多因素方差分析

多因素方差分析与SPSS应用方差分析又叫变异数分析，1928年由英国统计学家RonaldFisher爵士首先提出来的，为了纪念Fisher的贡献，将检验统计量命名为F，所以方差分析又叫F检验。方差分析是检验多组样本均值间的差异是否具有统计意义的一种方法。方差分析简介基本概念因素/因子(factor)所要检验的对象。如果在实验中变化的因素只有一个，这时的方差分析称为单因素方差分析；在实验中变化的因素不只一个时，就称多因素方差分析。水平(level)如果因子A有r个不同状态，就称它有r个水平。因素的具体表现。单元(cell)各因素不同水平间的相互组合。因素（2个）促销方式售后服务水平（3个；2个）促销：无；被动；主动售后：无；有单元（6个）无促销+无售后无促销+有售后被动促销+无售后被动促销+有售后主动促销+无售后主动促销+有售后方差分析的前提条件1各样本间相互独立；2各样本来自正态总体；3各样本代表的总体方差相等。方差齐性检验

Levene方差齐性检验

因为Levene检验对原数据是否为正态不灵敏，所以比较稳健。目前均推荐采用Levene方差齐性检验——Homogeneity方差检验。方差分析的基本原理离差平方和的分解样本数据的波动，可通过离差平方和来反映，这个离差平方和可分解为组间离差平方和与组内离差平方和两部分。组间离差平方和反映出不同的因子对样本波动的影响（系统变异）；组内离差平方和是不考虑组间方差的纯随机影响（如测量误差造成的差异或个体间的差异）。离差平方和的分解组间变异总变异组内变异不同售后方式下的销售量有售后无售后28(X11)20(X21)23(X12)26(X22)30(X13)26(X23)36(X14)32(X24)48(X15)17(X25)均值33(X1)24.2(X2)总均值28.6(X)离差平方和的分解是我们进入方差分析的“切入点”。如果组间差异明显高于组内差异，说明样本数据波动的主要来源是组间，因子是引起波动的主要原因，可以认为因子对实验的结果存在显著的影响；反之，如果波动的主要部分来自组内，则因子的影响就不明显，没有充足理由认为因子对实验或抽样结果有显著作用。MeanSquare产生变异的独立变量的个数（称作“自由度”）对变异大小也有影响。为了消除独立变量个数对变异大小的影响，我们用离差平方和除以独立变量个数，得到均方差/方差/均方(MeanSquare,MS)，作为不同来源变异比较的基础。自由度(r个水平，每组n个观察值)SSt是由于所有变量的波动引起的方差。但是，这里所有的nr个变量并不独立，它们满足一个约束条件，真正独立的变量只有nr-1个，自由度是nr-1。SSb是因子在不同水平上的均值变化而产生的方差。但是，r个均值并不是独立的，它们满足一个约束条件，因此也丢失一个自由度，它的自由度是r-1。SSw是由所有的在各因素水平上的围绕均值波动产生，它们满足的约束条件一共r个，失去了r个自由度，所以SSw的自由度是nr-r。组间自由度dfb=r-1组间均方差MSb=SSb/dfb组内自由度

dfw=r(n-1)=nr-r组内均方差MSw=SSw/dfw检验因子影响是否显著的统计量是一个F统计量：F统计量越大，越说明组间方差是主要方差来源，因子影响越显著；F越小，越说明随机方差是主要的方差来源，因子的影响越不显著。统计决策α接受域

拒绝域多因素方差分析多因素方差分析中的控制变量在两个或两个以上。它的研究目的是分析多个控制变量的作用、多个控制变量的交互作用以及其他随机变量是否对结果产生了显著影响。双因素方差分析是多因素方差分析的最简单情形。基本概念（补充）主效应(maineffect)如把A因素平均差数的差异称为A的主效应。主效应之间相互独立，可视为两个独立的单因素方差检验。交互影响/交互作用(interaction)当方差分析的影响因子不唯一时，必要注意这些因子间的相互影响。如果因子间存在相互影响，我们称之为“交互影响”；如果因子间是相互独立的，则称为“无交互影响”。单纯主效应(simplemaineffect)双因素方差分析

