2022中考之2021全国中考优题汇编与精解37 锐角三角函数（44题）含答案2022中考之2021全国中考优题汇编与精解37 锐角三角函数（44题）【含答案】

专题37：锐角三角函数（44题）

一、单选题

1.（2021・天津中考真题试卷）tan3O。的值等于（）

A.—B.—C.1D.2

32

A

根据30。的正切值直接求解即可.

解：由题意可知，tan30。="，

3

故选：A.

【点评】本题考查30。的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可.

2.（湖南省永州市2021年中考真题试卷数学试卷）下列计算正确的是（）

A.（7Z--3）0=1B.tan30°=1C.4=±2D.

A

根据零指数累，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数塞乘法的计算法则分别计算即可.

解：A、（万—3）°=1,此选项正确；

B>an30°=—>此选项错误；

t3

c、、〃=2,此选项错误；

D、CT-O'-O'此选项错误；

故选：A.

【点评】本题考查零指数寻，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数募乘法，熟知相关计算法则

即定义是解决本题的关键.

3.（2021・广西中考真题试卷）如图，在平面直角坐标系内有一点尸（3,4）,连接OP,则。尸与x轴正方

向所夹锐角a的正弦值是（）

344

A.-B.-D.-

435

D

作尸轴于点M,构造直角三角形，根据三角函数的定义求解.

解：作轴于点

；P(3,4),

：.PM=4,0M=3,

由勾股定理得：0P=5,

PM4

sina=

OP5

【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，一个角的正弦值等于它所在直角三角形的对边与斜

边之比.

4.（2021•贵州铜仁市•中考真题试卷）下列等式正确的是（)

X

A.|-3|+tan45°=-2B.(盯)5+=x'°

y)

C.^a-by=a2+2ab+b2D.x'y-xy)=xy(x+y)(x-y)

D

依据绝对值的计算，特殊角的三角函数，积的乘方，同底数基的除法运算，完全平方公式，因式分解，逐

项计算即可.

A.|-3|+tan45°=3+l=4,不符合题意

、5

X5/x4=y,0,不符合题意

B.(孙)5・x

y)X

C.(a-b)2=a2-2ab+b2,不符合题意

D.x3y-Ay3=A7(x2-y2)=A^(x+y)(x-y),符合题意

故选D.

【点评】本题考查了绝对值的计算，特殊角的三角函数，积的乘方，同底数第的除法运算，完全平方公式,

因式分解，解决本题的关键是牢记公式与定义.

3

5.（2021.云南中考真题试卷）在AABC中，NA5C=90°,若4c=100,sin4=：,则AB的长是（）

500503

A.---B.---C.60D.80

35

D

根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC,然后利用勾股定理即可求解.

3

W：'：ZABC=90°,sinZA=—=—,AC=100,

AC5

Z.BC=100x3+5=60,

.•.止以。2一3。2=80,

故选D.

【点评】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键.

6.（2021・湖北中考真题试卷）如图，AA6C的顶点是正方形网格的格点，则cosNABC的值为（）

A.也B.也C.1D.皇

3233

B

作AO,8c于£>,利用勾股定理求出AB的长，再根据公式计算即可.

解：作ADJ_BC于。，

由图可知：AD=3,BD=3,

在即AABD中，AB=y]AD2+BD2=V32+32=372>

3_V2

・二cosZABC=---

AB

【点评】此题考查求角的余弦值，勾股定理求边长，正确构建直角三角形并熟记余弦值公式是解题的关键.

7.（2021・四川中考真题试卷）如图，在AASC中，点。是角平分线AZ）、3E的交点，若AB=AC=10,BC

=12,则tan/OB。的值是（）

V6

~TDT

根据等腰三角形的性质，可得A"BC,B*BC=6,再根据角平分线的性质及三角的面积公式得

ABA010

进而即可求解.

~BD~~OD~~e

解：AB=AC=\0,BC=\2,AO平分NBAC,

：.ADLBC,BD=—BC=6,

2

.'.AD=y]\Q2_^2=8，

过点O作。尸，AB,

平分/A5C,

:.OF=OD,

•♦SAA()6___A__O___±；__钻____6________A__B_

AOB

S-DOB°DLBD.ODBD

2

.ABAO8—0。

―,解得：00=3,

"BDODOD6

,OD3\_

..tanZ0BD=----=—

BD62

故选A.

