高考数学一轮复习 课时跟踪检测（二十四）解三角形的综合应用 文（含解析）苏教版-苏教版高三数学试题

课时跟踪检测（二十四）解三角形的综合应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________方向上．解析：由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.答案：南偏西80°2．(2019·扬州调研)如图，勘探队员朝一座山行进，在前后A，B两处观察山顶C的仰角分别是30°和45°，两个观察点A，B之间的距离是100m，则此山CD的高度为________m.解析：设山高CD为x，在Rt△BCD中有：BD＝CD＝x，在Rt△ACD中有：AC＝2x，AD＝eq\r(3)x.而AB＝AD－BD＝(eq\r(3)－1)x＝100.解得x＝eq\f(100,\r(3)－1)＝50(eq\r(3)＋1)．答案：50(eq\r(3)＋1)3.(2019·南通模拟)2018年12月，为捍卫国家主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，其中一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东35°的方向航行40eq\r(2)海里后到达海岛C.如果巡逻舰直接从海岛A出发到海岛C，则航行的路程为________海里．解析：根据题意画出图形，如图所示．在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40，BC＝40eq\r(2).根据余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝402＋(40eq\r(2))2－2×40×40eq\r(2)×eq\f(\r(2)－\r(6),4)＝400(8＋4eq\r(3))＝400(eq\r(6)＋eq\r(2))2，∴AC＝20(eq\r(6)＋eq\r(2))．故所求航行的路程为20(eq\r(6)＋eq\r(2))海里．答案：20(eq\r(6)＋eq\r(2))4．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3km，则B到C的距离为________km.解析：由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝xkm则由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos120°，因为x＞0，所以x＝eq\r(6)－1.答案：eq\r(6)－15.某同学骑电动车以24km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km.解析：如题图，由题意知AB＝24×eq\f(15,60)＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°，由正弦定理知eq\f(BS,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，所以BS＝eq\f(AB·sin30°,sin45°)＝3eq\r(2)(km)．答案：3eq\r(2)6．(2018·天一中学检测)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．解析：如图所示，设过xh后两车距离为y，则BD＝200－80x，BE＝50x，所以y2＝(200－80x)2＋(50x)2－2×(200－80x)·50x·cos60°整理得y2＝12900x2－42000x＋40000(0≤x≤2.5)，所以当x＝eq\f(70,43)时y2最小．答案：eq\f(70,43)二保高考，全练题型做到高考达标1．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是________海里．解析：如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)．答案：10eq\r(2)2．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为________km/h.解析：设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝eq\f(0.6,1)＝eq\f(3,5)，从而cosθ＝eq\f(4,5)，所以由余弦定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)v))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)×2))2＋12－2×eq\f(1,10)×2×1×eq\f(4,5)，解得v＝6eq\r(2).答案：6eq\r(2)3．(2018·启东二模)如图所示，为了测量A，B两处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿的距离为________海里．解析：由题意可知CD＝40，∠ADB＝60°，∠ACB＝60°，∠BCD＝90°，∴∠ACD＝30°，∠ADC＝105°，∴∠CAD＝45°.在△ACD中，由正弦定理，得eq\f(AD,sin30°)＝eq\f(40,sin45°)，∴AD＝20eq\r(2)，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∴BD＝eq\r(2)CD＝40eq\r(2).在△ABD中，由余弦定理，得AB＝eq\r(800＋3200－2×20\r(2)×40\r(2)×cos60°)＝20eq\r(6).故A，B两处岛屿的距离为20eq\r(6)海里．答案：20eq\r(6)4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m.解析：设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，根据余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.答案：505．(2018·镇江模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)＜sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为________．解析：由题意得sin2A＜sin2B＋sin2C，再由正弦定理得a2＜b2＋c2，即b2＋c2－a2＞0.则cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＞0，因为0＜A＜π，所以0＜A＜eq\f(π,2).又a为最大边，所以A＞eq\f(π,3).因此角A的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))6.(2019·通州中学高三测试)甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船自B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15min时，两船间的距离是________km.