高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 课时达标检测（十四）导数的概念及导数的运算-人教版高三数学试题

课时达标检测(十四）导数的概念及导数的运算[练基础小题——强化运算能力]1．(2018·镇江调研)函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于________．解析：f(x)＝(x＋1)2(x－1)＝x3＋x2－x－1，f′(x)＝3x2＋2x－1，f′(1)＝3＋2－1＝4.答案：42．(2017·苏州暑假测试)曲线y＝2x在x＝0处的切线方程是________．解析：因为y′＝2xln2，所以在x＝0处的切线斜率为k＝20×ln2＝ln2，因此切线方程是y－1＝ln2×(x－0)，即y＝xln2＋1.答案：y＝xln2＋13．已知直线y＝－x＋1是函数f(x)＝－eq\f(1,a)ex图象的切线，则实数a＝________.解析：设切点为(x0，y0)．f′(x)＝－eq\f(1,a)ex，则f′(x0)＝－eq\f(1,a)·ex0＝－1，∴ex0＝a，又－eq\f(1,a)·ex0＝－x0＋1，∴x0＝2，∴a＝e2.答案：e24．(2018·无锡期末)过曲线y＝x－eq\f(1,x)(x＞0)上一点P(x0，y0)处的切线分别与x轴、y轴交于点A，B，O是坐标原点，若△OAB的面积为eq\f(1,3)，则x0＝________.解析：∵y′＝1＋eq\f(1,x2)，∴y′x＝x0＝1＋eq\f(1,x\o\al(2,0))，∴AB：y－y0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x\o\al(2,0))))(x－x0)．又y0＝x0－eq\f(1,x0)，∴y－x0＋eq\f(1,x0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x\o\al(2,0))))(x－x0)令x＝0得y＝－eq\f(2,x0)；令y＝0得x＝eq\f(2x0,1＋x\o\al(2,0))，∴S△OAB＝eq\f(1,2)·eq\f(2,x0)·eq\f(2x0,1＋x\o\al(2,0))＝eq\f(1,3)，解得x＝eq\r(5)(负值舍去)．答案：eq\r(5)5．(2018·常州月考)设点P为函数f(x)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f(1,x)))图象上任一点，且f(x)在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为________．解析：由f(x)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f(1,x)))得，f′(x)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2＋\f(1,x2)))≥eq\f(1,2)×2eq\r(3)＝eq\r(3)，即tanα≥eq\r(3)(α∈[0，π))，解得eq\f(π,3)≤α＜eq\f(π,2).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．(2018·扬州期初测试)若以数列{an}中的各项an作为系数，构成一个函数系y＝anx3，其图象在x＝1处的切线的斜率为4an－1－1(n≥2)，且a1＝eq\f(4,3)，则an＝________.解析：由y＝anx3，得y′＝3anx2，故当x＝1时，切线的斜率k＝3an，从而3an＝4an－1－1(n≥2)，于是3an－3＝4an－1－4(n≥2)，故eq\f(an－1,an－1－1)＝eq\f(4,3)(n≥2)，又a1＝eq\f(4,3)，所以a1－1＝eq\f(1,3)，所以数列{an－1}是以eq\f(1,3)为首项，eq\f(4,3)为公比的等比数列，故an－1＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1，从而an＝eq\f(4n－1,3n)＋1.答案：eq\f(4n－1,3n)＋12．(2018·泰州模拟)已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为________．解析：设切点坐标为(t，t3－at＋a)．由题意知，f′(x)＝3x2－a，切线的斜率k＝f′(t)＝3t2－a①，所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)②.将点A(1，0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解得t＝0或t＝eq\f(3,2).分别将t＝0和t＝eq\f(3,2)代入①式，得k＝－a和k＝eq\f(27,4)－a，由题意得它们互为相反数，故－a＋eq\f(27,4)－a＝0，解得a＝eq\f(27,8).答案：eq\f(27,8)3．(2018·太仓高级中学模拟)若点P，Q分别是曲线y＝eq\f(x＋4,x)与直线4x＋y＝0上的动点，则线段PQ长的最小值为________．解析：易知曲线y＝eq\f(x＋4,x)与直线4x＋y＝0无公共点，设直线4x＋y＝m与y＝eq\f(x＋4,x)相切，P为切点．对y＝eq\f(x＋4,x)求导得y′＝－eq\f(4,x2)，由－eq\f(4,x2)＝－4得x＝±1，因此P(1,5)或P(－1，－3)，解得m＝9或m＝－7，此时两直线4x＋y＝m,4x＋y＝0间的距离分别为eq\f(9,\r(17))，eq\f(7,\r(17))，故线段PQ长的最小值为eq\f(7\r(17),17).答案：eq\f(7\r(17),17)4．(2018·淮安月考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上为凸函数的是________．(填序号)①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.解析：在定义域eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内，由f″(x)＝－sinx－cosx＜0，得①是凸函数；由f″(x)＝－eq\f(1,x2)＜0，得②是凸函数；由f″(x)＝－6x＜0，得③是凸函数；由f″(x)＝2ex＋xex＞0，得④不是凸函数．