高考数学一轮复习 第五章 平面向量 课时达标检测（二十六）平面向量基本定理及坐标表示-人教版高三数学试题

课时达标检测(二十六）平面向量基本定理及坐标表示[练基础小题——强化运算能力]1．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值为________．解析：eq\o(AB,\s\up7(→))＝(a－2，－2)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)2．(2018·太湖高级中学模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))，则eq\f(|eq\o(AC,\s\up7(→))|,|eq\o(AB,\s\up7(→))|)＝________.解析：∵eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))，∴eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))，∴eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))，∴eq\f(|eq\o(AC,\s\up7(→))|,|eq\o(AB,\s\up7(→))|)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)3．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c解析：由题意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(23＋x＝0，,12＋y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－23，,y＝－12，))所以c＝(－23，－12)．答案：(－23，－12)4．若AC为平行四边形ABCD的一条对角线，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(3,5)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(2,4)，则eq\o(AD,\s\up7(→))＝________.解析：由题意可得eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)．答案：(－1，－1)5．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．解析：eq\o(AB,\s\up7(→))＝(a－1,3)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－3,4)，据题意知eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－eq\f(5,4).答案：－eq\f(5,4)[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m答案：－62．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是________．解析：因为a与b方向相反，所以b＝ma，m＜0，则有(4，x)＝m(x,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝mx，,x＝m，))解得m＝±2.又m＜0，∴m＝－2，x＝m＝－2.答案：－23．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))∴m－n＝2－5＝－3.答案：－34．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量解析：设d＝(x，y)，由题意知4a＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b－2c＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6，20)，2(a－c)＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)，又4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，答案：(－2，－6)5．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝________.解析：因为p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(ab,2ab)＝eq\f(1,2)，又0°＜C＜180°，∴C＝60°.答案：60°6．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝eq\f(π,4)，|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝2，若eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))，则λ＋μ＝________.解析：因为|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝2，∠AOC＝eq\f(π,4)，所以C(eq\r(2)，eq\r(2))，又eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))，所以(eq\r(2)，eq\r(2))＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝eq\r(2)，λ＋μ＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)7．在△ABC中，点P在BC上，且eq\o(BP,\s\up7(→))＝2eq\o(PC,\s\up7(→))，点Q是AC的中点，若eq\o(PA,\s\up7(→))＝(4,3)，eq\o(PQ,\s\up7(→))＝(1,5)，则eq\o(BC,\s\up7(→))＝________.解析：eq\o(AQ,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\o(PA,\s\up7(→))＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AQ,\s\up7(→))＝2(－3,2)＝(－6,4)．eq\o(PC,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(PC,\s\up7(→))＝3(－2,7)＝(－6,21)．答案：(－6,21)8．设eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是________．解析：由题意得eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝(a－1,1)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－b－1,2)，∴2(a－1)－(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(2a＋b)＝4＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥4＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝8，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,2)时取等号，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是8.答案：89．(2018·金陵中学模拟)P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝________.解析：P中，a＝(－1＋m,1＋2m)，Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋m＝1＋2n，,1＋2m＝－2＋3n，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－12，,n＝－7.))此时a＝b＝(－13，－23)．答案：{(－13，－23)}10．(2018·常熟中学月考)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋μeq\o(AN,\s\up7(→))，则λ＋μ＝________.解析：由eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋μeq\o(AN,\s\up7(→))，得eq\o(AB,\s\up7(→))＝λ·eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＋μ·eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→)))，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(μ,2)－1))eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(λ,2)＋eq\f(μ,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝0，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(μ,2)－1))eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＋\f(μ,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(AD,\s\up7(→))＋\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))))＝0，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)λ＋\f(3,4)μ－1))eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(μ,2)))eq\o(AD,\s\up7(→))＝0.又因为eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))不共线，所以由平面向量基本定理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)λ＋\f(3,4)μ－1＝0，,λ＋\f(μ,2)＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(4,5)，,μ＝\f(8,5).))所以λ＋μ＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)二、解答题11.给定两个长度为1的平面向量eq\o(OA,\s\up7(→))和eq\o(OB,\s\up7(→))，它们的夹角为eq\f(2π,3).如图所示，点C在以O为圆心的圆弧eq\x\to(AB)上运动．若eq\o(OC,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．解：以O为坐标原点，eq\o(OA,\s\up7(→))所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，B－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)，设∠AOC＝αα∈0，eq\f(2π,3)，则C(cosα，sinα)，由eq\o(OC,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＝x－\f(1,2)y，,sinα＝\f(\r(3),2)y，))所以x＝cosα＋eq\f(\r(3),3)sinα，y＝eq\f(2\r(3),3)sinα，所以x＋y＝cosα＋eq\r(3)sinα＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，又α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，则α＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))).所以当α＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即α＝eq\f(π,3)时，x＋y取得最大值2.12．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，eq\o(OM,\s\up7(→))＝t1eq\o(OA,\s\up7(→))＋t2eq\o(AB,\s\up7(→)).(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线；(3)若t1＝a2，求当eq\o(OM,\s\up7(→))⊥eq\o(AB,\s\up7(→))且△ABM的面积为12时a的值．解：(1)eq\o(OM,\s\up7(→))＝t1eq\o(OA,\s\up7(→))＋t2eq\o(AB,\s\up7(→))＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．当点M在第二或第三象限时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t2＜0