2022年上海市高考数学试卷

2022年上海市高考数学试卷

试题数：21,总分：150

1.（填空题，4分）已知z=l+i（其中i为虚数单位），则22=

v2

2.（填空题，4分）双曲线*-俨=1的实轴长为一.

9

3.（填空题，4分）函数f（x）=cos2x-sin2x+l的周期为_.

4.（填空题，4分）已知a€R,行列式匕的值与行列式I；的值相等，则2=_.

13LI1411

5.（填空题，4分）已知圆柱的高为4,底面积为9m则圆柱的侧面积为

6.（填空题,4分）x-y<0,x+y-l>0,求z=x+2y的最小值一.

7.（填空题，5分）二项式（3+x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n=_.

a2x—1x<0

x+a，为奇函数，求参数a的值为_•

{0x=0

9.（填空题，5分）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共

8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为

10.（填空题，5分）已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，若Ss=0,则Si（i=0,

1,2,100）中不同的数值有一个.

11.（填空题，5分）若平面向量|d|=|b|=||=入，且满足a•3=0,d•c=2,b•c-1,则

入=__.

12.（填空题，5分）设函数f（x）满足f（x）=f（击），定义域为D=[0,4-00）,值域为

A,若集合{y|y=f（x）,xG[0,a]}可取得A中所有值，则参数a的取值范围为

13.（单选题，5分）若集合A=[-l,2）,B=Z,则AClB=（）

A.{-2,-1,0,1）

0,1）

C.{-1,0}

14.（单选题，5分）若实数a、b满足a>b>0,下列不等式中恒成立的是（）

A.a+b>2y[ab

B.a+b<2Vab

C《+2b>2病

D.-+2b<2Vah

2

15.（单选题，5分）如图正方体ABCD-ABiCiDi中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、BBi、

CD的中点，联结AiS,BiD.空间任意两点M、N,若线段MN上不存在点在线段A1S、BiD

上，则称MN两点可视，则下列选项中与点Di可视的为（）

A点P

B点B

C.点R

D点Q

16.（单选题，5分）设集合Q={（x,y）|（x-k）2+（y-k2）2=4|k|,keZ}

①存在直线I,使得集合Q中不存在点在1上，而存在点在I两侧；

②存在直线1,使得集合。中存在无数点在1上；（）

A.①成立（2）成立

B.①成立（2）不成立

C.①不成立②成立

D.①不成立②不成立

17.（问答题，14分）如图所示三棱锥，底面为等边Z^ABC,。为AC边中点，且POL底面

ABC,AP=AC=2.

（1）求三棱锥体积Vp.ABC；

（2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小.

18.(问答题，14分)f(x)=log3(a+x)+log3(6-x).

(1)若将函数f(x)图像向下移m(m>0)后，图像经过(3,0),(5,0),求实数a,

m的值.

(2)若a>-3且a。。，求解不等式f(x)<f(6-x).

19.(问答题，14分)在如图所示的五边形中，AD=BC=6,AB=20,。为AB中点，曲线CD

上任一点到。距离相等，角NDAB=NABC=120。，P,Q关于OM对称；

(1)若点P与点C重合，求NPOB的大小；

(2)P在何位置，求五边形面积S的最大值.

20.(问答题，16分)设有椭圆方程门捻+《=1(a>b>0),直线1：x+y-4近=0,「下

端点为A,M在1上，左、右焦点分别为Fi(-V2,0)F2(V2,0).

(1)a=2,AM中点在x轴上，求点M的坐标;

(2)直线1与y轴交于B,直线AM经过右焦点F2,在AABM中有一内角余弦值为9求b；

(3)在椭圆「上存在一点P至IJ1距离为d,使|PFi|+|PF2|+d=6,随a的变化，求d的最小

值.

21.(问答题，18分)数列｛aj对任意nCN*且nN2,均存在正整数记[1,n-1],满足

an+i=2an~ai,ai=l,a2=3.

