2023-数二真题、标准答案及解析2

2006年全国硕士研究生入学考试数学(二)

一、填空题

y4-4-<sinX

(1)曲线y=•的水平渐近线方程为.

5x-2cosx

1rx.2

⑵设函数/(x)=<A3J。s’11'在x=0处连续，那么a=.

a,x=0

⑶广义积分/_^=.

Jo(1+x2)2

(4)微分方程y=XI:2的通解是.

X

⑸设函数y=y(x)由方程y=l-x/确定，那么空|

dx

(2

(6)设矩阵4=,E为2阶单位矩阵，矩阵3满足84=3+2石，那么囤=

2)

二、选择题

(7)设函数y=f(x)具有二阶导数，且/'(x)>0,f\x)>0,Ax为自变量x在/处的增量，Ay与力

分别为/(x)在点与处对应的增量与微分，假设8>0,那么

(A)0<Jy<Ay.(B)Q<\y<dy.

(C)\y<dy<Q.(D)dy<\y<Q.[]

(8)设/(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，那么J；/⑴山是

(A)连续的奇函数.(B)连续的偶函数

(C)在x=0间断的奇函数(D〕在x=0间断的偶函数.【】

(9)设函数g(x)可微，〃(x)=e"M"),〃'(l)=l,g'(l)=2,那么g⑴等于

(A)ln3—1.(B)-ln3-l.

(C)-ln2-l.(D)ln2-l.[]

x2

(10)函数y=C,e+C2e-'+x/满足一个微分方程是

(A)yn-y,-2y=3xex,(B)yn-y-2y=3ex.

(C)yn+yf-2y=3xex.(D)y"+y'-2y=3e".

(11)设/(x,y)为连续函数，那么可;/(「cosarsin。)加•等于

也TTP"也

(A)J。？Jxj：Vf(x,y)dy.(B)J02公「*/(%,y)Jy

旦/jyr在F77

22

(C)foc/yf^'f(x,y)dx.(D)jody^f{x,y)dx.[]

(12)设f(x,y)与e(x,y)均为可微函数，且d(x,y)wO.(x0,%)是/(x,y)在约束条件e(x,y)=0下

的一个极值点，以下选项正确的是

(A)假设尸(%,%)=0,那么＜'(%,%)=0.

(B)假设£(%,%)=0,那么4(%,打)¥0.

(C)假设£'(%,%)00,那么4(%,%)=0.

(D)假设£(%,%)片0,那么4(%,%)。0.[1

(13)设a1，4，-，a，均为九维列向量，A是mx〃矩阵，以下选项正确的是

(A)假设q,4，线性相关，那么Aq,A%,,A。,线性相关.

(B)假设外生线性相关，那么46，力4，，Aa,线性无关.

(C)假设4,4，线性无关，那么Aq,A%,,Aa,线性相关.

(D)假设q,4，，“，线性无关，那么Aq,Ag,…，Aa,线性无关.【】

(14)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得6,再将8的第1列的-1倍加到第2列得C,记

‘110、

P=010,那么

、001,

(A)C^P'AP.(B)C^PAP'.

(C)C=PTAP.(D)C=PAP，.

三解答题

15.试确定A,B,C的常数值，使得0*(1+&+以2)=1+6+。。3),其中。(尤3)是当

xfOO寸上匕3的高阶无穷小.

rarcsine'

16.求dx.

17.设区域D={(x,y)M+y2wi,xNo},计算二重积分/="公办.

o1+x+y

18.设数列{xa}满足0V2<匹怎+]=sinxrl(n=0,1,2,)

证明：⑴存在，并求极限；

Xf8

1

(2)计算lim(土红产.

5x.

19.i正明：当0V。<人<加寸,Z?sinZ?+2cosb^-7ib>asina+acosa4-Tia.

20设函数/(〃)在(0,+oo)内具有二阶导数，且z=满足等式*+=0.

(1)验证/"(〃)+4^=0；(II)假设"1)=0,■⑴=1,求函物⑷的表达式.

21曲线L的方程为卜="+1；(/>0),

［丁=4/-厂

(I)讨论L的凹凸性；

(II)过点(-1,0)引L的切线，求切点(%,%),并写出切线的方程；

(III)求此切线与Z,(对应于xSXo的局部)及x轴所围成的平面图形的面积.

X+x2+x3+x4=-1

22非齐次线性方程组<4x,+3々+5毛-5=T有3个线性无关的解

axt+x2+3X3-bx4=\

I证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2:

H求。涉的值及方程组的通解.