AfiAn

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义，推出——=——，是

BD0D

解题的关键.

8.（2021.辽宁营口市.中考真题试卷）如图，EF与AB，BC,CD分别交于点E,G,凡且Nl=N2=30°,

EF上AB，则下列结论错误的是（）

A.AB//CDB.Z3=60°C.FG=-FCD.GFLCD

2

C

根据平行线的判定定理，可判断A,根据平行线的性质，可判断B,D,根据锐角三角函数的定义，可判断

C,进而即可得到答案.

解：：/1=/2=30°,

/.AB//CD,故A正确，不符合题意；

EFLAB，

，/3=180°-30°-90°=60°,故B正确，不符合题意；

,/AB//CD,£F±AB.

EFLCD,即：NGFC=90。，故D正确，不符合题意；

又；/2=30°,

•••tan30°=—=—.即：FG=—FC>故C错误，符合题意.

CF33

故选C.

【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，锐角

三角函数的定义是解题的关键.

9.（2021•浙江宁波市•中考真题试卷）如图，在中，N8=45°,NC=60°,AO_L8C于点，

BD=6若E，尸分别为AB，5c的中点，则族的长为（）

A.BB.BC.1D.迈

322

C

根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，则BZ）=AD,ZiAOC是30。、60。的直角三角形，可求出AC长，再

Ar

根据中位线定理可知EF=——。

2

解：因为AO垂直8C,

KUABD和4ACD都是直角三角形，

又因为48=45°,NC=60°,

所以">=80=6,

因为sin/C=d^=立，

AC2

所以AC=2,

因为EF为△ABC的中位线，

AQ

所以*—=1,

2

故选：C.

【点评】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理

推导，是解决问题的关键.

10.（2021•湖南怀化市•中考真题试卷）如图，菱形ABCQ的四个顶点均在坐标轴上，对角线4C、BD交于

原点O,3c于E点，交BD于M点,反比例函数y=Y3（x〉0）的图象经过线段。C的中点M

3x

若BD=4,则ME的长为（)

54

A.ME=-B.ME=-

33

2

C.ME=\D.ME=-

3

D

根据菱形的性质得出。点的坐标，利用反比例函数y=@（x〉O）的图象经过线段的中点N,求出C

点的坐标，进而得出ZODC=30°；根据菱形的性质可得ZABC=ZADC=2ZODC=60°，AB=BC,

可判定△相（?是等边三角形；最后找到ME、AM.AE,。8之间的数量关系求解.

:菱形ABC。，BD=4

OD=OB—2

二。点的坐标为（0,2）

设C点坐标为（4,0）

•.•线段OC的中点N

.•.设N点坐标为（/，1）

2

又：反比例函数y=也（X〉0）的图象经过线段。C的中点N

•3%

，真=L解得七=平

3,万3

即C点坐标为（空，0）,oc=-

33

2G

在中，

RtAODCtanZO£>C=—=^-=—

0。23

.*•NODC=30°

:菱形ABC。

/.ZABC=ZADC=2ZODC=60°,AB=BC,/OBC=/ODC=30。

，AABC是等边三角形

又•••AE_L3C于E点，BOLOC于。点

:.AE—OB-2,AO—BE

・；AO=BE,ZAOB=ZAEB=90°,ZAMO=ZBME

^AOM=^BEM(AAS)

AM

ME

叉：在RbBME中,——=sin30°

BM

ME=sin30。=」

~\M2

：.ME^-AE=-x2=-

333

故选：D.

【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和特殊角30。的三角函数.菱形的性质，四边相等，对角

相等，对角线互相垂直且平分一组对角.等边三角形的判定，有一个角为60°角的等腰三角形是等边三角

形.特殊角30。的三角函数，sin30。=1，cos30。=走，tan30°=—.