(1)求a,可能值;

(2)命题p：若ai,a2,--as成等差数列，则a9<30,证明p为真，同时写出p逆命题q,

并判断命题q是真是假，说明理由；

(3)若a2m=3m,(mGN*)成立，求数列｛aj的通项公式.

2022年上海市高考数学试卷

参考答案与试题解析

试题数：21,总分：150

1.（填空题，4分）已知z=l+i（其中i为虚数单位），则25=__.

【正确答案】：［l］2-2i

【解析】：直接利用共辗复数的概念得答案.

【解答】：解：z=l+i,则5=l-i,所以22=22.

故答案为：2-2i.

【点评】：本题考查了共聊复数的概念，是基础题.

2.（填空题，4分）双曲线/y2=l的实轴长为一.

【正确答案】：［1］6

【解析】：根据双曲线的性质可得a=3,实轴长为2a=6.

【解答】：解：由双曲线"-y2=l,可知：a=3,

所以双曲线的实轴长2a=6.

故答案为：6.

【点评】：本题考查双曲线的性质，是基础题.

3.（填空题，4分）函数f（x）=cos2x-sin2x+l的周期为—.

【正确答案】：［1山

【解析】：由三角函数的恒等变换化简函数可得f（x）=cos2x+l,从而根据周期公式即可求

值.

【解答】：解:f（x）=cos2x-sin2x+l

=cos2x-sin2x+cos2x+sin2x

=2cos2x

=cos2x+l,

故答案为：TT.

【点评】：本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应

用，属于基础题.

4.（填空题，4分）已知aCR,行列式1J的值与行列式R界的值相等，则2=_.

【正确答案】：[1]3

【解析】：根据行列式所表示的值求解即可.

【解答】：解:因为E]=2a3H3=a，

'aZI1411

所以2a-3=a,解得a=3.

故答案为：3.

【点评】：本题考查了行列式表示的值，属于基础题.

5.（填空题，4分）已知圆柱的高为4,底面积为9e则圆柱的侧面积为一.

【正确答案】：[1]241t.

【解析】：由底面积为9n解出底面半径R=3,再代入侧面积公式求解即可.

【解答】：解：因为圆柱的底面积为9m即nR2=9m

所以R=3,

所以S州=2nRh=24n.

故答案为：24n.

【点评】：本题考查了圆柱的侧面积公式，属于基础题.

6.（填空题，4分）x-y<0,x+y-l>0,求z=x+2y的最小值一.

【正确答案】：[1]|

【解析】：根据已知条件作出可行域，再求目标函数的最小值即可.

【解答】：解：如图所示:

由x-yWO,x+y-l>0,可知行域为直线x-y=O的左上方和x+y-l=O的右上方的公共部分，

_1

联立可得即图中点A《，“，

当目标函数z=x+2y沿着与正方向向量,=(1,2)的相反向量平移时，离开区间时取最小值,

即目标函数z=x+2y过点A6，9时，取最小值：1+2x|=|.

故答案为：|.

【点评】：本题考查了线性规划知识，难点在于找到目标函数取最小值的位置，属于中档题.

7.(填空题，5分)二项式(3+x)n的展开式中，X2项的系数是常数项的5倍，则n=_.

【正确答案】：[1]10

【解析】：由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得n的值.

【解答】：解：•••二项式(3+x)n的展开式中，X2项的系数是常数项的5倍,

即髭x3"-2=5C°x3%即=5x9,

n—10,

故答案为：10.

【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题.

(a2x—1%<0

(填空题，分)若函数

8.5f(x)={x+a%>0，为奇函数，求参数a的值为

Vo%=0

【正确答案】：[1]1

【解析】：由题意，利用奇函数的定义可得f(-X)=-f(x),故有f(-1)=-f(1),由此求

得a的值.

