高考数学一轮复习 第十章 算法初步、复数、推理与证明 课时跟踪检测（四十八）合情推理与演绎推理 文-人教版高三数学试题

课时跟踪检测（四十八）合情推理与演绎推理一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是________．解析：a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.答案：an＝n22．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论我们可以得到的一个真命题为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则____________________成等比数列．解析：利用类比推理把等差数列中的差换成商即可．答案：T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”类比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________．解析：①②正确，③④⑤⑥错误．答案：24．对于命题：若O是线段AB上一点，则有eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o(OB,\s\up7(→))))·eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o(OA,\s\up7(→))))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝0.将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，则有S△OBC·eq\o(OA,\s\up7(→))＋S△OCA·eq\o(OB,\s\up7(→))＋S△OBA·eq\o(OC,\s\up7(→))＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有________________________________________________________________________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若O为四面体ABCD内一点，则有VOBCD·eq\o(OA,\s\up7(→))＋VOACD·eq\o(OB,\s\up7(→))＋VOABD·eq\o(OC,\s\up7(→))＋VOABC·eq\o(OD,\s\up7(→))＝0.答案：VOBCD·eq\o(OA,\s\up7(→))＋VOACD·eq\o(OB,\s\up7(→))＋VOABD·eq\o(OC,\s\up7(→))＋VOABC·eq\o(OD,\s\up7(→))＝05．(2018·南京调研)已知函数f(x)＝x3＋x，对于等差数列{an}满足：f(a2－1)＝2，f(a2016－3)＝－2，Sn是其前n项和，则S2017＝________.解析：因为函数f(x)＝x3＋x为奇函数，且在R上单调递增，又因为f(a2－1)＝2，f(a2016－3)＝－2，则a2－1＝－(a2016－3)，即a2＋a2016＝4，即a1＋a2017＝4.则S2017＝eq\f(2017,2)(a1＋a2017)＝4034.答案：40346．(2018·启东检测)[x]表示不超过x的最大整数，例如：[π]＝3.S1＝[eq\r(1)]＋[eq\r(2)]＋[eq\r(3)]＝3，S2＝[eq\r(4)]＋[eq\r(5)]＋[eq\r(6)]＋[eq\r(7)]＋[eq\r(8)]＝10，S3＝[eq\r(9)]＋[eq\r(10)]＋[eq\r(11)]＋[eq\r(12)]＋[eq\r(13)]＋[eq\r(14)]＋[eq\r(15)]＝21，……依此规律，那么S10＝________.解析：因为[x]表示不超过x的最大整数，所以S1＝[eq\r(1)]＋[eq\r(2)]＋[eq\r(3)]＝1×3＝3，S2＝[eq\r(4)]＋[eq\r(5)]＋[eq\r(6)]＋[eq\r(7)]＋[eq\r(8)]＝2×5＝10，S3＝[eq\r(9)]＋[eq\r(10)]＋[eq\r(11)]＋[eq\r(12)]＋[eq\r(13)]＋[eq\r(14)]＋[eq\r(15)]＝3×7＝21，……，Sn＝[eq\r(n2)]＋[eq\r(n2＋1)]＋[eq\r(n2＋2)]＋…＋[eq\r(n2＋2n－1)]＋[eq\r(n2＋2n)]＝n×(2n＋1)，所以S10＝10×21＝210.答案：210二保高考，全练题型做到高考达标1．二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝eq\f(4,3)πr3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝________.解析：在二维空间中，圆的二维测度(面积)S＝πr2，则其导数S′＝2πr，即为圆的一维测度(周长)l＝2πr；在三维空间中，球的三维测度(体积)V＝eq\f(4,3)πr3，则其导数V′＝4πr2，即为球的二维测度(表面积)S＝4πr2；应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝2πr4.答案：2πr42．观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为________________．解析：观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2).答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2)3．(2018·南京第十三中学检测)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为________．解析：因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.答案：554．给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝________.解析：由前4行的特点，归纳可得：若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，所以anm＝(m，n－m＋1)．答案：(m，n－m＋1)5．在平面几何中：△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比为eq\f(AC,BC)＝eq\f(AE,BE).把这个结论类比到空间：在三棱锥A­BCD中(如图)，平面DEC平分二面角A­CD­B且与AB相交于E，则得到类比的结论是______________．解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD).答案：eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD)6．设n为正整数，f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，计算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为____________________．解析：因为f(21)＝eq\f(3,2)，f(22)>2＝eq\f(4,2)，f(23)>eq\f(5,2)，f(24)>eq\f(6,2)，所以归纳得f(2n)≥eq\f(n＋2,2).答案：f(2n)≥eq\f(n＋2,2)7．(2018·海门中学测试)有一个奇数组成的数阵排列如下：1371321…591523……111725………1927…………29……………则第30行从左到右第3个数是________．解析：由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝eq\f(30×2＋60,2)－1＝929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n，第3个数比第2个数大2n＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1051.答案：10518．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n))).