223

11.（2021•江苏南通市•中考真题试卷）如图，四边形A8CO中，AB//DC,DE±AB,CF±AB,垂足分

别为E,F,且A£=EE=EB=5cm,PE=12cm.动点P,Q均以Icm/s的速度同时从点A出发，其

中点P沿折线AO-DC-CB运动到点8停止，点。沿AB运动到点B停止，设运动时间为f（s）,AAPQ

的面积为ykm?）,则y与/对应关系的图象大致是（）

分四段考虑，①点P在上运动，②点尸在。C上运动，且点。还未到端点B,③点尸在。C上运动,

且点。到达端点B,④点尸在BC上运动，分别求出y与，的函数表达式，继而可得出函数图象.

解：在/?/△ADE中AD=，AE。+DE?=13，

在R3CFB中，BC=^BF2+CF2=13(cm),

AB=AE+EF+FB=15(cw),

①点P在40上运动，AP=t,AQ=t,BP0<Z<13,

如图，过点P作PGLAB于点G,

16,

此时y=5AQxPG=w『(0«fwi3),图象是一段经过原点且开口向上的抛物线;

②点P在。C上运动，且点。还未到端点8,即13</<15,

此时广;AQxoE=6r（i3<r<i5）,图象是一段线段；

③点P在。C上运动，且点。到达端点8,即15WfW18,

止匕时产;ABX。丘=90（15W/W18）,图象是一段平行于X轴的水平线段;

④点P在BC上运动，PB=3\-t,即18<fW31,

如图，过点P作于点

.nCFPH皿12八，、

sinB=---=----9则PH——（31—。9

BCPB13v7

此时），=148*川/=一型，+12四（18<1431）,图象是一段线段；

'21313

综上，只有D选项符合题意，

故选：D.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y与/的函数关系式，

3

12.（2021・四川中考真题试卷）如图，直线4与反比例函数y=—（x>0）的图象相交于48两点，线段A3

的中点为点C,过点。作X轴的垂线，垂足为点。.直线，2过原点。和点C.若直线上存在点尸（相，〃），

满足NAPB=NADB，则〃，+〃的值为（）

根据题意，得A（l,3）,B（3,l）,直线4：>=尤；根据一次函数性质，得加=〃；根据勾股定理，得

PC=yj2（m-2y；连接A4，PB,FB，根据等腰三角形三线合一性质，得C（2,2）,OCLAB；根

据勾股定理逆定理，得NARD=9（）°；结合圆的性质，得点A、B、D、尸共圆，直线4和AB交于点F,

点尸为圆心；根据圆周角、圆心角、等腰三角形的性质，得FC=也；分PC=PR+FC或PC=尸产一EC

2

两种情况，根据圆周角、二次根式的性质计算，即可得到答案.

根据题意，得A（g,3],43,：）,即A（l,3）,5（3,1）

•••直线4过原点。和点C

，直线4：了=%

；P（m,n）在直线4上

：.m-n

•••PC=小2（m-2y

连接B4,PB,FB

:.PA=PB，线段AB的中点为点C

AC(2,2),OCLAB

过点C作x轴的垂线，垂足为点。

0(2,0)

‘AD='(2-1)2+(()-3)2=而,AB=^(1-3)2+(3-1)2=272，8D=J(3-2丫+1=0

：•AD2=AB2+BD1

，ZABD^90°

...点A、B、。、P共圆，直线4和A8交于点F,点尸为圆心

BDV2

・二cosZADB

AD-Vio

AC=BC>FB=FA=—AD

2

:.ZBFC=-ZAFB

2

VZAPB^ZADBt且=

2

ZAPB=ZADB=NBFC

，.尸—噜=器=磊

2

•••FC=—

2

，PC=PF+FC或PC=PF-FC

当PC=PE—FC时，Z4P8和NA£>8位于直线AB两侧，即NAPB+NAZ>3=180°

PC=PF—FC不符合题意

:•PC=PF+FC=叵+包,且"Z<2

22

，PC=^2（m-2）2=V2（2-m）,

•••血（2―机）=孚+等

•<>m+n-2m=3-亚

故选：A.

【点评】本题考查了圆、等腰三角形、反比例函数、一次函数、三角函数、勾股定理、二次根式的知识；

解题的关键是熟练掌握圆心角、圆周角、等腰三角形三线合一、三角函数、勾股定理的性质，从而完成求

解.