(a2x—1x<0

【解答】：解：-函数f(x)=\x+ax>0，为奇函数，(-x)=-f(x),

(0%=0

••・f(-1)=-f(1),A-a2-l=-(a+1),即a(a-1)=0,求得a=0或a=L

r-l,x<0

当a=0时，f(x)=,0,%=0,不是奇函数，故aWO；

j,x>0

x—1,x<0

当a=l时，f(x)=，0,%=0,是奇函数，故满足条件，

+1,x>0

综上，a=l,

故答案为：1.

【点评】：本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题.

9.(填空题，5分)为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共

8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为

【正确答案】:[1]1

【解析】：由题意，利用古典概率的计算公式，计算求得结果.

【解答】：解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测,

则每一类都被抽到的方法共有心•玛・盘+盘•第*Cl种，

而所有的抽取方法共有或种，

故每一类都被抽到的概率为或回•管•导爆=为=]

故答案为：|.

【点评】：本题主要考查古典概率及其计算公式的应用，属于基础题.

10.(填空题，5分)已知等差数列｛an｝的公差不为零，Sn为其前n项和，若Ss=O,则&(i=0,

1,2,100)中不同的数值有一个.

【正确答案】：[1]98

【解析】：由等差数前n项和公式求出ai=-2d,从而Sn=g(n2-5n),由此能求出结果.

【解答】：解：•.,等差数列｛aj的公差不为零，Sn为其前n项和，S5=0,

S5=5%+=0，解得ai=-2d,

・•・Sn=nai+w(；i)d=_2nd+爪丁)d=g(n2-5n),

vd^O,.,.S)(i=0,1,2…，100)中So=Ss=O>

S2=S3=-3d,Si=S4=-2d,

其余各项均不相等，

••.Si(i=0,1,2-,100)中不同的数值有:101-3=98.

故答案为：98.

【点评】：本题考查等差数列的前n项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，

是中档题.

11.(填空题，5分)若平面向量|d|=|B|=||=入，且满足五・B=0,d•c—2,b•c—1,则

入=__.

【正确答案】：口]逐

【解析】：利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果.

【解答】：解：由题意，有d・B=o,则a_L却设<落C>=Q,

T•-2

Q=\a\\c\cosO=2,①

T-1

b•|回修匕05仁_。）=1,②

则能得，tan6=|,

由同角三角函数的基本关系得：cose=^,

则五・3=|d||51cosO=a・；l•雪=2,

A2=V5，

则；I=讫.

故答案为：V5.

【点评】：本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题.

12.(填空题，5分)设函数f(x)满足f(x)=f(^)，定义域为D=[0,+00),值域为

A,若集合｛y|y=f(x),xe[0,a]｝可取得A中所有值，则参数a的取值范围为

【正确答案】：[1][3]，+8)

【解析】：由x=W可得x=等，可判断当X2早时，亨；当OWX<与时，

W>等；从而可得人={丫卜=£(x),xG[O,a]}时，参数a的最小值为年，从而求得.

【解答】：解：☆x=二得，

x="或x=1与二(舍去)；

故对任意X2”,

都存在x()e[O,,A^=xo,

故f(x)=f(xo),

而当0Wx<"时,

1、1V5-1

---->~F--------------

x+1V5-1+12

S^A=[y|y=f(x),xe[0,

故当A={y|y=f(x),xG[0,a]}时，

[0,与1匹[0,a],

故参数a的最小值为亨，

故参数a的取值范围为[与i,+oo),

故答案为：[,1,4-00).

【点评】：本题考查了抽象函数的性质的应用，同时考查了集合的应用，属于中档题.

13.(单选题，5分)若集合A=[-l,2),B=Z,则AClB=()

A.{-2,-1,0,1)

B.{-1，0,1}

C.{-1,0]

D.{-1}

【正确答案】：B

【解析】：根据集合的运算性质计算即可.

【解答】：解：2),B=Z,

••"AClB={-l,0,1}>

故选：B.

【点评】：本题考查了集合的交集的运算，是基础题.

