:y=0.7X+0.35

£=1电领总第=,时邈修:意.僚件睡演?=旗菰迭卷吨，

预测生产1000吨甲产品的生产能耗700.35吨

考点：本题主要考查线性回归直线的特征，线性回归直线方程的确定方法，回归系数的意义.

点评：中档题，近几年高考题目中，出现此类题目较多，多为选择题、填空题.解的思路比较明确，公式

不要求记忆，计算要细心.线性回归方程，盛宗音潺所表示的直线必经过样本中心点（元歹）.回归系数越

大表示x对y影响越大，正回归系数表示y随x增大而增大，负回归系数表示y随x增大而减小.

6.平面内给定三个向量2=（3,2）,5=（—1,2）,c=（4,l）.

（1）求满足&=痴-的实数加，〃；

（2）若（万+发）//（2坂一万），求实数字的值.

【答案】(1)m=—,n=--；(2)k=.

9913

【分析】

(1)依题意求出法-位的坐标，再根据向量相等得到方程组，解得即可；

(2)首先求出方+生与25-M的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得;

【详解】

解：(1)因为。=(3,2),b=(—1,2),c=(4,1),S.a=mb—nc

(3,2)=a=mb-nc=m(-l,2)-“(4,1)={-tn-4n,2m-n).

—m-4n-3,解得〃2=*8

2m-n=299

(2)a+kc=(3,2)+%(4,l)=(3+4攵，2+k).

2h—a=2(—1,2)—(3,2)=(-5,2).

-5(2+无)-2(3+4无)=0,解得％=-3.

13

7.已知1=(3,2),石=(-1,2),7=(4,1).

⑴求33+5-1的坐标;

(2)求满足条件。二根日+鹿守的实数加，n.

58

【答案】(D(4,7)；(2)m=-,n=~.

99

【分析】

(1)利用向量的坐标运算即可求纭+B-C的坐标.

—m+4〃=3

(2)由已知线性关系，结合坐标表示得到c,解方程组即可.

2m+n=2

【详解】

(1)根据题意,a=(3,2),5=(-1,2),c=(4,l),

则3M+5-5=(9,6)+(-1,2)-(4,1)=(4,7),

(2)根据题意，若@=,小+应，即(3,2)=加一1,2)+〃(4」)，

5

加=

9-

-m+4n=3

则有＜解可得8

+〃=2H=

9-

故根=*,〃=§

99

8.已知非零向量J,，满足同=叫,且仅询，尻

（1）求£与坂的夹角；

（2）若=求%.

【答案】（1）y;（2）V2.

【分析】

（1）由仅回得"什力=0,则力_方=0,再结数量积的公式和同=明可求得£与我的夹角;

（2）由,+）=«,得归+才=14,将此式展开，把忖=羽代入可求得结果

【详解】

（1）'：^a-b^±b,.'.^a-b^-b=0,

•-,2

••a-b-h=0*

A|a|-|^|cos^,^-|S|=0,

•.平|=2忖,.呻&（词-呼=0,

,."(a,B)e[0,;r),a与〃的夹角为彳.

(2)=14,

V|a|=2|S|,又由(1)知cos(a,A)=g,

.♦.7件=14,训=血.

【点睛】

此题考查平面向量的数量积的有关运算，考查计算能力，属于基础题

9.已知向量而=(sine,cos6-2sin。)，CD=(1,2).

(1)已知C(3,4),求。点坐标；

(2)AB//CD>求tan。的值

【答案】(D(4,6),(2)-

4

【分析】

(1)利用向量的坐标算法可求出。点坐标；

(2)由通〃而，可得cose-2sin6=2sin。，化简再利用同角二角函数的关系可求出tan。的值

【详解】

解：(1)设。点坐标为(x,y),

因为C(3,4),所以而=(x—3,y-4),

x-3=］x—4

因为诟=(1,2),所以〈/0，解得〈,，

y-4=21y=6

所以。点坐标为(4,6),

(2)因为丽=(sine,cos。—2sin。)，CD=(1,2),且通〃丽，

所以cos。-2sin6=2sine,

sinf)1

所以cos8=4sin。，所以cos。/。，所以tan，=----=一,

cos。4

【点睛】

此题考查向量的坐标运算，考查共线向量的坐标表示，属于基础题

10.在平行四边形A8C。中，AB=a>AD=b>

图1图2

(1)如图1,如果E,尸分别是BC,OC的中点，试用2B分别表示丽,方后.

(2)如图2,如果。是AC与8。的交点，G是。。的中点，试用［］表示而.

【答案】(1)B户—a+b,DEci—b(2)AG—ciH—b.

2244

【分析】

(1)利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可;

(2)利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.