解析：画出示意图如图所示，设行驶15min时，甲船到达M点，乙船到达N点，由题意知AM＝8×eq\f(1,4)＝2(km)，BN＝12×eq\f(1,4)＝3(km)，MB＝AB－AM＝3－2＝1(km)，由余弦定理得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcos120°＝1＋9－2×1×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝13，所以MN＝eq\r(13)(km)．答案：eq\r(13)7．(2018·南京模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10eq\r(6)m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时长为50s，升旗手应以________m/s的速度匀速升旗．解析：依题意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，所以∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.由正弦定理可知eq\f(CE,sin∠EAC)＝eq\f(AC,sin∠CEA)，所以AC＝eq\f(CE,sin∠EAC)·sin∠CEA＝20eq\r(3)m.所以在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝20eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝30m.因为国歌时长为50s，所以升旗速度为eq\f(30,50)＝0.6m/s.答案：0.68．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，沿山坡向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡的坡角为θ，则cosθ＝________.解析：在△ABC中，由正弦定理可知BC＝eq\f(ABsin∠BAC,sin∠ACB)＝eq\f(100sin15°,sin45°－15°)＝50(eq\r(6)－eq\r(2))(m)．在△BCD中，由正弦定理可知sin∠BDC＝eq\f(BCsin∠CBD,CD)＝eq\f(50\r(6)－\r(2)sin45°,50)＝eq\r(3)－1.由题图知cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝eq\r(3)－1.答案：eq\r(3)－19．(2018·镇江期末)如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC＝200m，斜边AB＝400m．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F.(1)若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；(2)设∠CEF＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF＝eq\f(π,3)，请将甲、乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离．解：(1)依题意得BD＝300，BE＝100.在△ABC中，cosB＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(1,2)，所以B＝eq\f(π,3).在△BDE中，由余弦定理得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BE·cosB＝3002＋1002－2×300×100×eq\f(1,2)＝70000，所以DE＝100eq\r(7).答：甲、乙两人之间的距离为100eq\r(7)m.(2)由题意得EF＝2DE＝2y，∠BDE＝∠CEF＝θ.在Rt△CEF中，CE＝EF·cos∠CEF＝2ycosθ.在△BDE中，由正弦定理得eq\f(BE,sin∠BDE)＝eq\f(DE,sin∠DBE)，即eq\f(200－2ycosθ,sinθ)＝eq\f(y,sin60°)，所以y＝eq\f(100\r(3),\r(3)cosθ＋sinθ)＝eq\f(50\r(3),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3))))，0＜θ＜eq\f(π,2)，所以当θ＝eq\f(π,6)时，y有最小值50eq\r(3).答：甲、乙之间的最小距离为50eq\r(3)m.10．(2019·淮安模拟)如图，某军舰艇位于岛A的正西方C处，且与岛A相距12海里．经过侦察发现，国际海盗船以10海里/小时的速度从岛A出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿北偏东90°－α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时在B处追上．(1)求该军舰艇的速度；(2)求sinα的值．解：(1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝10×2＝20，AC＝12，∠ACB＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠CAB＝202＋122－2×20×12cos120°＝784，解得BC＝28，所以该军舰艇的速度为eq\f(BC,2)＝14海里/小时．(2)在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(AB,sinα)＝eq\f(BC,sin120°)，即sinα＝eq\f(ABsin120°,BC)＝eq\f(20×\f(\r(3),2),28)＝eq\f(5\r(3),14).三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m．(取eq\r(2)＝1.4，eq\r(3)＝1.7)解析：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21000(m)．又在△ABC中，eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以BC＝eq\f(21000,\f(1,2))×sin15°＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))．因为CD⊥AD，所以CD＝BC·sin∠DBC＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝10500(eq\r(3)－1)＝7350.故山顶的海拔高度h＝10000－7350＝2650(m)．答案：26502．(2019·南京调研)某市有一中心公园，平面图如图所示，公园的两条观光路为l1，l2，公园管理中心位于点O正南方2kml1上的A处，现计划在l2即点O北偏东45°方向，观光路l2路旁B处修建一公园服务中心．(1)若为方便管理，使AB两点之间的直线距离不大于2eq\r(5)km，求OB长度的取值范围；(2)为了方便市民活动，拟在