14.（单选题，5分）若实数a、b满足a>b>0,下列不等式中恒成立的是（）

A.a+b>2Vaib

B.a+b<2y/ab

C.1+2b>2VaF

D.^+2b<2VaF

【正确答案】：A

【解析】：利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解.

【解答】：解：因为a>b>0,所以a+b"病，当且仅当a=b时取等号，

又a>b>0,所以a+b>2VHF,故A正确，B错误，

>21^x2b=2y/ab,当且仅当；=26,即a=4b时取等号，故CD错误,

2N22

故选：A.

【点评】：本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题.

15.（单选题，5分）如图正方体ABCD-ABiGDi中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、BB1、

CD的中点，联结AiS,BiD.空间任意两点M、N,若线段MN上不存在点在线段A1S、BiD

上，则称MN两点可视，则下列选项中与点Di可视的为（）

A点P

B.点B

C.点R

D.点Q

【正确答案】：D

【解析】：线段MN上不存在点在线段A。、BiD上，即直线MN与线段AiS、B】D不相交，

因此所求与Di可视的点，即求哪条线段不与线段AiS、BiD相交，再利用共面定理，异面直

线的判定定理即可判断.

【解答】：解：线段MN上不存在点在线段AiS、B】D上，即直线MN与线段AiS、B|D不相

交，

因此所求与Di可视的点，即求哪条线段不与线段AiS、BiD相交，

对A选项，如图，连接AiP、PS、DiS,因为P、S分别为AB、CD的中点，

二易证AiDi||PS,故Ai、Di、P、S四点共面，.⑴支与AiS相交，；.A错误；

对B、C选项，如图，连接DiB、DB,易证Di、Bi、B、D四点共面,

故DiB、DiR都与BiD相交，,4、C错误；

对D选项，连接DiQ,由A选项分析知Ai、Di、P、S四点共面记为平面A1D1PS,

•••Die平面A1D1PS,QC平面A1D1PS,且AiSu平面AiDiPS,点D10A1S,

・•・DiQ与AiS为异面直线，

同理由B,C选项的分析知Di、Bi、B、D四点共面记为平面DiBiBD,

•••Die平面DiBiBD,Q6平面D1B1BD,且BiDu平面D1B1BD,点D母BiD,

・•・DiQ与B]D为异面直线，

故DiQ与AiS,BiD都没有公共点，；.D选项正确.

故选：D.

【点评】：本题考查新定义，共面定理的应用，异面直线的判定定理，属中档题.

16.(单选题,5分)设集合Q={(x,y)|(x-k)2+(y-k2)2=4|k|,keZ)

①存在直线1,使得集合Q中不存在点在1上，而存在点在1两侧；

②存在直线1,使得集合。中存在无数点在1上；()

A.①成立(2)成立

B.①成立②不成立

C.①不成立(2)成立

D.①不成立(2)不成立

【正确答案】：B

【解析】：分k=0,k>0,k<0,求出动点的轨迹，即可判定.

【解答】：解:当k=0时，集合Q={(x,y)|(x-k)2+(y-kO2=4|k|,keZ}={(0,0)},

当k>0时，集合Q={(x,y)I(x-k)2+(y-k2)2=4|k|,kGZ},

表示圆心为(k,k2),半径为r=2「Z的圆，

圆的圆心在直线y=x2上，半径r=f(k)=2/单调递增，

相邻两个圆的圆心距d=J(k+l—k)2+[(k+l)2—k2]2=74k2+4k+2,相邻两个圆的半

径之和为1=2y[k+2yjk+1,

因为d>l有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，

当kVO时，同k>0的情况，故存在直线1,使得集合Q中不存在点在1上，而存在点在1两

侧，故①正确，

若直线1斜率不存在，显然不成立,

设直线1：y=mx+n,若考虑直线1与圆(x-k)2+(y-k2)2=4|k|的焦点个数,

\mk+n-k2\

d=r=2y[\k\,

Vm2+1

给定m,n,当k足够大时，均有d>r,

故直线1只与有限个圆相交，②错误.

故选：B.

【点评】：本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题.