二、填空题

13.（2021.湖北荆门市.中考真题试卷）如图，在平面直角坐标系中，MVQ45斜边上的高为1,Z4OB=30。,

将RNOAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt^OCD，点4的对应点C恰好在函数y=4（攵。0）的图象上,

X

若在y=七的图象上另有一点M使得ZMOC=30°,则点M的坐标为.

X

（73,1）

利用30°的正切可以求出C点坐标，再利用C、M在y=七（左H0）上，设M的坐标，最后通过NMOF=30°

可以求出M点的坐标.

解：如图，过点C作CELy轴，过点加作“厂,工轴,

由题意可知NEOC=NMO尸=30°,CE=l

CFr-k

则。E=—=百，＜7在＞=—伏HO)上，

tan30°x

:.k=y/3

设(加＞0)

m

vZMOF=30°

.•.tanZMOF=—

3

m

即耳=可解得m=1,小=-1(不符合题意，舍去)

m

所以M(6,l)

故(6,1).

【点评】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数，反比例函数性质，正确理解题意，求出c

点的坐标是解决问题的关键.

14.（2021.湖南娄底市.中考真题试卷）高速公路上有--种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为

了提醒驾驶员在开车时减速慢行.如图，用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”，A8平行于车辆前行方向,

BEtAB,/CBE=a,过8作AE＞的垂线，垂足为A（A点的视觉错觉点），若

sina=().05,AB=300mm,则AA=mm.

15.

根据同角的余角相等得到NA'B4=/a,进一步根据三角函数求解即可.

解：如图所示，

V48,AQ且四边形ABC。为平行四边形，

A'B1BC，ZABC=/ABC+NAB4=90°，

又：BE^AB,

：./ABE=ZABC+Za=90°,

/.sinZA'BA=sina=-----=0.05,

AB

又AB=300mm.

，A4'=AB»sinZABA=300x0.05=15mm.

故15.

【点评】本题考查三角函数的实际应用，解题的关键是利用同角的余角相等找出角的关系，根据同角三角

函数关系求值.

15.（2021•黑龙江中考真题试卷）如图，菱形ABCD中，ZABC=120°,AB=1，延长CD至4,使

D\=CD,以AC为一边，在8c的延长线上作菱形ACG3,连接A4,得到AAOR；再延长G2至

&,使=CQ，以A2G为一边，在CC\的延长线上作菱形A2CtC2D2，连接44,得到M,£>,A2……

按此规律，得至I」402002020A2。21，记的面积为的面积为402002020a021的面

A25,,AAQ452……A2

积为S2021，则$2021=-

2例8

由题意易得NBC£>=60°,AB=AO=CD=1,则有A4£>4为等边三角形，同理可得乙41。4.......

都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得£:手，S2=A/3,……由此规

律可得S“=6・22"Y,然后问题可求解.

解：•••四边形A8QD是菱形，

，A5=AD=CD=1,AD//BC,AB//CD,

ZABC=nO0,

:.NBCD=S。,

：,NADA=NBC。=60。，

:DAt=CD,

DAt=AD,

，A4£>4为等边三角形，

同理可得A4Q|A?……&42。20。202。4。2「都为等边三角形，

过点8作8E_LC£>于点E,如图所示:

八

，BE^BCsin/BCD=—，

2

•c_1Ap._V32_V3

••51=-A,D,BE=—A,D=—，

12'4、4

2

同理可得：S]二号■义22=#>，S3=x4=4-\/3.......

，由此规律可得：S.=6・N,

2X202144<,38

.­.5202I=^X2-=2.V3；

故答案为2皿38.百.

【点评】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三

角形的性质与判定及三角函数是解题的关键.

16.（2021•广西中考真题试卷）如图、在正六边形ABCDE/中，连接线A。，AE，AC,DF，DB，

AC与BD交于点M，AE与DF交于■点、为N,MN与A。交于点。，分别延长AB，于点G,设

AB=3.有以下结论：®MN±AD；②MN=26③4G的重心、内心及外心均是点A7;④四边

形E4CO绕点。逆时针旋转30。与四边形ABDE重合.则所有正确结论的序号是.