23设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量%=(—1,2,—I)，。？=(0,—1』)’是线性方程组Ax=0

的两个解，(I)求A的特征值与特征向量(H)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得Q「AQ=A.

2006年全国硕士研究生入学考试数学(二)真题解析

一、填空题

丫-4-4qinYI

11)曲线y=八十-binx的水平渐近线方程为y=上

5x-2cosx5

—rsinrdt,元。01

(2)设函数，(x)=jx3]在户0处连续，那么用-

a,x=0

(3)广义积分)x，dx2=-1

I(1+x2)22

(4)微分方程了=四二也的通解是y=5e-*(XHO)

X------------------------

(5)设函数y=y(x)由方程y=1-x"确定,那么夕.<,=-e

当x=0时，y=l,

又把方程每一项对x求导，y'=-"-

(6)设4=2,2抑矩阵5满足班=班2£那么㈤=.

el2>

解：由班=班2£化得B(A-£)=2E,两边取行列式,得

\B\\A-E\=\2E\=^,

计算出14团=2,因此出|=2.

二、选择题

(7)设函数y=/(x)具有二阶导数，且/'(x)>0,/7x)>0,Ax为自变量x在点向处的增量,

△y与力分别为/Xx)在点与处对应增量与微分,若Ar>0,那么[A]

(A)0<dy<^y(B)0<Ay<Jy

(C)Ay<i/y<0(D)t7y<Aj<0

由/'(x)>0可知/"(x)严格单调增加

/〃(©，。可知“好是凹的

即知

(8)设/(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，那么

X

]7(。小是网

(A)连续的奇函数(B)连续的偶函数

(C)在x=0间断的奇函数(D)在x=0间断的偶函数

⑼设函数g(x)可微,〃(x)=ei+gM,h'(l)=l,g'(D=2,那么g⑴等于[C]

(A)ln3-l(B)-ln3-l

(C)-ln2-l(D)ln2-l

；“(x)=g'(x)*g"),1=2*g⑴g⑴=—ln2—l

(10)函数y=G，+。2-2、+工人满足的一个微分方程是[D]

(A)-yr-2y=3xex(B)y〃—y'—2y=3,

(C)y"+y'-2y=3xex(D)y"+y'—2y=3/

将函数y=qe*+c/2v+x/代入答案中验证即可.

41

(11)设f(x,y)为连续函数,那么J呵/(爪05，,属11。)必等于©

00

TQ~2Vl-x2

(A)\dxf(x,y)dy(B)JJf(x,y)dy

0X00

也L

2正yT后

(C)fdyj/(x,y)dx(D)jdyjf(x,y)dx

0y00

(12)设/(x,y)与(p(x,y)均为可微函数，且(p'y{x,y)w0,已知(x。，为)是/(匕＞)在约束条件°(x,y)=0下

的一个极值点，以下选项正确的是[D]

(A)假设/；(%,%)=0,则{'(X。，%)=0

(B)假设/：(%,%)=0,则/；(%,%)70

(C)假设/(%%)#0,则*%,%)=0

(D)假设£(%,%)/0,则/：(%,%)70

今久(七,先)?0,.•/=—今?代入⑴得/；(工0，为)。：。0，为)

的，为)

%(/，为)。(后,%)

今/：(%,%)#°，，/1/，为)。；(/，为)7°贝U/：(/，%)*°应选[D]

(13)设a,都是n维向量，4是mxn矩阵，那么()成立.

(A)假设a,如…,以线性相关,那么Za,4a2,…,4a线性相关.

(B)假设a,an...a,线性相关,那么Aai,Aai....4as线性无关.

(C)假设a,a：...a线性无关,那么Aa\,Aa：....Ha线性相关.

(D)假设a,a>,以线性无关,那么Aa>,Aa>,4r线性无关.

解：(A)

此题考的是线性相关性的判断问题，可以用定义解.

假设a,以线性相关,那么存在不全为0的数c,cz,…,Cs使得

ciai+c>a>+--+csa：=O,

用4左乘等式两边，得

c〃a+c2Za2+…+c/a、=O,

于是Aa>,Aa>,4al线性相关.

如果用秩来解，那么更加简单明了.只要熟悉两个根本性质，它们是:

1.a,&,…，a线性无关or(a,四…，a,)=s,

2.r(34r(0.

矩阵...,4zJ=4(a,a...a),因此

r(Aa),Aa,AaJ<r(a,

由此马上可判断答案应该为(A).