17.(问答题，14分)如图所示三棱锥，底面为等边aABC,。为AC边中点，且PO_L底面

ABC,AP=AC=2.

(1)求三棱锥体积VP-ABC;

(2)若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小.

【正确答案】：

【解析】：(1)直接利用体积公式求解：

(2)以0为坐标原点，0B为x轴，0C为y轴，0P为z轴，建立空间直角坐标系，求得平

面PAC的法向量，即可求解.

【解答】：解：(1)在三棱锥P-ABC中，因为PO_L底面ABC,所以POJ_AC,

又。为AC边中点，所以APAC为等腰三角形，

又AP=AC=2.所以APAC是边长为2的为等边三角形，

.•.P0=V3,三棱锥体积VP-ABC=・P。=；XfX22xg=1,

334

(2)以0为坐标原点，0B为x轴，0C为y轴，0P为z轴，建立空间直角坐标系,

贝IP(0,0,V3),B(8，0,0),C(0,1,0),M(y,1,0)，

PM=(且，-V3),

22

平面PAC的法向量丽=(V3,0,0),

设直线PM与平面PAC所成角为0,

则直线PM与平面PAC所成角的正弦值为sin0=|扁濡|=熹=苧，

所以PM与面PAC所成角大小为arcsin—.

4

【点评】：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面间的位置关

系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

18.(问答题，14分)f(x)=log3(a+x)+log3(6-x).

(1)若将函数f(x)图像向下移m(m>0)后，图像经过(3,0),(5,0),求实数a,

m的值.

(2)若a>-3且a。。，求解不等式f(x)<f(6-x).

【正确答案】：

【解析】：(1)写出函数图像下移m个单位后的解析式，把点的坐标代入求解即可得出m

和a的值.

(2)不等式化为log3(a+x)+log3(6-x)<log3(a+6-x)+log3X.写出等价不等式组,求出

解集即可.

【解答】：解：(1)因为函数f(x)=10g3(a+x)+log3(6-x),

将函数f(x)图像向下移m(m>0)后，得y=f(x)-m=log3(a+x)+log3(6-x)-m的图

像，

由函数图像经过点(3,0)和(5,0),

所以胪士):一"：

Uog3(5+a)+0—m=0

解得a=-2,m=l.

(2)a>・3且aHO时，不等式f(x)<f(6-x)可化为log3(a+x)+log3(6-x)<log3(a+6-

x)+log3x,

fa+x>0

6-x>0

等价于<a+6>0»

x>0

<(a+%)(6-x)<x(a+6-%)

x>—a

x<6

解得<x<a+6，

x>0

<a(x—3)>0

当-3VaV0时，0<・aV3,3<a+6<6,解不等式得-a〈x43,

当a>0时，・a<0,a+6>6,解不等式得3Wx<6；

综上知，-3VaV0时，不等式f(x)<f(6-x)的解集是(-a,3],

a>0时，不等式f(x)<f(6-x)的解集是[3,6).

【点评】：本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问

题，是中档题.

19.(问答题，14分)在如图所示的五边形中，AD=BC=6,AB=20,。为AB中点，曲线CD

上任一点到。距离相等，角NDAB=4ABC=120。，P,Q关于OM对称；

(1)若点P与点C重合，求乙POB的大小；

(2)P在何位置，求五边形面积S的最大值.

【正确答案】：

【解析】：(1)在^OBC中，直接利用余弦定理求出OP,再结合正弦定理求解；

(2)利用五边形CDQMP的对称性，将所求的面积化为四边形PMNC的面积计算问题，充分

利用圆弧的性质，找到最大值点，从而解决问题.