【详解】

(1)BF=BC+CF=AD+-CD=AD--AB=--a+b,

222

DE=DC+CE^AB+-CB=AB--AD^a--h-.

222

—.—.—.—.1——1——.1—.3--1-3_

(2)AG=AD+DG=AD+-DB=AD+-(DA+AB)=-AB+-AD=-a+-b.

444444

11化""sin(a-3乃)cos(27a)sin[a+Mj

cos(一乃-a)sin(一7-a)

【答案】一cosa

【分析】

利用三角函数的诱导公式即可求解.

【详解】

(一sina)(cosa)•(—cosa)

依题意，原式——7——■一\、——-=-COS6Z.

(一cosaj(sma)

12.已知tana=2，求下列各式的值:

12

4sina-3cosa

(1)-------------：

5cosa+3sina

(2)4sin*12«-3cos2a

【答案】⑴一果⑵嗡

【分析】

利用同角三角函数基本关系式化弦为切，即可求解(1)(2)的值，得到答案.

【详解】

4x---3

,..,5,4sina-3cosa4tana-31716

(1)由题意，知tana=—，则----------------=-----------=—乜三

125cosc+3sina5+3tan5+3x°75

22

..2c?4sincir-3cosa332

(2)由4sirra—3cosa=----z------z---

sin~a+cosa169

【点睛】

本题主要考查了三角函数的化简求值，以及同角三角函数基本关系式的应用，着重考查了推理与运算能力.

13.已知函数〃x)=sin3x+J§cos3x(o>0)的最小正周期是万.

(1)求。值；

(2)求/(力的对称中心；

(3)将/(力的图象向右平移?个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,

得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间.

【答案】(1)2；(2)|-----,0|,ZeZ；(3)2k/r——,2k/r+――,kwZ.

I26JL66_

【分析】

(1)由/(x)=2sin(公c+f］且7=主=乃，即可求⑦值；

V3)(!)

(2)由⑴知〃x)=2sin(2x+?),结合正弦函数的对称中心即可求的对称中心；

(3)由函数平移知g(x)=2sin,结合正弦函数的单调性即可求g(x)的单调递增区间.

【详解】

(I)/(x)=sinc9x+V3cosfyx=2sincox+—,又。＞0,

co

co=2.

(2)由(1)知，/(x)=2sin[2x+y),令2犬+三=%)，解得k兀7C

x=------

326

,0,keZ.

(3)将/(x)的图像向右平移3个单位后可得:y=2sin(2x-?),再将所得图像横坐标伸长到原来的2

倍，纵坐标不变得到：g(x)=2sin[x—wj,

由2%万TT一T2T<2攵万+7々T，解得2%乃一一<x<lk7t+—,keZ.

23266

兀34

二g(x)的单调递增区间为2k7T--,2k7i+—,keZ.

【点睛】

关键点点睛：

(I)应用辅助角公式求三角函数解析式，结合最小正周期求参数.

(2)根据正弦函数的对称中心，应用整体代入求/(X)的对称中心.

(3)由函数图像平移得g(x)解析式，根据正弦函数的单调增区间，应用整体代入求g(x)的单调增区间.

14.写出角a的终边在下列位置时的集合S.

(1)角a的终边在如图(1)所示的阴影中(包括边界)；

(2)角a的终边在如图(2)所示的阴影中(包括边界).

【答案】(1){»|A:-180o+90o<«<A:-180o+120o,A:eZ}；(2)

{a|-60°+k-3600<a<60°+k-360°,左eZ}.

【分析】

(1)根据任意角的定义以及终边相同的角的表示，结合图形，可直接得出结果;

(2)根据任意角的定义以及终边相同的角的表示，结合图形，可直接得出结果.

【详解】

(1)角的终边在如图(I)所示的阴影中(包括边界),

角a的集合为：

5={<z|^-360°+90°<a<A:-360o+120o,A:eZ}u{a|Z:-360o+270o<a<il-360o+300o,A：6Z}

={ckl80°+90°Ka<H180°+120°,AeZ}：

(2)角的终边在如图(2)所示的阴影中(包括边界).

角1的集合为5={2卜60°+h360°«a<600+h360°MwZ}.

15.已知函数/(x)=Asin(ox+e)[A>0M>0,一耳<0<5)的部分图象如图所示.

(1)求f(x)的解析式.

(2)写出/(x)的递增区间.

【答案】(D/(x)=V2sin生+口(2)[16女-6,164+2],keZ.

【分析】

(1)由图可知4=五，T=也=16,再将点(一2,0)代入得5皿(一£+夕]=0,可得9=2+%万

keZ,

CO\474

从而可求出答案；

'JiJrlJL'Ji

(2)解出----k2k兀&-xH—W—F2左乃，左eZ即可得答案.