答案：①②③5．(2018·重庆诊断)已知函数f(x)＝eq\f(2,ex＋1)＋sinx，其导函数为f′(x)，则f(2019)＋f(－2019)＋f′(2019)－f′(－2019)的值为________．解析：∵f(x)＝eq\f(2,ex＋1)＋sinx，∴f′(x)＝－eq\f(2ex,ex＋12)＋cosx，f(x)＋f(－x)＝eq\f(2,ex＋1)＋sinx＋eq\f(2,e－x＋1)＋sin(－x)＝2，f′(x)－f′(－x)＝－eq\f(2ex,ex＋12)＋cosx＋eq\f(2e－x,e－x＋12)－cos(－x)＝0，∴f(2019)＋f(－2019)＋f′(2019)－f′(－2019)＝2.答案：26．(2018·宿迁期初测试)若直线l与曲线C满足下列两个条件：(ⅰ)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(ⅱ)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C，下列四个命题：①直线l：y＝0在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝x3；②直线l：y＝x－1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y＝lnx；③直线l：y＝－x＋π在点P(π，0)处“切过”曲线C：y＝sinx；④直线l：y＝x＋1在点P(0,1)处“切过”曲线C：y＝ex.其中正确的命题有________．(填序号)解析：对于①，y＝x3在点P(0,0)处的切线为y＝0，且曲线y＝x3在(0,0)附近位于直线y＝0两侧，符合题中两个条件，所以正确；对于②，曲线C：y＝lnx在直线l：y＝x－1的同侧，不符合题意，所以错误；对于③，由图象可知，曲线C：y＝sinx在点P(π，0)附近位于直线l的两侧，符合题意，所以正确；对于④，曲线C：y＝ex在直线l：y＝x＋1的同侧，不符合题意，所以错误．即正确的有①③.答案：①③7．(2018·启东中学月考)若曲线y＝alnx与曲线y＝eq\f(x2,2e)在它们的公共点P(s，t)处具有公切线，则eq\f(t,s)＝________.解析：函数y＝alnx的导函数为y′＝eq\f(a,x)，其切线在P(s，t)处的斜率为k1＝eq\f(a,s).函数y＝eq\f(x2,2e)的导函数为y′＝eq\f(x,e)，其切线在P(s，t)处的斜率为k2＝eq\f(s,e).由曲线y＝alnx与曲线y＝eq\f(x2,2e)在它们的公共点P(s，t)处具有公切线，可得eq\f(a,s)＝eq\f(s,e)，且t＝eq\f(s2,2e)＝alns，s＞0，所以lns＝eq\f(1,2)，所以s2＝e，所以t＝eq\f(1,2)，s＝eq\r(e)，即eq\f(t,s)＝eq\f(\r(e),2e).答案：eq\f(\r(e),2e)8．(2018·无锡期初测试)曲边梯形由曲线y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所围成，过曲线y＝x2＋1，x∈[1,2]上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为________．解析：设P(x0，xeq\o\al(2,0)＋1)，x∈[1,2]，则易知曲线y＝x2＋1在点P处的切线方程为y－(xeq\o\al(2,0)＋1)＝2x0(x－x0)，令y＝2x0(x－x0)＋xeq\o\al(2,0)＋1＝g(x)，由g(1)＋g(2)＝2(xeq\o\al(2,0)＋1)＋2x0(1－x0＋2－x0)，得S普通梯形＝eq\f(g1＋g2,2)×1＝－xeq\o\al(2,0)＋3x0＋1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,2)))2＋eq\f(13,4)，所以当P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(13,4)))时，S普通梯形最大．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(13,4)))9．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：由题意，可知f′(x)＝3ax2＋eq\f(1,x)，又曲线存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋eq\f(1,x)＝0，即a＝－eq\f(1,3x3)(x＞0)，故a∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)10．(2018·南通调研)在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y＝x2(x＞0)和y＝x3(x＞0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则eq\f(x1,x2)的值是________．解析：由y＝x2得y′＝2x，切线方程为y－xeq\o\al(2,1)＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－xeq\o\al(2,1).由y＝x3得y′＝3x2，切线方程为y－xeq\o\al(3,2)＝3xeq\o\al(2,2)(x－x2)，即y＝3xeq\o\al(2,2)x－2xeq\o\al(3,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x1＝3x\o\al(2,2)，,x\o\al(2,1)＝2x\o\al(3,2)，))得eq\f(x1,x2)＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)二、解答题11．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≥－1，,－\f(1,k)≥－1，))解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－eq\r(2)]∪(1,3)∪[2＋eq\r(2)，＋∞)．12．(2018·启东中学高三月考)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)