【解答】：解：(1)点P与点C重合，由题意可得OB=10,BC=6,ZABC=12O。，

由余弦定理可得OP2=OB2+BC2-2OB・BCcos/ABC=36+100-2x6xl0x(-^)=196,

所以0P=14,在AOBP中，由正弦定理得一%=.%,

sml20°sin乙P0B

所以会=—^，解得sin/POB=萼，

v3SITIZ.POB14

2

所以NPOB的大小为arcsin坐；

14

(2)如图，设CD与M0相交于点N,由题意知五边形CDQMP关于MN对称，

所以S近边形CDQMP=2S四边形CPMN=2(S四边形OCPM-S^ONC)，

设NCOM=e,结合(1)可知cos0=2,所以sine=与，且。为锐角，

1414

因为0C=0P=0M=14,所以CM占OC2+OM2-2OC・OM・cos6=28X(14-3⑹，

故CM=^28x(14-3V3),

显然，ACMP的底边CM为定值，则P在劣弧CM中点位置时，CM边上的高最大，

此时OPLCM,故S四边形OCPM=1op.CM=|X14xJ28xV14-3V3=14J7x(14-3V3),

而SAONC=|O/VX/VC=|X14XCOSOX14XsinQ=等,

故S的最大值为2(14J7x(14-3V3)-竽)=28J7x(14-3A/3)-39A/3,

同理，当P在劣弧DM中点时，S也取得相同的最大值,

故P点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置时，五边形CDQMP的面积最大，且为

28J7x(14-3V3)-395/3.

【点评】：本题考查了扇形的性质、正、余弦定理和面积公式在解三角形问题中的应用，同时

考查了学生的逻辑推理能力、运算能力等，属于中档题.

20.(问答题，16分)设有椭圆方程r：今+3=1(a>b>0),直线1：x+y-4V2=0,「下

端点为A,M在1上，左、右焦点分别为Fi(-在，0)、F2(/，0).

(1)a=2,AM中点在x轴上，求点M的坐标；

(2)直线1与y轴交于B,直线AM经过右焦点F2，在AABM中有一内角余弦值为|,求b；

(3)在椭圆「上存在一点P至心距离为d,使|PFi|+|PF2|+d=6,随a的变化，求d的最小

值.

【正确答案】：

【解析】：(1)由题意可得椭圆方程为1+：=1,从而确定M点的纵坐标，进一步可得

42

点M的坐标;

(2)由直线方程可知B(0,4V2),分类讨论cosz■44M=|和cos/BMA=|两种情况确定b

的值即可；

(3)设P(acosG,bsin6),利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得叵幽粤"包=

6-2a,进一步整理计算，结合三角函数的有界性求得1Wa3|即可确定d的最小值.

【解答】：解：(1)由题意可得a=2,b=c=y/2,

r：9+7=1,71(0,-V2),

•.■AM的中点在x轴上，

.•.M的纵坐标为四，

代入x+y-4夜=0得M(3V2,V2).

(2)由直线方程可知B(0,4V2),

①若COSZ.BAM=|,贝Utanz.BAM=1,即tanz.OAF2=1,

：.0A=-0F2=三戊，

44

:.b='V2.

4

②若coszBMA=|,则sin^BMA=1,

•••/.MBA=：,Acos^MBA+4AMB)=yx|-yx|=

cosZ.BAM=—,.,.tanzBAM=7.

10

即tanz.OAF2=7>:、OA=?，:,b=当,

综上/或乎.

(3)设P(acosO,bsin0),

由点到直线距离公式可得叵竺叫竺2=6-2a,

V2

很明显椭圆在直线的左下方，则一竺竺笔生四=6—2a,

V2

即4A/2—Va24-b2sin{0+@)=6V2-2\/2a,

・・・a』b2+2,・•・V2a2—2sm(0+w)=2V2a—2A/2,

据此可得A/U2—Isin(0+(p)=2a—2,|sin(0+(p)|=5W1,

整理可得(a・l)(3a-5)<0,即14aq|,

从而d=6—2a>6—2x-=-.

33

即d的最小值为/

【点评】：本题主要考查椭圆方程的求解，点到直线距离公式及其应用，椭圆中的最值与范围

问题等知识，属于中等题.

21.（问答题，18分）数列｛aj对任意nCN*且