2842

【详解】

解：⑴易知A=0,T=4x[2-(-2)]=16,

/.刃=午=充,/./(x)=+

将点(-2,0)代入得sin卜?+可=0,

1-71..

+(P=K7T，%r£Z,••(O-FK71，%£Z,

44

♦♦•一5<8<]，♦.•O=7，'/(x)=0sin]x+?)：

TTITTC71

(2)由----卜2k冗4—x4—W—卜2k兀，keZ,

2842

解得16左一6<x<16攵+2,ZEZ,

•••/(X)的递增区间为[16%—6,16Z+2],kez.

【点睛】

本题主要考查根据三角函数的图象确定解析式，考查三角函数的图象与性质，属于基础题.

16.已知向量加=(2COS6U,-1),〃=(sin6yx-cos@r,2),其中6y>0,函数,(x)=£-G+3，若函数向%)

图象的两个相邻对称中心的距离为巴.

2

(1)求函数的单调递增区间；

(2)将函数的图象先向左平移四个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函

4

7T7T

数g(x)的图象，当不£时，求函数g(x)的值域.

62_

【答案】⑴攵乃-£次乃+寿(%£Z)；(2)F1,>/2"|.

【分析】

(1)根据题意，代入数量积公式表示出f(x),然后化简得/(x)=8sin(23x-M),利用周期计算得。=1,

4

利用整体法计算单调增区间；(2)利用平移变换得函数g(x)的解析式，利用整体法计算值域.

【详解】

(1)由题意可得，/(x)=加・〃+3=2cos6yx(sin6yx-cos<wx)-2+3,

=2sinscos8-2cos2a)x+\=sin2a)x-cos2cox=>/2sin(2(wx-.

由题意知，T=—=n,得(y=l,则/(x)=J^sin(2x-E),山2攵乃一2WW2br+2,ZeZ,

2co4242

解得人万一七eZ,，f(x)的单调递增区间为kn一',kn+三(keZ).

8888

(2)将/(x)的图象向左平移四个单位长度，得到y=J5sin(2x+X)的图象,

44

纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)=J5sin(x+C)的图象.

•,.y-<sin(x+^)<l)故函数g(x)的值域为［1,拒］.

6'2

【点睛】

关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化为同角，其次利用降幕公式

进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到〃x)=Asin(勿x+夕)的形式.

已知G

17.sina==，a,cos£=-7T，/是第三象限角，求

(1)cosa与sin£的值;

(2)cos(a-7?).

4533

【答案】(1)cos(X——,sinp------；(2)—

51365

【分析】

(1)根据平方关系计算即可得出cosa,sin/?；

(2)由(1)的结果，结合两角差的余弦公式求解即可.

【详解】

(1)由sina=1,得cosau-Jl-sin?a=-jl

125

又由COS6=-A，£是第三象限角，得sin/3=_Jl—cos20

13

(2)由(1)得

41233

cos(a-尸)=cosacos尸+sinasin尸=+-x

13565

—^,-1,n=(sin6r,l),jr

18.已知向量机=cosa-m与：n为共线向量’且a一齐•

3>

（1）求sina+cosa的值;

、入sin2a

(2)求------------的值.

sina-cosa

【答案】（1）巫：（2）7

3n

【分析】、

（1）由向量共线可得cosa-^jx

1一（-1）xsina=0,化简即可得出结果;

67

(2)由(1)的可知siniz+cosa=苧，平方化简可得5诂2。=一§,(sin«-cosa)2=l-sin2a,及

4

角的范围可得sina-cosa=——，计算可求得结果.

3

【详解】

解（1）;7与1为共线向量,

cos。一l-(-l)xsin<z=0,

即sina+cosa=Y^

3

27

(2):1+sin2a=(sina+cosa).2=g,sin2fz=--

)16兀

(sina-costz)'=l-sin2a=—.又—^-,0,sintz—costz<0.

.•.sina-cosa=-4sin2a7

3sin«-cosa12

【点睛】

本题考查三角函数恒等变换，齐次方程，考查分析问题的能力，属于基础题.

19.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角a的终边与单位圆。交于点A，且点A的纵

,।.L-曰y/lO

坐标是2—

10

（2）若以X轴正半轴为始边的钝角£的终边与单位圆。交于点B,且点B的横坐标为-求a+£的值.

5

【答案】（1）一好（2）。+，=电

54

【分析】

（1）依题意，任意角的三角函数的定义可知,sina=—，进而求出cosa=之叵.

1010

在利用余弦的和差公式即可求出cos（a一手］

（2）根据钝角0的终边与单位圆交于点5,且点B的横坐标是-