高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题6 算法、复数、推理与证明、概率与统计 第21讲 高考中的概率与统计专题限时集训 理-人教版高三数学试题

专题限时集训(二十二)高考中的概率与统计(建议用时：45分钟)1．(2016·南京盐城二模)甲、乙两人投篮命中的概率分别为eq\f(2,3)与eq\f(1,2)，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．(1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；(2)设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．[解](1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球.2分所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率P＝Ceq\o\al(1,3)eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(11,36).4分(2)ξ的取值为0,1,2,3，所以ξ的概率分布列为ξ0123Peq\f(7,24)eq\f(11,24)eq\f(5,24)eq\f(1,24)所以数学期望E(ξ)＝0×eq\f(7,24)＋1×eq\f(11,24)＋2×eq\f(5,24)＋3×eq\f(1,24)＝1.10分2．(2016·苏北四市摸底)已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动．(1)求选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数；(2)记X为选出的4名选手中女选手的人数，求X的概率分布列和数学期望．[解](1)选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3)＝21种.3分(2)X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5)C\o\al(2,4))＝eq\f(3,10×6)＝eq\f(1,20)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)C\o\al(2,3)＋C\o\al(1,3),C\o\al(2,5)C\o\al(2,4))＝eq\f(2×3×3＋3,10×6)＝eq\f(7,20)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,3),C\o\al(2,5)C\o\al(2,4))＝eq\f(3×3,10×6)＝eq\f(3,20)，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝eq\f(9,20).8分X的分布列为X0123Peq\f(1,20)eq\f(7,20)eq\f(9,20)eq\f(3,20)E(X)＝0×eq\f(1,20)＋1×eq\f(7,20)＋2×eq\f(9,20)＋3×eq\f(3,20)＝eq\f(17,10).10分3．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为eq\f(5,12).现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一个取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)．[解](1)设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,9))，由题意知eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,9))＝eq\f(5,12)，即eq\f(\f(nn－1,2),\f(9×8,2))＝eq\f(5,12)，化简得n2－n－30＝0.解得n＝6或n＝－5(舍去)，故袋中原有白球的个数为6.3分(2)由题意，X的可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3)；P(X＝2)＝eq\f(3×6,9×8)＝eq\f(1,4)；P(X＝3)＝eq\f(3×2×6,9×8×7)＝eq\f(1,14)；P(X＝4)＝eq\f(3×2×1×6,9×8×7×6)＝eq\f(1,84).8分所以取球次数X的概率分布列为X1234Peq\f(2,3)eq\f(1,4)eq\f(1,14)eq\f(1,84)所求数学期望为E(X)＝1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,14)＋4×eq\f(1,84)＝eq\f(10,7).10分4．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，设随机变量ξ是以这三点为顶点的三角形的面积．(1)求概率Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(1,2)))；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．[解](1)从正方体的8个顶点中任取3个顶点，共有Ceq\o\al(3,8)＝56种．因为正方体的棱长为1，所以若以三点为顶点的三角形的面积为eq\f(1,2)，则该三角形的两边恰为正方体的两条相邻棱．正方体的每个顶点处有3条相邻棱，所以面积为eq\f(1,2)的三角形共有8Ceq\o\al(2,3)＝24个，因此Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(1,2)))＝eq\f(24,56)＝eq\f(3,7).3分(2)显然，三角形的三边不可能都是正方体的棱．若三角形恰有一边为正方体的棱，则对于每一条棱，满足条件的第三个顶点只有2种选择，所以共有2×12＝24个这样的三角形，且三角形的面积为eq\f(\r(2),2)，于是Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(\r(2),2)))＝eq\f(24,56)＝eq\f(3,7).若三角形的边都不是正方体的棱，则这样的三角形是以面对角线为边的正三角形，其面积为eq\f(\r(3),2)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(\r(3),2)))＝1－Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(1,2)))－Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(\r(2),2)))＝1－eq\f(3,7)－eq\f(3,7)＝eq\f(1,7).8分所以随机变量ξ的分布列是ξeq\f(1,2)eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(3),2)Peq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,7)因此E(ξ)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,7)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(3,7)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,7)＝eq\f(3＋3\r(2)＋\r(3),14).10分5．(2016·南通二调)一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励(k∈N*)，且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．(1)求概率P(X＝0)的值；(2)为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．(注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！)[解](1)事件“X＝0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，则P(X＝0)＝3×eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))2＝eq\f(25,72).3分(2)依题意，X的可能值为k，－1,1,0，且P(X＝k)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))3＝eq\f(1,216)，P(X＝－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))3＝eq\f(125,216)，P(X＝1)＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))2×eq\f(5,6)＝eq\f(5,72)，8分结合(1)知，参加游戏者的收益X的数学期望为E(X)＝k×eq\f(1,216)＋(－1)×eq\f(125,216)＋1×eq\f(5,72)＝eq\f(k－110,216)(元)．为使收益X的数学期望不小于0元，所以k≥110，即kmin＝110.10分6．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．[解](1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意，得P(X＝60)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，即顾客所获的奖励额为60元的概率为eq\f(1,2).②依题意，得X的所有可能取值为20,60.P(X＝60)＝eq\f(1,2)，P(X＝20)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，即X的分布列为X2060Peq\f(1,2)eq\f(1,2)所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)＝20×eq\f(1,2)＋60×eq\f(1,2)＝40(元).3分(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X12060100Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)X1的期望为E(X1)＝20×eq\f(1,6)＋60×eq\f(2,3)＋100×eq\f(1,6)＝60，X1的方差为V(X1)＝(20－60)2×eq\f(1,6)＋(60－60)2×eq\f(2,3)＋(100－60)2×eq\f(1,6)＝eq\f(1600,3).6分对于方案2，即方案(20