高考数学一轮复习 第十一章 统计与概率 课时达标检测（五十二）抽样方法、用样本估计总体-人教版高三数学试题

课时达标检测(五十二）抽样方法、用样本估计总体[练基础小题——强化运算能力]1．某学校为了了解某年高考数学的考试成绩，在高考后对该校1200名考生进行抽样调查，其中有400名文科考生，600名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽取120名考生作为样本，记这项调查为①；从10名家长中随机抽取3名参加座谈会，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是___________________________．解析：在①中，文科考生、理科考生、艺术和体育类考生会存在差异，采用分层抽样法较好；在②中，抽取的样本个数较少，宜采用简单随机抽样法．答案：分层抽样法，简单随机抽样法2．(2018·江苏省淮安市高三期中)某校高三年级500名学生中，血型为O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．为研究血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法从这500名学生中抽取一个容量为60的样本，则应抽取________名血型为AB的学生．解析：在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为eq\f(60,500)＝eq\f(3,25)，所以血型为AB的学生应抽取的人数为50×eq\f(3,25)＝6.答案：63．(2018·常州模拟)某地区有高中学校10所，初中学校30所，小学学校60所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所学校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校________所．解析：抽样比为eq\f(20,10＋30＋60)＝20%，所以应抽取初中学校30×20%＝6所．答案：64．(2018·徐州市高三年级期中)已知一组数据：87，x,90,89,93的平均数为90，则该组数据的方差为________．解析：由题意eq\f(1,5)(87＋x＋90＋89＋93)＝90，得到x＝91，所以方差s2＝eq\f(1,5)[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4.答案：4[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．(2017·苏州暑假测试)已知等差数列{an}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，则d＝________.解析：因为{an}为等差数列，所以a1，a2，a3，a4，a5的均值为a3，所以方差为eq\f(1,5)[(－2d)2＋(－d)2＋0＋d2＋(2d)2]＝2d2＝8，解得d＝±2.答案：±22．(2018·南通模拟)如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定(方差较小)的那一位同学的方差为________．解析：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)(88＋89＋90＋91＋92)＝90；eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)(87＋89＋90＋91＋93)＝90.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2]＝eq\f(1,5)(4＋1＋4＋1)＝2；seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(87－90)2]＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝eq\f(1,5)(9＋1＋1＋9)＝4.答案：23．如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的网民人数成递减的等差数列，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为________．解析：由题意得，年龄在[20,25)的网民出现的频率为0.01×5＝0.05，[25,30)的网民出现的频率为0.07×5＝0.35，又[30,35)，[35,40)，[40,45]的网民人数成递减的等差数列，则其频率也成等差数列，又[30,45]的频率为1－0.05－0.35＝0.6，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为0.6÷3＝0.2.答案：0.24．(2018·南通中学高三月考)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．则z的值为________．解析：这个月生产的轿车共有100＋300＋150＋450＋z＋600＝1600＋z(辆)，A类轿车400辆，所以eq\f(400,1600＋z)＝eq\f(10,50)，得z＝400.答案：4005．(2018·盐城模拟)已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，则数据2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的标准差为________．解析：eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，eq\x\to(x)′＝eq\f(2,5)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，s2＝eq\f(1,5)[xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)＋xeq\o\al(2,5)－5(eq\x\to(x))2]＝2，s＝eq\r(2)，s′2＝eq\f(1,5)[(2x1)2＋(2x2)2＋(2x3)2＋(2x4)2＋(2x5)2－5(2eq\x\to(x))2]＝4s2，所以s′＝2s＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)6．(2018·连云港模拟)如图是一次摄影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分．复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是________．解析：分类计算，(1)当x＝1时，eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(89＋91＋91＋92＋92)＝91;(2)当x＝2时eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(89＋91＋92＋92＋92)＝91.2，不合题意，所以x＝1.答案：17．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的eq\f(1,4)，且样本容量为160，则中间一组的频数为________．解析：由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为x，则x＋4x＝1，所以x＝0.2，故中间一组的频数为160×0.2＝32.答案：328．某公司300名员工2017年年终奖金情况的频率分布直方图如图所示，由图可知，员工中年终奖金在1.4～1.6万元的共有________人．解析：由频率分布直方图知年终奖金低于1.4万元或者高于1.6万元的频率为(0.2＋0.8＋0.8＋1.0＋1.0)×0.2＝0.76，因此，年终奖金在1.4～1.6万元间的频率为1－0.76＝0.24，所以300名员工中年终奖金在1.4～1.6万元间的员工人数为300×0.24＝72.答案：729．高一(1)班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法抽取一个容量为4的样本．已知6号，32号，45号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是________．解析：由题意得各组间距为eq\f(52,4)＝13，因为在第一组中抽取的是6，所以以下各组依次应该抽取：6＋13＝19,6＋2×13＝32,6＋3×13＝45，即另一个编号为19.答案：1910．(2018·泰州质检)甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩(单位：环)如下表：选手第1轮第2轮第3轮第4轮第5轮甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是________．解析：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)×(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)×(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝eq\f(1,5)×(0.04＋0.01＋0.01＋0.04)＝0.02，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝eq\f(1,5)×(0.36＋0.09＋0.64＋0.09＋0.04)＝0.244.因为seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲的成绩最稳定，其方差为0.02.答案：0.02二、解答题11．(2017·北京高考)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．解：(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计值为0.4.(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，故样本中分数小于50的频率为0.1，故分数在区间[40,50)内的人数为100×0.1－5＝5.所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×eq\f(5,100)＝20.(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以样本中分数不小于70的男生人数为60×eq\f(1,2)＝30.所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.12．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机应用软件层出不穷．现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：(1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；(2)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由．解：(1)依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55.使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为