①②③

由题意易得AB=5C=CD=DE=M=2,

ZABC=ZBCD=ZCDE=ZDEF=ZEFA=ZFAB=120°.则有NEED=NED尸=30°,进而可得

NOE4=NEDC=90。，则有四边形E4CZ)是矩形，然后可得AE4N乌A84",AAOG为等边三角形，

最后可得答案.

解：：六边形ABCDEE是正六边形，

AB=BC=CD=DE=EF=FA,

ZABC=/BCD=/CDE=ADEF=NEFA=ZFAB=120°,

1SO°-ZDEF

在△£>E/中，ZEFD=ZEDF=——=^-=30°,

2

:.ZDFA=ZFDC=90°,

同理可得ZFAC=ZDCA=90°,

四边形E4c。是矩形，

同理可证四边形ABDE是矩形,

：.DN//AM,AN//MD,

/.四边形AMDN是平行四边形，

•/AF=AB,ZNFA=NMBA=90°,ZFAN=ZMAB=30°,

:.AFAN珏BAM(ASA),

：.AN=AM,

四边形AMDN是菱形，

,MNA.AD,

：.ZNAM=60°,

.♦.△NAM是等边三角形，

：.AM=MN,

'：AB=3,

AM=———=2G,

cosZMAB

MN=26，

VZMAB=30°,ZACG=9Q°,

AZ6=60°,

△AQG是等边三角形，

与8。交于点M,

由等边三角形的性质及重心、内心、外心可得：△DAG的重心、内心及外心均是点M，

连接OF,如图所示:

易得NFOA=60。，

，四边形E4c。绕点。逆时针旋转60。与四边形ABDE重合,

，综上所述：正确结论的序号是①②③；

故答案为①②③.

【点评】本题主要考查正多边形的性质、矩形及菱形的判定与性质、等边三角形的性质与判定、三角形的

重心、内心、外心及三角函数，熟练掌握正多边形的性质、矩形及菱形的判定与性质、等边三角形的性质

与判定、三角形的重心、内心、外心及三角函数是解题的关键.

17.（2021•内蒙古中考真题试卷）某滑雪场用无人机测量雪道长度.如图，通过无人机的镜头C测一段水

平雪道一端A处的俯角为50。，另一端8处的俯角为45。，若无人机镜头C处的高度C£＞为238米，点A,

D,B在同一直线上，则通道AB的长度为米.（结果保留整数，参考数据sin50。70.77,

cos50°«0.64,tan50°«1.19）

438

根据等腰直角三角形的性质求出BD，根据正切的定义求出A。，结合图形计算即可.

解：由题意得，ZCAD=50°,ZCBD=45°,

在用△C8Z）中，NCBD=45。,

.-.BD=CD=238（米），

在R/ACAD中,tanZCAD=—

AD

CD

则AD=*200（米）,

tan50°

则AB=AD+5Dv438（米）,

故答案是：438.

【点评】本题查考了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解题的关键是：能借助构造的直角三角形求

解.

18.（2021♦江苏常州市•中考真题试卷）如图，在ATWC中，AC=3,BC=4,点。、E分别在C4、CB上,

点尸在AABC内.若四边形CORE是边长为1的正方形，则sinNEBA=.

V10

而

连接AF,CF,过点F作FM_LAB,由S/时=5»仃+S^CF+，可得下闻=1，再根据锐角三角函数

的定义，即可求解.

解：连接4凡CF,过点F作尸

:四边形CORE是边长为1的正方形，

，/C=90。，

・"8=，32+42=5,

,S-A8C=SAACF+S^BCF+SaABF，

—x3x4=—x3xl+—x4xl+-x5xFM,

2222

，FM=1,

:BF=^（4-l）2+l2=V10，

sinZFBA=_7k=—.

M10

故答案是：叵

10

【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握”等积法”是解题的关键.

19.（2021•甘肃中考真题试卷）如图，在矩形ABCD中，E是3C边上一点，ZAED=90°,ZEAD=30°,F

是AO边的中点，EF-4cm,则BE二cm

6

先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解4。，再利用锐角三角函数依次求解AE,BE即可得

到答案.