数据结构举例A、B两因素A因素：r个水平B因素：n个水平共有nr个单元每个单元有m个观察值，其中A因素第i个水平下的B因素第j个水平的单元中第l个观察值记为Xijl离差平方和分解形式：SST=SSA+SSB+SSAB+SSW

上式中dfT=rnm-1dfA=r-1dfB=n-1dfAB=(r-1)(n-1)dfW=rn(m-1)相应的均方差是检验因素A与B影响是否显著的统计量分别是：检验交互影响是否显著的统计量度是：例子：为了研究3种小学英语教材用两种不同的教学方法（一种是传统讲授法，另一种是将课堂讲授与学生的游戏和活动结合起来的方法）所产生的教学效果有什么不同，研究者从小学五年级学生中随机抽取了24名被试，并随机分成6组，每组有4名被试，每组被试被随机指派接受一种实验处理，经过一段时间的教学实验之后进行统一测试，结果如下，试对实验结果进行方差分析。一、方差齐性检验（略）二、计算检验统计量的值于是A因素组间平方和为：B因素平方和为：A与B交互作用的平方和为：然后，计算自由度=nK-1=4

6-1=23=6-1=5=Ka-1=3-1=2，=Kb-1=2-1=1，所以最后，计算各个F值三、统计决断根据分子自由度、分母自由度查分布表，找到各个临界值，即：所以A因素F=1.10<3.55=B因素F=0.77<4.41=A

BF=10.52**>8.29=，p>0.05,

保留零假设，p>0.05,

保留零假设，p<0.01，拒绝零假设(331.33)(5)(66.27)30.33215.171.10>0.0510.67110.670.77>0.05290.332145.1710.52<0.01248.501813.81

579.832325.21方差分析表如果方差分析结果表明交互作用不显著，检验每个因素的主效应就很重要；如果交互作用显著，则对每个因素主效应的检验，意义就不大了。交互作用显著，本身就表明了两个因素对实验结果具有共同的重要性。事后比较二因素方差分析主效应显著后，不一定要进行事后多重比较。事后比较的前提是类别变量中有三个或三个以上的水平。多因素交互效应显著后，必须进行事后比较。交互效应显著表明主效应是一个过度简化、没有考虑到其他因素的一种检验。交互效应的事后比较，包括限定条件的主效应整体比较（即单纯主效应比较）和达到显著性水平后该限定条件的主效应的事后多重比较。多样本均数之间的多重比较

方差分析中，均数之间总体上有显著性意义，这是概括性的结论，要探寻各组别之间的差异，即从概括性结论中挖掘更深层次的信息，可以进行均数之间的两两比较，又叫多重比较。不拒绝H0，表示拒绝总体均数相等的证据不足————>分析终止。拒绝H0，接受H1,表示总体均数不全相等

哪两两均数之间相等？哪两两均数之间不等？————>需要进一步作多重比较。

如果采用两个样本之间的t检验分别进行两两比较，则会增大Ⅰ型错误（错误拒绝），将原来无差异的总体误判为有差异，出现弃真结论。在有k个样本均数时，对两个样本均数之间进行两两t检验，需要做k!/2!(k-2)!次比较，每个样本重复比较k-1次。

如果有5个样本，需要做10次t检验，如果每次检验的水准为0.05，那么每次比较不犯Ⅰ型错误的概率为(1-0.05)=0.95，则正确接受全部10次无效假设的概率(每次比较都不犯Ⅰ型错误的概率为0.9510)为0.5987，那么犯Ⅰ型错误的概率也就是总的检验水准为

1-0.5987=0.4013

远远大于预先设定的检验水准0.05，增加了Ⅰ型错误的概率。S-N-K法(student-newman-kewls，q检验)LSD法Bonferroni法Tukey法……几种常用多重比较方法：一般步骤对于相互独立且均来自正态总体的样本：方差齐性检验——Levene方差齐性检验方差分析虚无假设计算检验统计量（F值）给定显著性水平，计算临界值统计决策