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专题限时集训(二十)算法、复数、推理与证明(建议用时:45分钟)1.(2016·苏锡常镇调研二)已知(a-i)2=2i,其中i是虚数单位,那么实数a=________.-1[由(a-i)2=2i可知a2-2ai-1=2i,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2-1=0,,-2a=2,))∴a=-1.]2.(2016·盐城三模)若复数z满足(2-i)z=4+3i(i为虚数单位),则|z|=________.eq\r(5)[z=eq\f(4+3i,2-i),∴|z|=eq\f(|4+3i|,|2-i|)=eq\f(5,\r(5))=eq\r(5).]3.(2016·泰州期末)如图19-3,在复平面内,点A对应的复数为z1,若eq\f(z2,z1)=i(i为虚数单位),则z2=________.图19-3-2-i[由题图可知z1=-1+2i,由eq\f(z2,z1)=i可知z2=z1i=(-1+2i)i=-2-i.]4.设复数z1=2-i,z2=m+i(m∈R,i为虚数单位),若z1·z2为实数,则m的值为________.2[z1·z2=(2-i)(m+i)=(2m+1)+(2-m)i,因为z1·z2是实数,所以m5.设i是虚数单位,eq\x\to(z)表示复数z的共轭复数,若z=1+i,则eq\f(z,i)+i·eq\x\to(z)=________.【导学号:19592057】2[∵z=1+i,∴eq\x\to(z)=1-i,eq\f(z,i)=eq\f(1+i,i)=eq\f(i+i2,i2)=1-i,∴eq\f(z,i)+i·eq\x\to(z)=1-i+i(1-i)=(1-i)(1+i)=2.]6.根据下面的伪代码,最后输出的a的值为________.48[由题意可知这是一个当型循环,循环条件满足i≤6时循环,当i=2时,a=1×2=2,i=2+2=4;当i=4时,a=2×4=8,i=4+2=6;当i=6时,a=8×6=48,i=6+2=8,因为i=8>6,则退出循环,故输出48.]7.观察下列分解式:23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,若m3的分解式中最小的数为31,则自然数m=________.6[根据已知分解式知,53的分解式中最小的数为2×(2+3+4+1)+1=21,63的分解式中最小的数为2×(2+3+4+5+1)+1=31.]8.已知正三角形内切圆的半径是其高的eq\f(1,3),把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论为正四面体的内切球的半径是其高的________.eq\f(1,4)[原问题的解法为等面积法,即S=eq\f(1,2)ah=3×eq\f(1,2)ar⇒r=eq\f(1,3)h,类比问题的解法应为等体积法,V=eq\f(1,3)Sh=4×eq\f(1,3)Sr⇒r=eq\f(1,4)h,即正四面体的内切球的半径是其高的eq\f(1,4).]9.执行如图19-4所示的算法流程图,则最后输出的y等于________.图19-463[第一次循环,y=3,x=2;第二次循环,y=7,x=3;第三次循环,y=15,x=4;第四次循环,y=31,x=5;第六次循环,y=63,x=6>5,终止循环,输出y=63.]10.根据下面的算法,可知输出的结果为________.11[根据算法语句可知这是一个循环结构,Sn是一个以1为首项,2为公比的等比数列的前n项和,即Sn=eq\f(1-2n,1-2)=2n-1,可见n=10时,S10=1023,所以n=10时进行最后一次循环,故n=11.]11.执行下面的程序框图,若输出的n=7,则p的取值范围是________.图19-5(62,126][输出的结果为n=7,则此时S=2+22+23+24+25+26=126,不满足条件S<p,但相应地S=62应该满足这个条件,故62<p≤126.]12.已知函数f(x)=x2+x,执行如图19-6的程序框图,若输出的结果是eq\f(31,32),则判断框中的条件是________.图19-6n≤31[因为eq\f(1,fn)=eq\f(1,n2+n)=eq\f(1,nn+1)=eq\f(1,n)-eq\f(1,n+1),所以由框图可知S=0+eq\f(1,f1)+eq\f(1,f2)+…+eq\f(1,fn),即S=1-eq\f(1,2)+eq\f(1,2)-eq\f(1,3)+…+eq\f(1,n)-eq\f(1,n+1)=1-eq\f(1,n+1),令1-eq\f(1,n+1)=eq\f(31,32),得n=31,所以由判断框可知应填“n≤31”.]13.观察下列各式:1+2+3=2×3;1+2+3+4+5=3×5;1+2+3+4+5+6+7=4×7;…则第5个等式应该是________.1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=6×11.[通过式子左边的最大数分别是3,5,7,…,可以得到第n个式子左边最大的数为2n+1,右边为(n+1)(2n+1),则第5个等式应为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=6×11.]14.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,在验证n=1时,左边计算所得的式子为________.1+2+22+23[当n=1时,左边=1+2+22+23.]15.在平面几何中:△ABC的∠C的平分线CE分AB所成的线段的比为eq\f(AC,BC)=eq\f(AE,BE),如图19-7①.把这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中,如图②,面DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E,则类比得到的结论是________.①②图19-7eq\f(AE,EB)=eq\f(S△ACD,S△BCD)[由角的平分线同二面角的平分面相比较知,欲求的都是eq\f(AE,BE)的比值.平面中的线段比类比到空间中应是空间中的面积比,即eq\f(AC,BC)类比可得到eq\f(S△ACD,S△BCD),因此有eq\f(AE,EB)=eq\f(S△ACD,S△BCD).]16.把非零自然数按一定的规则排成了如图19-8所示的三角形数表(每行比上一行多一个数).设aij(i,j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数,如a42=8,若aij=2016,则i,j的值的和为________.【导学号:19592058】图19-880
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