解：•.•NAEO=9（）°,尸是AO边的中点，EF=4cm,

：.AD=2EF=S,

\-ZDAE=30°,

AE=cos30。xAO=8x3=4瓜

2

•••矩形ABC。,

:.AD//BC,ZABE^90°,

.•.NAEB=NZME=30。，

BE=AE.cos30。=48x走=6.

2

故6.

【点评】本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的应用，掌

握锐角三角函数的应用是解题的关键.

20.（2021•江苏苏州市•中考真题试卷）如图，射线QV互相垂直，Q4=8,点3位于射线的上

方，且在线段OA的垂直平分线/上，连接AB，A3=5.将线段AB绕点。按逆时针方向旋转得到对应

线段A3',若点B'恰好落在射线QV上，则点A到射线ON的距离.

24

T

添加辅助线，连接。4‘、0B,过A'点作HPJ_ON交ON与点P.根据旋转的性质，得到

^A'B'O^ABO,在mA4'PO和中，ZB'OA=ZBOA,根据三角函数和已知线段的长度求出点A'到

射线ON的距离d=A'P.

如图所示，连接。4'、OB,过4点作4PLQV交ON与点尸.

;线段AB绕点。按逆时针方向旋转得到对应线段A'B'

AOA'=OA=S,ZB'OB=ZA'OA

:.AB'OB-ZBOA'=ZA'OA-ZBOA'

即=

:点B在线段OA的垂直平分线/上

AOC=-OA=-x8=4,OB=AB=5

22

BC=4OBr-OC1=752-42=3

•:ZB'OA'=ZBOA

：.sinZB'OA'==sinNBOA=—

A'OOB

.A,P3

••----=一

85

24

d=A'P=—

5

【点评】本题主要考查旋转的性质和三角函数.对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的

线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等.

21.（2021・四川达州市•中考真题试卷）如图，在边长为6的等边AABC中，点£,E分别是边AC，BC

上的动点，且AE=CE,连接BE,AF交于点P,连接CP，则CP的最小值为

2G.

首先证明NAP3=120°,推出点P的运动轨迹是以。为圆心，04为半径的弧.连接CO交。。于PL当

点P运动到尸时，CP取到最小值.

如图所示，•••边长为6的等边AABC,

/-AC=AB=6,ZACB=ACAB=^)°

又；A£=b

^ACF^BAE(SAS)

/CAP=NPBA

，ZEPA=ZPBA+/PAB=ZCAP+ZPAB=ZCAB=60°

ZAPS=120°

，点P的运动轨迹是以。为圆心，。4为半径的弧

止匕时=]20。

连接co交。。于尸，当点P运动到尸，时，CP取到最小值

,:CA=CB、CO=CO,OA=OB

：.^ACO^BCO(SSS)

:.ZACO=ZBCO=30°,ZAOC=ABOC=60°

，ZC4O=ZCBO=9()0

又：AC=6

g厂OC=—4=46

，OP'=QA=A5tan300=6x2=2G，cos30°<3

32

，CP'=QC-OP'=4百-2百=2百

即

故2石

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识.关

键是学会添加辅助线，该题综合性较强.

22.(2021.山东东营市.中考真题试卷)如图，正方形ABC4中，AB=5A3与直线/所夹锐角为60。,

延长CB、交直线/于点4,作正方形ABCIB?,延长G层交直线I于点&,作正方形4&GB,,延长G员

交直线/于点&,作正方形44c3打，…，依此规律，则线段40204021=.

2(亭2020

利用tan30。计算出30。角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可.

:AB与直线1所夹锐角为60°,正方形ABC4中，AB=5

/丹朋=30。，

4A=1Atan30°=布x坐=1,

二A4=2=2(—)w：

13

BC,

G

G

^04

AT小儿

：4A=i,NB2AA2=30。，

B,A,=tan30°=1x,

33

44=2x（吗2T；

二线段4侬/I=2、邛严1=2（率叫

故答案为.2（走）2。2。

【点评】本题考查了正方形的性质，特殊角三角函数值，含30。角的直角三角形的性质，规律思考，熟练进

行计算，抓住指数的变化这个突破口求解是解题的关键.