若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))，又y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(A＋B＋C,3)＝3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2).答案：eq\f(3\r(3),2)9．(2018·苏州调研)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2－x－m.(1)当m＝0时，求函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，a]的最大值；(2)证明：当m≥－3时，不等式f(x)＋g(x)<x2－(x－2)ex对任意x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))均成立(其中e为自然对数的底数，e＝2.718…)．解：(1)当m＝0时，F(x)＝lnx－x2＋x，x∈(0，＋∞)，则F′(x)＝－eq\f(2x＋1x－1,x)，x∈(0，＋∞)，当0<x<1时，F′(x)>0；当x>1时，F′(x)<0，所以F(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当0<a≤1时，F(x)的最大值为F(a)＝lna－a2＋a；当a>1时，F(x)的最大值为F(1)＝0.(2)证明：f(x)＋g(x)<x2－(x－2)ex可化为m>(x－2)ex＋lnx－x，设h(x)＝(x－2)ex＋lnx－x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，要证m≥－3时，m>h(x)对任意x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))均成立，只要证h(x)max<－3即可，下证此结论成立．因为h′(x)＝(x－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,x)))，所以当eq\f(1,2)<x<1时，x－1<0，设u(x)＝ex－eq\f(1,x)，则u′(x)＝ex＋eq\f(1,x2)>0，所以u(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递增，又因为u(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上的图象是一条不间断的曲线，且ueq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\r(e)－2<0，u(1)＝e－1>0，所以∃x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，使得u(x0)＝0，即ex0＝eq\f(1,x0)，lnx0＝－x0，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，x0))时，u(x)<0，h′(x)>0；当x∈(x0,1)时，u(x)>0，h′(x)<0；所以函数h(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，x0))上单调递增，在(x0,1]上单调递减，所以h(x)max＝h(x0)＝(x0－2)ex0＋lnx0－x0＝(x0－2)·eq\f(1,x0)－2x0＝1－eq\f(2,x0)－2x0.因为y＝1－eq\f(2,x)－2x在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递增，所以h(x0)＝1－eq\f(2,x0)－2x0<1－2－2＝－3，即h(x)max<－3，所以当m≥－3时，不等式f(x)＋g(x)<x2－(x－2)ex对任意x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))均成立.10．已知O是△ABC内任意一点，连结AO，BO，CO并延长，分别交对边于A′，B′，C′，则eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝eq\f(S△OBC,S△ABC)＋eq\f(S△OCA,S△ABC)＋eq\f(S△OAB,S△ABC)＝eq\f(S△ABC,S△ABC)＝1.请运用类比思想，对于空间中的四面体ABCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．解：在四面体ABCD中，任取一点O，连结AO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面于E，F，G，H点．则eq\f(OE,AE)＋eq\f(OF,DF)＋eq\f(OG,BG)＋eq\f(OH,CH)＝1.证明：在四面体OBCD与ABCD中，eq\f(OE,AE)＝eq\f(h1,h)＝eq\f(\f(1,3)S△BCD·h1,\f(1,3)S△BCD·h)＝eq\f(VOBCD,VABCD).同理有eq\f(OF,DF)＝eq\f(VOABC,VDABC)；eq\f(OG,BG)＝eq\f(VOACD,VBACD)；eq\f(OH,CH)＝eq\f(VOABD,VCABD).所以eq\f(OE,AE)＋eq\f(OF,DF)＋eq\f(OG,BG)＋eq\f(OH,CH)＝eq\f(VOBCD＋VOABC＋VOACD＋VOABD,VABCD)＝eq\f(VABCD,VABCD)＝1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为________．解析：由|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|＋|y|＝n的不同整数解的个数为4n，故|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.答案：802．古希腊的数学家研究过各种多边形数．记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n四边形数N(n,4)＝n2五边形数N(n,5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n六边形数N(n,6)＝2n2－n……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(20,15)的值为________．解析：原已知式子可化为N(n,3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n＝eq\f(3－2,2)n2＋eq\f(4－3,2)n；N(n,4)＝n2＝eq\f(4－2,2)n2＋eq\f(4－4,2)n；N(n,5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n＝eq\f(5－2,2)n2＋eq\f(4－5,2)n；N(n,6)＝2n2－n＝eq\f(6－2,2)n2＋eq\f(4－6,2)n.故N(n，k)＝eq\f(k－2,2)n2＋eq\f(4－k,2)n，N(20,15)＝eq\f(15－2,2)×202＋eq\f(4－15,2)×20＝2490.答案：24903.(2018·东台中学检测)如图，已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝1，F1，F2是左右两个焦点，点M在双曲线上．(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；(2)若∠F1MF2＝120°，△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面积又是多少？(3)观察以上结果，你能猜出随着∠F1MF2的度数的变化，△F1MF2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．解：由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝eq\r(13)，设MF1＝r1，MF2＝r2(r1>r2)，由双曲线的定义，得r1－r2＝2a＝4，将r1－r2＝4两边平方得req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)－2r1r2＝16