(14)设/是3阶矩阵,将4的第2列加到第1列上得以将8的第1歹IJ的-1倍加到第2列上得C记11

01、

尸010,那么

001

(A)C=P'AP.(B)OPAP'.

(C)C=PAP.(D)C=PAFf.

解：⑻

用初等矩阵在乘法中的作用得出

B-PA,

\-1可

05010=BP'=PAP'.

100J

三、解答题

(15)试确定A,B,C的常数值，使，(1+以+以2)=1+4+0(%3)其中0(9)是当

x-0时比？的高阶无穷小.

YY

解：泰勒公式e'=l+X+—+—+O（d）代入等式得

26

整理得

比拟两边同次辕函数得

B+1=A@

1

C+B+-=O②

2

-+C+-=0(3)

26

2

式②-③得3

1

-

代入①得A=3

1

-

代入②得C=6

arcsinex.

(16)求J-------ax.

&刀e3广arcsine」-rarcsint.

解:原式=-----T—dex令，=t\---dt

J(exyJr

arcsinex.arcsinex

----；——ax------——+C.

（17）设区域0川⑷刈f+^^鼻上。｝,计算二重积分）=（"孙，必"y.

落］+厂+y

（\

解：用极坐标系「一办=。

IJ/i+v+yI

冗

~211

/=j呵，^/r=马11(1+/)=-ln2.

2。2

~2

(18)设数列｛1〃｝满足0＜玉＜乃，xn+]=sinxn(n=1,2,3,--)

证明：（1）lim可用存在，并求极限;

“TOO

⑵计算lim—

〃T8

证：(1)/x2=sinXj,.,.0＜1241,因止匕〃22

Xn+l=sinx“单调减少有下界(Xn＞0)

根据准那么1,limx“=A存在

在xn+1=sin两边取极限得A=sinA，A=0

因此limx“+]=0

〃一＞8

I

(2)原式=lim任土为T"型

rx,j

离散型不能直接用洛必达法那么

(sin/、/辿

先考虑liml--I=e"小-

..I1(/cosz-sinz)

lim—.——.=

?TO2rsm/产

用洛必达法那么=6-

住步+格,

lim--

—gf—Q2/e6

(19)证明：当Ovavbv4时，bsinb+2cosb+Qsin〃+2cosa+——.

7va

证：令/(x)=xsinx+2cosx+%x

只需证明0＜。＜%＜乃时，/(%)严格单调增加

・・・1(幻严格单调减少

又f'Qr)=ncos%+〃=。

故Ovavxv神f/(%)＞0贝叶(%)单调增加(严格)

由贝如(〃)＞/(&)得证

(20)设函数/(〃)在(0,+8)内具有二阶导数，且2=/(必衣)满足等式器+言=0.

(I)验证/(〃)+£^=0；

U

(II)假设/⑴=0,/(1)=1求函数/(“)的表达式.

(ID令/，®=p,则半=—勺亚=—产+c,p=£

duuJpJuu

X=[24-1

(21)曲线L的方程1,(r>0)

[y=4—2

(I)讨论L的凹凸性；

(ID过点(—1,0)引L的切线，求切点(%，%)，并写出切线的方程；

(III)求此切线与乙(对应XV/局部)及x轴所围的平面图形的面积.

,.dxdy..dy4-2/2,

解hn：(I)—=2t,—=4-2/,—=-----=—1

dtdtdx2tt

(ID切线方程为y—0=(/-1卜x+1),设x0=t：+l,%=4/。一l，

<2、

那么4f°T：=—_1G+2),41T=(2TO)(」+2)

VoJ

得2—2=0,(%—1)(九+2)=0M>0玲=1

点为(2,3),切线方程为y=x+l

(IH)设L的方程x=g(y)

那么S=J[(g(y)-(y-1))拉

0

由于(2,3)在L上，由y=3得x=2可知x=(2-J4_y)+l=g(y)

(22)非齐次线性方程组

(X1+X2+X3+X4=-1,

4XI+3X2+5X「X4=T,

axi+x2+3x3+bx4=l

有3个线性无关的解.

①证明此方程组的系数矩阵4的秩为2.

②求a,b的值和方程组的通解.

解:①设a-是方程组的3个线性无关的解，那么a「小a「a是肝0的两个线性无关的解.于是

心0的根底解系中解的个数不少于2,即4-rU)>2,从而rU)<2.

又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(4)22.

两个不等式说明r(2)=2.

②对方程组的增广矩阵作初等行变换:

1T1-1