23.（2021・四川中考真题试卷）如图，己知点A（4,3）,点5为直线y=-2上的一动点，点C（0,〃），

一2<〃<3,AC_LBC于点C,连接AB.若直线AB与8正半轴所夹的锐角为a，那么当sine的值最

大时，〃的值为.

2

设直线），=-2与y轴交于G,过A作A”J_直线y=-2于”,A八L），轴于匕根据平行线的性质得到乙4BH

=a,由三角函数的定义得到Sina根据相似三角形的性质得到比例式且="2,于是得到

BA3-〃4

GB=（〃+2）（3-/?）=（H--）2+—,根据二次函数的性质即可得到结论.

44216

解：如图，设直线＞=-2与y轴交于G,过A作AHJ_直线y=-2于"，A凡Ly轴于凡

二ZABH=a,

在RtziABH中，AB=yjAH2+BH2.sinar=^7>

DA

55

即sina==I,.

BAy/AH2+BH2

Vsina随BA的减小而增大，

，当BA最小时sina有最大值；即最小时，sina有最大值，即8G最大时，sina有最大值,

:ZBGC=ZACB=ZAFC=90°,

，NGBC+NBCG=N8CG+NACF=90。，

.\ZGBC=ZACF,

：.△ACFs[\C8G,

.BGCG

••彳-7F'

；A(4,3),C(0,〃)

BG_n+2

即

4

BG=——(n+2)(3-M)=——(n——)2+—,

44216

V-2<n<3

125

.•.当〃=:时，BG最大值=7

216

故！.

2

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线证得

△ACF^^CBG是解题的关键.

24.（2021.浙江宁波市.中考真题试卷）如图，在矩形ABC。中，点E在边AB上，ABEC与AFEC关于

直线EC对称，点8的对称点尸在边AO上，G为C。中点，连结BG分别与CE,C尸交于M,N两点，若

由△BEC与#EC关于直线EC对称，矩形ABCD,证明ABEC咨AFEC,再证明ABCN%CFD,可得

4/7FF

BN=CD,再求解CO=2,即可得BN的长；先证明AAFESACBG,可得：——=——,设BM=x,

CGBG

则BE=BM=EE=x,BG=x+l,A£=2-x,再列方程，求解修即可得到答案.

解：•••△BEC与AFEC关于直线EC对称，矩形ABCD,

:.ABEC'FEC,ZABC=ZADC=ZBCD=90°,

NEBC=ZEFC=90°,NBEC=4FEC,BE=FE,BC=FC,

BM=BE,

/BEM=NBME,

:"FEC=NBME,

：.EF//MN,

:.ZBNC=ZEFC=90°,

:"BNC=/FDC=9U。,

-.ZBCD=90°,

：./NBC+/BCN=90°=/BCN+ZDCF,

:"NBC=/DCF,

:.ABCNACFD,

：.BN=CD,

矩形ABCD

:.AB//CD,AD//BC,

/BEM=NGCM,

Z.BEM=/BME-NCMG,MG=1,G为CD的中点，

：.ZGMC=ZGCM,

；.CG=MG=1,CD=2,

BN=2.

如图，BM=BEFE,MN//EF,四边形ABC。都是矩形,

;.AB=CD,AD//BC,ZA=NBCG=90°,ZAEF=ZABG,

•NAFE+ZAEF=90°=NABG+Z.CBG,

:.ZAFE=/CBG,

:.AAFESACBG,

,AEEF

,,司一而

设BM=x,则BE=BM=FE=x,BG=x+1,AE=2—x,

2-xx

•,•_____一____9

1x+1

解得：x=±>/2,

经检验：工=±0是原方程的根，但工=_近不合题意，舍去，

,AE=2-C,EF=&

••醺2-夜r-

..sin4AFE==—7=—=72—1.

EFV2

故2,夜-1.

【点评】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数

的应用，分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键.

三、解答题

25.（2021.湖南岳阳市•中考真题试卷）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建

一座步行观光桥，如图，该河旁有一座小山，山高BC=8（）m,坡面A8的坡度i=1:0.7（注：从山顶B

处测得河岸E和对岸F的俯角分别为NDBE=45°,NDBF=31。.

BD

（2）若在此处建桥，试求河宽EF的长度.（结果精确到0.1m）

（参考数据：sin31°M）.52,cos3—.86,tan31°®0.60）

（1）24，〃；（2）53.3m

（1）先利用等角对等边和坡度值分别求出CE和AC,最后相减即可得到AE的长；

（2）利用三角函数值求出CF的长后，利用线段之间的和差关系即可求出EF的长.

解：（1）VBC^SOm,坡面AB的坡度i=l：0.7,

04=80x0.7=56m,

:NDBE=45。,

NCBE=45。,

二NCBE=NBEC=45。,

：•CE=CB=8（）m,

/.AE=CE-C4=80—56=24®),

•••山脚A至ij河岸E的距离为24如

(2)；ZDBF=31°,BD//CF,

：.ZBFC=31°,

CB80

，CF=X--X133.3(m),

tan310.6

EF^CF-CE^133.3-80=53.3㈣，

二河宽EF的长度约为53.3〃?.

【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用，要求学生能正确理解题意，能建立文字与图形之间的关联,

能用数学符号表示实际问题中的数量关系等，解决本题的关键是能正确利用坡比值和利用三角函数值求线

段的长等.

26.（2021•江苏无锡市•中考真题试卷）如图，己知锐角中，AC^BC.

BB

（图1）（图2）

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作NAC8的平分线CO；作AABC的外接圆OO；（不写

作法，保留作图痕迹）

48

（2）在（1）的条件下，若=。。的半径为5,则sin8=.（如需画草图，请使用图2）

4

（1）见详解；（2）j

（1）根据尺规作角平分线的步骤，即可作NACB的平分线CD,作出AC的中垂线交CD于点。，再以点

O为圆心，OC为半径，画圆，即可；

24

（2）连接04根据等腰三角形的性质得4。=8。=行，CDLAB,利用勾股定理求出。力，BC,进而即可

求解.

解：（1）如图所示：

（2）连接。A,

VAC^BC,NA。的平分线CO,

.,14n14824,

..AD=BD=—AB——x—=—,CDS_AB1

2255

OO的半径为5,

：.OD=y/OA2-AD2=7

5

sinB-CD_5_4.

5C-T-5

4

故答案是：

【点评】本题主耍考查尺规基本作图，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，理解三角形

外接圆的圆心是三角形各条边中垂线的交点，是解题的关键.

27.（2021•内蒙古通辽市•中考真题试卷）计算；

+(万-3)。-2cos30。+|3一配|

利用负整数指数基的性质以及零指数幕的性质、绝对值的性质、代入特殊角的三角函数值分别化简计算即

可得答案.

(1y*

-+(%-3)°-2cos30。+|3-屈|

12,

=2+l-2x电+2百—3

2

=6

【点评】本题考查了实数的计算，包含负整数指数基、0指数幕、特殊角的三角函数值、绝对值，熟练掌握

运算法则并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.

28.（辽宁省营口市2021年中考真题试卷）先化简，再求值：2,£二--------7十±一7,其中

[£-2x+lx-1Jx-1

x=V27+|-2|-3tan60°.

X1

x+2'2

先约分，再算分式的减法以及除法运算，进行化简，再代入求值，即可.

(x+l)(x-l)1

解：原式二-——之———-x—1

(x-1)X-1x+2

x+1_x-l

x—1x—1)x+2

---x----x----1-

x-1x+2

X

x+2

当》=扃+卜2|—3tan6（r=3百+2-36=2时，原式=白=3・

【点评】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则以及特殊角三角函数值，是解题的关键.

29.（2021•青海中考真题试卷）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角

尺，又需要作60。,30°,15。等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步：对折矩形纸片ABC。，使AO与8c重合，得到折痕瓦把纸片展开（如图13-1）.

第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点8,得到折痕同时得到线段BN（如

图13-2).

猜想论证:

（1）若延长交8c于点尸，如图13-3所示，试判定△BMP的形状，并证明你的结论.

拓展探究:

（2）在图13-3中，若AB=a,BC=b,当a,Z?满足什么关系时，才能在矩形纸片ABCD中剪出符（I）